Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 229
Скачиваний: 2
находится в равновесии, то главный вектор системы и главный мо мент системы относительно центра приведения равняются нулю. Следовательно, условия
F „ = 0, М г л . о = 0 |
(31) |
являются необходимыми и достаточными условиями равновесия плос кой системы сил. И в этом случае главный момент не зависит от центра приведения. В самом деле, если система сил находится в
равновесии, то |
равновесие |
не |
может нарушиться от |
того, выберем |
|||
ли мы за центр приведения |
ту |
или |
иную |
точку |
плоскости. |
||
Все возможные частные |
случаи |
приведения |
плоской системы сил |
||||
к данной точке |
представлены в следующей |
таблице: |
|
||||
р |
# 0 |
|
|
|
= 0 |
= 0 |
|
' ГЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 , |
|
^ 0 |
= 0 |
|
|
Равнодействующая |
|
Пара |
сил |
Равновесие |
||
• |
не проходит | |
|
проходит |
|
|
|
|
|
через центр |
приведения |
|
|
|
||
Таблица систематизирует возможные случаи приведения плоской системы сил и не нуждается в пояснениях.
§ 13. РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
Для |
равновесия плоской сис |
Первая |
форма |
уравнений |
равновесия. |
|
|||||||||||
Условия |
равновесия |
(31) |
плоской |
сис |
|||||||||||||
темы |
сил |
необходимо и до |
темы сил можно |
переписать |
так: |
|
|
||||||||||
статочно, |
чтобы |
равнялись |
|
|
|||||||||||||
нулю |
|
суммы |
проекций всех |
|
2 ^ = 0 ; |
2 ^ о |
= |
0. |
|
|
(32) |
||||||
сил на оси координат и сумма |
|
|
|
||||||||||||||
моментов |
всех сил относи |
Первое из этих равенств является гео |
|||||||||||||||
тельно |
какой-либо точки |
||||||||||||||||
|
|
плоскости |
метрическим. Мы |
можем заменить это гео |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
метрическое |
равенство |
двумя |
аналитиче |
||||||||
2^ |
= |
0; |
|
%М0='о |
скими, |
как |
это |
было |
сделано |
при |
отыс |
||||||
|
кании аналитической формы условий рав- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
новесия |
плоского пучка |
сил. Оставляя второе |
из |
равенств (32) |
без |
||||||||||||
изменений, |
мы |
получим |
условия |
равновесия |
плоской |
системы |
сил в |
||||||||||
следующем |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2^ = о, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(зз) |
|
Таким образом, для равновесия системы сил, произвольно рас положенных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на оси координат и сумма моментов всех сил относительно какой-либо точки плоскости.
Заметим, что оси координат не обязательно должны быть между собой перпендикулярны, а могут составлять любой отличный от нуля угол, если по условию задачи целесообразно дать им такие направления. Сумму моментов можно взять относительно любой точки плоскости системы сил, поскольку при равновесии системы главный момент ее не зависит от центра приведения.
Соотношения (33) называют условиями равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости. Если эти соотношения со
держат неизвестные величины, то их называют уравнениями |
равновесия. |
||||||||||||
Задача |
№ 18 |
(№ 4.8, 120 М). Однородная |
балка |
АВ весом Р = 20 кГ опира |
|||||||||
ется на гладкий горизонтальный пол в точке В |
под углом |
60° и, кроме того, под |
|||||||||||
держивается двумя опорами С и D. Определить |
реакции опор в точках В, |
С и D, |
|||||||||||
если длина |
АВ = Ъм, |
С В = 0 , 5 , и , |
BD=\M |
(рис. 54). |
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
Порядок |
решения задач |
на |
равновесие плоской системы сил такой |
|||||||||
же, как и при решении задач |
на |
равновесие |
плоской системы сходящихся сил, |
||||||||||
только в данном случае мы имеем три, а |
не два уравнения |
равновесия. |
АВ, |
|
|||||||||
Все искомые |
и известные |
силы в этой задаче действуют на балку |
по |
||||||||||
этому рассмотрим |
равновесие |
балки |
АВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
На балку |
действуют |
одна |
активная |
сила |
(соб- |
||||
Аственный вес) и три реакции в трех точках опоры.
