Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Для

равновесия

плоской си­

Условия равновесия плоской системы па­

стемы

параллельных

сил

раллельных

сил. Если

все силы

системы

необходимо

и

достаточно,

параллельны

друг

другу,

то одно из трех

чтобы равнялись

нулю суммы

проекций

всех

сил на какую-

уравнений

становится

следствием

двух

либо

ось, не

перпендикуляр­

других.

ную

линиям

действия

сил,

В

самом

деле,

в этом

случае

линия

и

сумма

моментов

относи­

действия главного вектора (если он не

тельно какой-либо

точки:

равен нулю) параллельна линиям действия

всех

сил и для его определения достаточно

взять

сумму

проекций

всех

сил на ось,

параллельную

их линиям

действия. Если

сумма проекций всех сил равна

нулю, то

и

главный

вектор

равен

нулю. Если

же, кроме

того, равен

нулю

и

главный момент, то система находится

в равновесии.

Справедливо

и

обратное

заключение:

если

система

параллельных

сил, располо­

2*

= о. 1

(36)

%м0

°'

'

= о. |

Ось

Ох может

быть

и не

параллельной

линиям

действия сил,

а составлять

с ними какой-либо

угол,

кроме

прямого. _

Пусть

дана

система сил, расположенных

Для равновесия

плоской си­

в одной плоскости и параллельных друг

другу.

Возьмем

на этой плоскости

произ­

стемы параллельных сил не­

вольную

точку

А.

Если

2 ^ л

= 0>

обходимо

и

достаточно,

т о

чтобы равнялись нулю суммы

система может либо находиться в равно­

моментов

всех

сил относи­

весии, либо быть приведенной к равно­

тельно двух

точек плоскости,

действующей,

проходящей

через

точку

А

не лежащих

на прямой, па­

параллельно

линиям

действия

составляю­

раллельной

линиям действия

сил:

щих сил. Возьмем сумму моментов всех

2 ^ л = о ; 2 м Й = О

сил

относительно

какой-либо

точки

В,

выбрав

эту точку

так, чтобы

прямая

АВ

не

была

параллельна силам системы. Если

сумма моментов относительно

этой

точки

равна

нулю,

то

система

находится

в

равновесии,

потому

что

равнодействующая

не может

проходить

через точки А

и В,

так как должна

быть

параллельной

силам системы. Поэтому

равенства

2^=<U

( 3 (37

%мв=о

]

)

являются

необходимыми

и

достаточными

условиями

равновесия

плоской

системы параллельных сил.

Задача

№ 21 (№ 3.

16, 90 М). На двухконсольную

горизонтальную

б а л к у 1

действует пара

сил ( Р Р ) , на

левую

консоль —равномерно распределенная

нагруз­

ка интенсивности р, а в точке D правой

консоли —вертикальная нагрузка Q.

Определить

реакции

опор,

если

Р =

1 7У<2=>27\

р = 2Т/м,

а~0,8м

(рис. 57).

Решение.

Иногда

(как

в данной

задаче),

кроме

сил, действующих

на

тело,

имеется пара, заданная моментом. Силы пары

равны

и противоположны, поэтому пара сил не входит в

р

Р

уравнения

проекций,

но входит

в уравнения

мо­

ментов.

ІІІІІІІ А

В .

Рассмотрим равновесие балки CD. На

балку

W

действуют: 1) пара сил (РР)

с моментом +

Р - а =

а

=

0,8 Т-м\

2)

вертикальная

сосредоточенная

на­

грузка Q = 2T,

приложенная

в точке D; 3)

равно­

а

57

мерно

распределенная

нагрузка,

которую

заме-

р и с

няем одной вертикальной силой (равнодействую­

щей)

р - а = 1 , 6 7\

приложенной

в

середине

СА;

4)

реакция

Rg в

подвижной

опоре

В,

направленная

перпендикулярно

виртуаль<

ным перемещениям, т. е. вертикально; 5) реакция

Яд

в

неподвижном

шарнира

А.

Направление

реакции в неподвижном

шарнире, вообще

говоря,

неизвестно.

Если повернем пару, изображенную на чертеже,

на 90°, отчего, как

известно,

действие пары

на

балку

не изменится, то все силы,

действующие на балку,

станут

Зм

вертикальными,

следовательно,

и

реак­

ция

RA

вертикальна.

составим

урав­

Для

решения

задачи

нение

равновесия

в форме (36):

2 ^ = 0; _ 1 , б + / ? л + Я й - 2 = 0.

Пара

сил в это уравнение

не входит,

но обязательно должна

войти в уравнение

моментов:

2 М л = 0; + 1 > 6 . 0 , 4 + Я в - 1 , 6 -

— 2-2,4 +

0,8 =

0.

Решая совместно два этих уравне­

ния,

получим

ответ.

Можно воспользоваться также и урав­

нениями

(37).

Тогда

вместо

уравнения

проекций

надо

составить

второе

уравне­

ние

моментов:

2 М Й

= 0; + 1 , 6 - 2 - Я л - 1 , 6 -

— 2-0,8 +

0,8 =

0.

Решая

первое уравнение, найдем

Rg,

решая

второе,

найдем

Rj.

