Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 231

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
всех сил системы относительно данной точки

Такое перенесение силы является формальным, но может соответ­ ствовать физической сущности явления. Пусть, например, сила F, приложенная в точке А, действует на металлический брусок, заде­ ланный в каменную стену (рис. 50). Перенеся силу в точку О с до­ бавлением пары сил, мы можем рассматривать ее как силу, прило­

женную

в точке О

и изгибающую брусок, а пару (FF2)—как

 

скру­

чивающую

его. На

этом

примере

мы видим, что сила F по

своему

действию

эквивалентна силе

вместе

с парой

(FF^.

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведение

системы

сил

к

точке. Пусть

Система

сил,

приложенных

к

твердому телу

приложена

произвольная

к твердому телу, эквивалент-

система

сил,

т. е.

такая

система,

на

силы

на главному вектору, прило-

к о

т о р о й

н а

т о ч к и

и х

приложения

И

на

женному в произвольной точ-

 

ґ

 

 

 

 

ґ

 

 

 

ке тела,

и главному моменту

линии действия не наложено никаких ог-

относительно

этой точки

раничений. Какую-либо из точек тела, без­

 

 

 

 

 

различно которую, назовем

центром

при­

ведения и, следуя методу Пуансо, приведем к этой точке каждую"из сил системы.

Тогда получим в центре приведения пучок сил (каждая из ко­ торых по величине и направлению равна одной из сил заданной системы) и систему пар. Момент каждой из этих пар равен моменту одной из сил заданной системы относительно центра приведения.

Главным вектором системы сил называют вектор, равный сумме векторов всех сил

системы:

~F __-£р

гл~~ *

Складывая

все

силы пучка, мы заменим их

0 д Н ! Ш

вектором,

>

приложенным

в

выбран-

 

 

г

г

и

г

н о м н

а м и

Центре

приведения

равным

сумме

векторов

 

всех сил, перенесенных

вЭ Т У точку. Его называют главным векто-

ром системы сил:

Тта = їРк, где k = l, 2, . . . , п.

(27)

При перенесении сил системы к центру приведения мы не меняли ни величин, ни направлений этих сил, поэтому главный вектор си­ стемы сил не зависит от того, какую точку тела мы приняли за центр приведения. Главный вектор является инвариантом (неизмен­ ной величиной) данной системы сил.

 

Чтобы

сложить

пары

сил,

получившиеся

Главным моментом системы

при

приведении по

методу

Пуансо всех

сил называют вектор, рав-

с и л

с и

с х е м ы к

выбранному

нами центру,

ныи сумме векторов моментов

 

 

 

r

J

v J

достаточно геометрически сложить их моменты. Но моменты этих пар равны мо­ ментам соответствующих сил заданной си­

стемы относительно центра приведения. Поэтому, чтобы сложить эти пары, достаточно взять сумму моментов всех сил системы относи­ тельно центра приведения. Мы обозначим эту сумму через МГЛ. 0 и

назовем главным моментом системы сил относительно центра О,

или, коротко, главным моментом:

М г л . о=2Мко,

где k= 1, 2, . . . , п.

(28)

В отличие от главного вектора главный момент системы сил не является инвариантом и зависит от выбранного нами центра приве­ дения. Меняя центр приведения, мы изменили бы и моменты сил системы относительно этого центра, отчего изменился бы и главный момент.

Итак, всякая система сил, приложенных к твердому телу, экви­ валентна одной силе, называемой главным вектором, равной геомет­ рической сумме всех £ил системы и приложенной в любой точке тела (в центре приведения), и одной паре, момент которой называют главным моментом и который равен сумме моментов всех сил системы относительно этой точки. Такое преобразование системы сил, не изменяя действия ее на твердое тело, значительно упрощает ее изу­ чение.

Г Л А В А V

СИСТЕМА СИЛ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ПЛОСКОСТИ

§ 12. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ПРИВЕДЕНИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Плоской системой сил назы-

Приведение

плоской

 

системы

сил

к точ-

вают совокупность сил, рас-

к е

д л

я И

З у ч е н и я

плоской

системы сил,

положенных в

одной плос-

т. е.

 

J

 

сил,

 

 

'

к о с

т и

совокупности

 

приложенных

 

 

к

твердому телу и расположенных в одной

 

 

плоскости,

приведем

все силы

к

центру

приведения, выбрав его где-либо в той же плоскости. Тогда мы по­ лучим в центре приведения плоский пучок сил, геометрически сло­ жив которые, мы найдем главный вектор системы. Кроме того, при приведении всех сил к точке мы получим пары, расположенные в одной плоскости. Как уже было сказано, в плоской системе моменты сил относительно точки и моменты пар направлены Перпендикулярно к плоскости системы в ту или другую сторону. Эти моменты вполне характеризуются величиной и знаком, а потому для вычисления главного момента плоской системы относительно центра приведения, лежащего в плоскости системы, нужно взять алгебраическую сумму моментов всех сил системы относительно центра приведения. Следо­ вательно, система сил, произвольно расположенных на плоскости, эквивалентна главному вектору, равному геометрической сумме всех сил и приложенному к твердому телу в любой точке этой плоскости,

и главному моменту, равному алгебраической сумме

моментов всех

сил относительно той же точки:

 

 

КЯ

= 1К,

(27)

M , , . 0

= 2 A V

(29)

Величину главного вектора удобно вычислить по его проекциям на координатные оси, равным суммам проекций на эти оси всех сил плоской системы:

^ г л =

+

где ft =

1, 2

п.