|
|
|
Реакции, |
как |
всегда, |
направлены |
перпендикулярно |
||||||||||||
|
|
|
виртуальным |
перемещениям. |
Таким |
перемещением |
|||||||||||||
|
|
|
балки |
АВ, |
|
не |
нарушающим |
ее связи с |
полом, |
яв |
|||||||||
|
|
|
ляется |
горизонтальное |
перемещение, и реакцию |
Rg |
|||||||||||||
|
|
|
мы направим |
вертикально |
вверх. |
|
Давая |
балке |
АВ |
||||||||||
|
|
|
мысленные |
малые |
перемещения, |
не |
нарушающие |
ее |
|||||||||||
|
|
|
связи |
с полом, |
мы не должны беспокоиться |
о том, |
|||||||||||||
|
|
|
чтобы |
эти перемещения |
не |
нарушили |
связи |
в других |
|||||||||||
|
|
|
местах, например в точке С. Аналогично, |
определяя |
|||||||||||||||
|
|
|
виртуальные |
перемещения в точке С, |
мы не заботимся |
||||||||||||||
|
|
|
о. том, что |
при |
этом |
нарушается |
связь в точке |
В. |
|||||||||||
|
|
X |
Перемещениями, |
|
не нарушающими |
связи в точках С |
|||||||||||||
|
|
|
и D, |
являются |
перемещения |
вдоль |
балки |
(подобно |
|||||||||||
|
Рис. 54 |
|
смычку по струне), поэтому |
реакции |
в точках |
С и D |
|||||||||||||
|
|
|
направим |
перпендикулярно |
балке. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Строим оси координат. |
Удачный |
выбор |
системы |
||||||||||||
координат |
может |
упростить |
уравнения |
равновесия. Можно пользоваться и |
косо |
||||||||||||||
угольной |
системой |
координат, |
например, направив одну ось горизонтально, |
а дру |
|||||||||||||||
гую— под |
углом 60° по ВА. |
Мы направим |
оси, как указано |
на чертеже. |
Тогда |
||||||||||||||
|
|
2 Х = °; |
|
/?с cos 30° — Я д cos 30° = |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2^ = 0; — # c s i n 3 0 ° + i ? o s i n 3 0 o + / ? e |
— Р = = 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||
За центр моментов удобнее принимать точку, в которой пересекаются линии действия неизвестных по величине реакций. Так, в данном случае удобно принять точку, в которой пересекаются линии действия реакций RB и Rc. В результате такого выбора обе эти реакции не войдут в уравнение моментов. Чтобы опреде лить плечо реакций RQ, опустим перпендикуляр из центра моментов на линию действия этой реакции. Нетрудно видеть, что плечо С£) = 0,5ж . Чтобы опреде лить плечо силы тяжести, опустим перпендикуляр из центра моментов на линию
|
|
|
|
|
АВ |
|
|
|
|
|
|
действия |
этой силы. |
Получим -jj7 cos 60° = 0,75 м. |
Реакция |
Rp относительно |
|||||||
центра моментов |
направлена против |
хода |
часов |
(момент положителен), а |
сила |
||||||
тяжести — по |
ходу |
часов |
(момент отрицателен). |
Уравнение моментов имеет |
вид |
||||||
|
|
|
|
|
2 м = 0 ; P D 0 , 5 — Р - 0 , 7 5 = 0. |
|
|
||||
Решая |
совместно |
все три уравнения равновесия, |
получаем |
ответ. |
|
||||||
О т в е т . |
Я в = |
20/сР, |
ЯС = ЙО/СР, |
# о = |
30 кГ . |
|
|
|
|
||
Система сил, действующих на балку АВ, состоит из двух пар сил. Рекомендуем решить эту задачу при помощи уравнения (26')
равновесия |
системы |
|
пар |
на плоскости, по примеру задачи № 13. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вторая форма уравнений равновесия. Не |
||||||||
Для |
равновесия |
плоской |
си |
обходимые и достаточные условия рав |
||||||||||||||