О т в е т .

Я л = 1 , 5

7\ /?в =

2 , 1 Г .

Задача № 22 (3.35,

109 М). Балка

АВ

длиной 4 м, весом 200 кГ может

вращаться

Рис.

58

вокруг горизонтальной оси А и опирается

концом В на другую балку CD длиной 3 м,

весом

160 кГ,

которая

подперта

в

точ­

ке

£

и соединена

со стеной

шарниром D. В точках М

и N помещены грузы по

8 0 к Г

каждый. Расстояния:

АМ=Ъм,

ED — 2M,

ND=IM.

Определить

опорные

реакции (рис. 58, а).

Решение.

Балки

АВ

и CD не являются

одним твердым телом, а представляют

собой систему сочлененных тел. Рассмотрим отдельно

равновесие каждого

тела

под действием

всех приложенных

к

этому телу сил.

1-й вопрос: равновесие какого тела рассматривать?

Ответ: равновесие балки

АВ.

2- й вопрос: какие силы действуют на это тело?

Ответ: на

балку

АВ

действуют

(рис. 58,

б):

а)

собственный

вес балки

200 кГ,

приложенный

к середине

балки

и

направ­

ленный

по вертикали вниз;

б)

вес 80 кГ

груза

М,

направленный

по

вертикали

вниз;

в) реакция Яд со стороны балки CD, поддерживающей балку

АВ.

Эта реак­

ция приложена к балке АВ

в точке В и направлена

по вертикали

вверх;

г) реакция RA в шарнире А. Эта реакция вертикальна, так как балка нахо­

дится в равновесии, а все остальные действующие на

балку

силы направлены по

вертикали. Нетрудно сообразить, что RA

направлена

вверх.

(37) по

Уравнения равновесия можно составить в форме

(36) или в форме

нашему

желанию.

Составим

их в форме

(37), приравняв

нулю

суммы

моментов

относительно

точки

А

и относительно

точки

В:

^ М д

= 0;

—200-2 — 80-3 + Я д

- 4 = 0;

2 м й

=

0;

200-2 + 80-1 — Я л - 4

= 0.

Решая

эти уравнения,

находим

RA = 120кГ,

Rg=

\60кГ.

Теперь

приступаем

ко второй части

задачи

и опять

задаем себе

тот же воп­

рос: равновесие

какого тела

рассматривать?

На

этот

раз рассмотрим

равновесие

балки

CD. Какие силы на нее действуют?

На нее действуют

(рис. 58, в):

а)

собственный

вес балки

160 кГ,

приложенный

в середине балки;

б)

вес 80 кГ

груза

N,

приложенный

между

опорами

Е

и D;

в)

давление

балки

АВ,

приложенное

к

балке

CD

в точке

С,

направленное

по вертикали

вниз

и (по закону

равенства

действия

и

противодействия)

равное

реакции

RB,

а

следовательно,

равное

160

кГ;

г)

реакция

Rg,

приложенная

в точке

Е

и направленная

вверх;

д)

реакция

R[).

Эта реакция

должна

быть вертикальной, так как

вертикальны

все остальные

действующие

на

балку силы, а

балка

находится

в

равновесии.

Однако трудно сказать (без предварительных вычислений),

направлена

ли эта

реакция

вверх

или вниз. При составлении уравнений

равновесия

примем

условно,

что RD направлена

вверх,

но если

в результате

решения уравнений

мы получим

отрицательную

величину

реакции

RQ,

то это будет

означать,

что мы реакцию

направили

неверно, и тогда

изменим ее направление на обратное. При правиль­

ном направлении

сил

значения

их

из уравнений

равновесия

должны всегда по­

лучаться

положительными.

Возьмем

сумму

проекций

всех

сил на

вертикальную

ось и сумму

моментов

всех сил относительно

точки D:

2^ = 0;

—160 — 80— 160+

Я о = 0;

2 %

= 0;

160-1,5 + 80-1 — RE-2-Y

160-3 = 0.

Решая

эти уравнения,

находим

ответ.

О т в е т .

Я л = 1 2 0

кГ, Я д = 1 6 0

КГ,

/ ? я = 4 0 0

кГ,

Я д = 0.

Статически

определенной за-

Итак,

имеется

только два уравнения рав-

дачей

называют

задачу

о

н о в е с и

я

системы

параллельных

сил, рас-

равновесий,

в которой

число

положенных

'

'„

плоскости,

' ґ

неизвестных

равно

числу

в

одной

вместо

уравнений

равновесия

трех

уравнений

равновесия

системы сил,

расположенных

на плоскости

произвольно.

Равновесие плоского пучка сил опреде­

ляется

двумя

уравнениями,

если

же силы

пучка

не лежат

в

одной

плоскости,

то

появляется

третье

уравнение

равновесия,

как это

показано

в

гл.

I I I .

В

системе

уравнений

число

неизвестных

не должно

превышать

числа

уравнений,

иначе

система

уравнений

не имеет

однозначных

решений.

Статически

определенными

задачами

называют

задачи о

равно­

весии

твердого тела, в которых

число

неизвестных

равно числу

урав-