(5)

Направление главного вектора можно определить по направляю­

щим косинусам (6').

 

 

 

 

Если за центр

приведения

принято начало

координат,

то,

выра­

жая момент каждой силы плоской системы по (16) и суммируя, по­ лучим следующее выражение для главного момента плоской системы

сил

относительно начала координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мгж. о = 2 ( x k Y k - y k X k ) ,

где

k =

1,

2,

п

 

(29')

 

Задача № 15. К твердому телу

в точке

А

(х1

= -\-Ю,

у = -{-4) приложена

сила

f 1 =

3, направленная вниз

по вертикали;

сила

F2 = A

направлена по оси

Ох в

положительную сторону и приложена к тому же

телу. Длины выражены в

мет­

рах

и силы — в ньютонах. Направление осей координат

обычное (Ох

горизонтально

вправо, Оу вертикально вверх). Привести обе силы к

началу координат

и

заме­

нить

данную систему сил

главным

вектором

и

главным

моментом

(см.

рис. 52).
Если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то система приводится к од­ ной равнодействующей

Решение.

Определив сумму

проекций

данных сил

на оси координат, величину

главного

вектора вычислим

по

формуле

(5), а его

направление —по (б');

/ Г Г 1 = 5;

4

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

cos а — —

=.- 0,800; cos|3 =

г - = — 0 , 6 0

0 .

Главный

момент

относительно

начала

о

 

 

о

 

или (2-9): Мгл_

 

 

 

координат

вычислим по формуле (29')

0 — —30.

направ­

О т в е т .

Главный вектор равен 5

н,

приложен

в

начале

координати

лен вправо и вниз под углом 36°52' к оси Ох и 126°52' к оси Оу, главный момент равен —30 н-м.

Случай приведения к равнодействующей.

Величину и направление главного вектора произвольной системы сил определяют по формулам, аналогичным тем, по которым определяют равнодействующую системы

сходящихся сил. Между тем главный вектор произвольной системы сил не является равнодействующей этой системы. В самом деле, равно­

действующей называют силу,

которая одна эквивалентна

системе сил,

а главный вектор сам по себе

не эквивалентен

данной

системе сил,

но эквивалентен ей только в

с

о в о к у п н о с т и

с главным моментом.

Главный вектор может быть равнодействующей плоской системы сил лишь в случае, если главный момент системы относительно центра приведения равен нулю. Тогда главный вектор один, без главного момента, эквивалентен данной системе сил.

Следовательно: если главный вектор не равен нулю, а главный момент относительно центра приведения равен нулю, то система при­ водится к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения.

Если же главный момент не равен нулю, то мы можем предста­ вить его в виде пары сил, которые мы выберем равными глдвному вектору, а плечо h — равным отношению величин главного момента

и главного

вектора

(рис. 51, а):

 

 

 

h = ^ Q .

(30)

Действие

пары

на тело не зависит

от положения этой пары в

ее плоскости, и мы вправе расположить ее так, чтобы одна из сил этой пары была направлена по линии действия главного вектора в сторону, ему противоположную (рис. 51,6). Тогда, отбрасывая эту силу

вместе с главным вектором, как взаимно уравновешенные, мы получим

только одну силу

(рис. 51, в),

эквивалентную данной системе; эта

сила

является равнодействую-

ц

 

 

щей данной системы. Мы видим,

 

 

 

что

равнодействующая по моду­

 

 

 

лю равна главному

вектору, па­

 

A

 

раллельна ему по

направлению,

 

'F,

 

но отличается от него линией

 

 

действия.

 

в

ъч

V.N

Следовательно: если главный

 

 

Fm

 

 

вектор и главный момент плоской

 

 

системы сил неравны нулю, то

Рис. 52

 

 

система приводится к равнодейст­ вующей, линия действия которой не проходит через центр приведения.

Учитывая,

что главный

вектор

Ргл

по

величине и

направлению

равен равнодействующей R (рис. 51), а также учитывая (29), можно

равенство (30)

переписать

так:

 

 

 

 

 

Rh = ^Mk0,

где

k=

1, 2

п.

(18)

Мы получили теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно какой-либо точки, лежащей в этой плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих относительно той же точки.

Задача № 16. Найти равнодействующую системы сил, заданных в условии

задачи №

15.

 

 

 

 

 

Решение.

При решении задачи № 15 данная система

приведена к

главному

вектору 5 н и

главному моменту — 30 н-м.