стемы сил необходимо и до |
новесия |
плоской |
системы |
сил можно вы |
||||||||||||||
статочно, |
|
чтобы |
|
равнялись |
разить не только равенствами (33). К одному |
|||||||||||||
нулю |
суммы |
моментов |
всех |
из других видов условий равновесия пло |
||||||||||||||
сил |
относительно |
трех |
ка |
|||||||||||||||
ких-либо |
точек |
плоскости, |
ской системы сил приводит теорема, обычно |
|||||||||||||||
не лежащих |
на |
одной |
пря |
называемая теоремой о трех |
моментах: для |
|||||||||||||
|
|
|
мой: |
|
5 = ° ; |
|
равновесия системы сил, произвольно рас |
|||||||||||
2 ^ = ° ; |
2 |
М |
|
положенных |
на |
плоскости, необходимо и |
||||||||||||
|
|
2мс=о. |
|
|
|
достаточно, чтобы равнялись нулю суммы |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
моментов всех сил системы относительно |
||||||||
каждой |
|
из |
трех |
точек, |
произвольно |
взятых |
на |
плоскости, |
но не |
|||||||||
лежащих на одной прямой. Докажем,эту теорему. |
|
|
|
|
||||||||||||||
Пусть |
дана |
плоская |
система |
сил. |
Возьмем в |
плоскости |
произ |
|||||||||||
вольную |
точку |
А |
и определим сумму моментов всех сил относительно |
|||||||||||||||
этой |
точки. Если |
бы |
сумма моментов не равнялась нулю, то система, |
|||||||||||||||
конечно, не была бы в равновесии. Если же ^МА |
= 0, |
то система |
||||||||||||||||
может |
либо |
находиться |
в равновесии, |
либо |
быть |
приведенной |
||||||||||||
к равнодействующей, проходящей через точку А |
(см. |
таблицу на |
||||||||||||||||
стр. |
79). |
Следовательно, |
написанное |
условие |
хотя |
и |
необходимо, |
|||||||||||
но не достаточно |
для |
равновесия |
системы. Возьмем |
в |
той же пло |
|||||||||||||
скости другую произвольную точку В и определим сумму моментов всех сил системы относительно точки В. Если ^Мв = 0, то это равенство вместе с предыдущим все же не может быть достаточным условием равновесия системы; поскольку равнодействующая системы (если она существует) может проходить через обе эти точки, тогда моменты равнодействующей относительно каждой из этих точек, а следовательно, и суммы моментов составляющих (теорема Вариньона) равны нулю, но система не в равновесии, а приводится к равно действующей, проходящей через точки А и В.
Возьмем сумму моментов всех сил относительно третьей точки, выбрав эту точку С где-либо не на прямой АВ. Если сумма момен тов всех сил системы относительно точки С равна нулю, то система находится в равновесии, так как равнодействующая не может про
ходить через точки А, В и С, |
не |
лежащие |
на одной прямой. Сле |
|
довательно, три равенства |
|
|
|
|
2 ^ 4 |
= |
0, |
\ |
|
2 ^ |
= |
0, |
1 |
(34) |
2 ^ с = о |
j |
|
||
выражают, так же как и равенства (33), необходимые и достаточные условия равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости.
Если равенства (34) являются уравнениями равновесия, т. е. содержат неизвестные величины, которые нужно определить, то соответствующим выбором центров моментов А, В и С можно со-
ставить уравнения так, чтобы каждое из них содержало только одну неизвестную величину-, и вместо системы трех уравнений с тремя неизвестными получить три уравнения, каждое из которых содер жит только по одной неизвестной.