Представим этот главный момент в виде

пары, силы которой по модулю равны главному вектору,

а плечо

равно отноше­

нию

величин

главного момента и главного вектора, т. е.

F = 5 и

/i =

-g-=6. Мо­

мент

пары

отрицательный — вращение по

стрелке часов.

Расположим

пару так

(рис.

52),

чтобы одна из ее сил уравновесила главный вектор. Система

приведена

к одной силе, равной и параллельной главному вектору, но линия действия этой

силы

отстоит

от

начала координат

на

6 м.

Нетрудно

из (29') получить уравнение

линии

действия

равнодействующей,

т. е. — х З — у4 =

—30.

 

 

К тому же результату можно прийти

(и в данном случае проще), если

задан­

ные силы

Fi

и F2 перенести

в

точку

В

пересечения

их линий действия

и там

сложить.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗЛ; + 4І/ = 30.

О т в е т .

Равнодействующая

равна

5 я и лежит на прямой

с

 

.

 

 

 

Случай

приведения

к паре. Исследуем слу-

Если главный вектор системы

 

ї

 

 

г

 

 

„

J

J

сил равен

нулю,

а главный

ч а и >

к о г

Д а

главный вектор

системы

равен

момент нулю не равен, то

 

нулю,

но

главный

момент

системы

отно-

система приводится к паре

сительно центра приведения нулю не равен.

 

 

с

и л

 

Если главный вектор системы равен нулю,

то, следовательно, нет и равнодействующей. Главный момент мы

всегда можем представить в виде пары. Следовательно,

если глав­

ный вектор

равен

нулю, а главный момент не равен нулю, то система

приводится

к паре

сил.

 

 

 

 

 

Заметим,

что главный момент не

зависит

от

центра

приведения

в том случае, когда главный вектор

системы

равен нулю. В

самом

деле, если система

сил эквивалентна

паре сил с

моментом,

равным

главному моменту системы, а момент пары,

как известно (см. §

10),

не зависит от центра моментов,

то,

следовательно, и

главный

мо­

мент (в этом случае) не зависит

от

центра

приведения.

Это ясно и

из логических соображений: правильно (без ошибок) полученный результат приведения системы сил зависит только от данной систе­ мы, но не может зависеть от нашего подсчета. Он существует объек­ тивно, независимо от нас. Если система сил эквивалентна паре, то

ясно, что, какую бы точку мы ни принимали

за

центр приведения,

мы

всякий

раз

должны получать

одну

и ту

же

пару и один и

тот

же

главный

момент.

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №

17.

В точках А , В и С к твердому

телу

приложены силы РА,

Fд и

Fc.

В некотором

масштабе (например,

1 « = 1 см)

эти силы изображаются направ­

ленными отрезками: F ^ — A B ,

FR — BC,

FC~CA

 

(рис. 53, а). Исследовать

сис­

тему

сил.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Выбрав за центр приведения какую-либо точку, например точку О,

и перенеся по

методу Пуансо

в эту точку все

силы, убедимся, что силовой

мно-

 

V

 

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 53

 

 

 

 

гоугольник замкнут, а следовательно, главный

вектор равен нулю. Главный

мо­

мент

системы относительно

точки О равен алгебраической сумме

моментов

трех

сил,

изображаемых

удвоенными

площадями треугольников

(рис. 53, б):

 

 

М г л . 0 = + 2

пл. Д Л В О + 2

пл. Д В С О — 2 пл. Д С Л О =

+ 2 пл. Д ABC.

 

 

Независимо от

центра

приведения О главный момент системы

равен удвоен­

ной

площади треугольника

ABC,

т. е. система

сил эквивалентна

паре.

 

К. такому же результату мы придем путем следующих рассуждений. Главный вектор системы (а следовательно, и равнодействующая) равен нулю, так как си­

ловой многоугольник

замкнут.

Вместе

с

тем система данных трех

сил

не

может

находиться

в

равновесии, так

как

не

удовлетворено

необходимое

условие

равно­

весия трех сил: линии их действия не

пересекаются

в одной точке. Перенеся силу

Fg

(рис. 53, в) по ее

линии действия

в

точку

С и сложив ее с

силой Fc

полу­

чим равнодействующую этих двух сил,

равную и противоположную третьей силе

FA

и составляющую

вместе с

ней

пару

сил.

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т .

Данная

система

трех сил эквивалентна паре сил.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Случай равновесия. Если дана система сил

Если главный

вектор и глав-

И )

приведя ее к какому-либо центру, мы

ный момент системы сил рав-

убеждаемся,

что

и главный

вектор и глав­

ны

нулю,

то система сил на-

 

„

 

'

системы равны

нулю,

ґ

 

 

ходится

в

равновесии

н ы и

момент

то на­

 

 

 

 

 

личие этой системы эквивалентно ее отсут­

ствию, т. е. система находится

в

равновесии.

 

 

 

 

Справедливо и обратное заключение: если данная система сил

Смотрите также файлы