Задача № 19 (№ |
138. Н. |
Н . |
Б у х г о л ь ц , |
|
И. М. |
В о р о н к о в |
и |
А. |
П. |
|||||||||||||
М и н а к о в . |
Сборник |
задач |
по теоретической |
механике, 1938). Однородный стер |
||||||||||||||||||
|
|
|
жень |
|
длиной |
|
11 и |
весом |
Р |
прикреплен |
в точке |
В |
||||||||||
|
|
|
при |
помощи |
шарнира |
к стене |
(рис. 55), а в точке |
D |
||||||||||||||
|
|
|
опирается на угол |
другой |
стены. Найти все реакции, |
|||||||||||||||||
|
|
|
если |
|
известно, |
что точка |
D отстоит от первой стены на |
|||||||||||||||
|
|
|
расстоянии а и находится |
на высоте b над шарниром |
В. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. |
Равновесие какого тела |
надо |
рассматри |
|||||||||||||||
|
|
|
вать? |
Ответ на этот |
вопрос в данной |
задаче очевиден: |
||||||||||||||||
|
|
|
равновесие стержня. Какие силы действуют |
на это |
||||||||||||||||||
|
|
|
тело? На него |
действуют |
вес Р, |
приложенный |
в |
сере |
||||||||||||||
|
|
|
дине |
|
стержня; |
реакция |
RD |
в точке |
D, направленная |
|||||||||||||
|
|
|
перпендикулярно виртуальному перемещению, т. е. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
перпендикулярно стержню; реакция в шарнире |
В, |
||||||||||||||||||
|
|
|
которую |
мы раскладываем |
на две составляющие |
Хд |
||||||||||||||||
|
|
|
и Yg, поскольку направление реакции в шарнире |
|||||||||||||||||||
|
|
|
обычно |
бывает |
неизвестно, |
хотя |
в данном |
случае |
это |
|||||||||||||
|
|
|
направление |
можно |
было |
бы определить |
по |
необхо |
||||||||||||||
Рис. 55- |
|
димому |
условию |
равновесия |
|
трех |
|
непараллельных |
||||||||||||||
|
сил |
(см. § 3). |
Теперь |
составляем |
уравнения |
равно |
||||||||||||||||
|
|
|
весия, |
для |
чего |
воспользуемся равенствами |
(34). |
|||||||||||||||
За центры моментов выберем |
точки пересечения линий действия искомых сил. Эти |
|||||||||||||||||||||
точки обычно |
называют точками |
|
Риттера. |
|
Уравнения |
равновесия |
принимают вид: |
|||||||||||||||
|
|
2 М Й |
= 0; RD-JL- |
|
— P / C o s a = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ^ , 4 |
= 0; |
|
Хв |
cos a sin a — PI cos a = |
0; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2мс |
= 0; |
|
-Yf |
|
a |
, |
_ / |
a |
|
|
-/cos a |
I = |
0. |
|
|
|
|
||||
|
|
cos^a |
|
cos- |
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Остается решить эти уравнения", содержащие |
по одной |
неизвестной. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
О т в е т . |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( а » + 6*)
аЧ
YB = P
Для |
равновесия плоской си |
||||
стемы сил необходимо |
и до |
||||
статочно, |
чтобы |
равнялись |
|||
нулю |
суммы моментов |
всех |
|||
сил |
относительно |
двух ка |
|||
ких-либо |
точек |
плоскости |
|||
и |
сумма |
проекций |
всех сил |
||
на |
любую |
ось, не перпенди |
|||
кулярную |
к прямой, |
прохо |
|||
дящей через эти две точки:
2 * = о
|
(а2 + Ь2 )* |
J |
|
|
Третья форма |
уравнений равновесия. |
|||
Если |
две из неизвестных сил параллельны |
|||
друг |
другу |
и точка |
пересечения их, сле |
|
довательно, |
уходит |
в бесконечность, ТО |
||
для решения задачи удобно воспользоваться третьим видом уравнений равновесия. Пусть суммы моментов плоской системы сил от носительно произвольно выбранных точек А и В равняются нулю:
В таком случае, как только |
что |
было показано, система сил |
или находится в равновесии, |
или |
приводится к равнодействую- |
