Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Решение.

Конструкция

состоит

из

двух

полуарок

АВ

и

ВС,

сочлененных

шарниром В. Собственным весом иолуарок пренебрегаем, поэтому на арку

ABC

действуют следующие внешние силы: вертикальная

сила

Р

и реакции

в шарнирах

Л и С.

В

Между полуарками

имеется

взаимодействие в точке

их

сочленения.

Одна

из этих внутренних сил системы приложена к полуарке

АВ,

другая

равна

ей по

величине,

обратна по направлению,

но приложена

к полуарке

ВС.

Если

всю арку

рассматривать как твердое тело, то эти две силы учитывать не

надо, так как они

оказываются

приложенными к

одному

твердому телу

и,

следовательно,

взаимно

уравновешивают

друг

друга. В

уравнения

равновесия

всей

арки

войдут

только

внешние

силы

системы:

2* = 0; ХА-ХС

= 0; %У = 0; YA

+ Y C - P = Q;

^ М л

= 0;

Yc2l

— Pa =

0.

Имеем три

уравнения

с четырьмя

неизвестными.

С,

RB,

Для определения горизонтальной реакции в

шарнире

а также

рас­

смотрим

равновесие всех

сил, действующих на полуарку

ВС.

На

эту

полуарку

действуют

(рис. 59,

б): реакции

Хс

и

Yс

в

шар­

нире

С (внешние

реакции

системы)

и

реакция

в

шарнире В (внутренняя

реакция

для всей

системы,

но внешняя

для полуарки

ВС)

со стороны

полу­

арки АВ. Эту реакцию мы тоже

разложим

по

осям координат

на

Хв

и У'в

.

Составим

уравнения

равновесия

для полуарки

ВС:

2^ = 0; Х в - Х с

= 0; ^ Y = 0; - Y B

+ Yc

= 0;

^ М в

= 0; Ycl — Xch = Q.

Мы получили три уравнения, содержащие че­

тыре неизвестных,

но две из этих

неизвестных

вхо­

дят также и в предыдущие три

уравнения.

Всего

мы имеем шесть уравнений с шестью неизвестными.

Решая уравнения,

получим

ответ.

О т в е т . XA

= —Xc

= XB

= fa

'

2h

4

У А

Р, YC

= - Y B

= Ра

21

/

Жесткая

заделка

4

Задача

№

24

(№ 24.

С. М.

Т а р г.

Краткий

курс

теоретической

механики.

Физматгиз,

1958).

Брус,

вес которого

Р = 100 кГ,

приложен в точке С,

,р

жестко заделан в стену, образуя

с ней угол а = 60°

М^^^

*—

X

(рис. 60, а). Внутри угла DAB лежит цилиндр весом

Q— \80 кГ, касающийся бруса

в точке

Е,

причем

1

\F

Л £ =

0,3

м

и

ЛС = 0,4

м.

Определить

реакцию

заделки.

Решение.

Если

балка

заделана

в стену,

то на

Рис. 60

деленных

сил

(реакций). Приведем их по методу

Пуансокточке

Л, заменим одной неизвестной реак­

цией заделки (с проекциями ХА

и Y д) и одним не­

известным

моментом заделки М. Эти три неизвест­

ные определим из уравнений равновесия сил, действующих на балку.

Чтобы определить реакцию заделки (Хд,

Y д и М), надо

составить три урав­

нения равновесия

сил, действующих на брус,

и, решив их, найти три неизвестные

величины. Однако

среди

сил, действующих на брус, имеется

еще одна неизвест-

ная (четвертая)—сила

давления F

цилиндра, приложенная

к

брусу

в точке Е.

Для определения этой силы предварительно рассмотрим равновесие цилиндра

(рис. 60, б), на который

действуют

вес Q— 180 кГ, реакция

R'

стены,

направлен­

вдоль стены), и реакция R" бруса, направленная

влево вверх,

перпендикулярно

брусу (перпендикулярно виртуальным перемещениям цилиндра

по брусу). По прин­

ципу равенства действия и противодействия эта реакция R"

по величине

равна,

а по направлению противоположна силе F давления цилиндра

на брус.

(R"),

Из системы сил, действующих на цилиндр, надо определить

лишь одну

а потому достаточно одного уравнения равновесия,

если составить его так, чтобы

нение

> j M = 0 относительно

какой-либо

точки,

лежащей

на линии

действия

R'

(кроме

точки

0),

или

—

Сумма

проекций

на

вертикальную

ось всех сил,

приложенных

к цилиндру,

имеет вид

откуда

2^ =

0;

—180 + 7?" sin 60° = 0,

Уз

Сила F давления

цилиндра

на брусок

равна

120 У~3, но направлена в про­

тивоположную сторону

(рис. 60, в).

Кроме

силы

F, на

брусок

действуют

его вес Р = 1 0 0 кГ

и реакция в заделке,

которую мы представили проекциями ХА

и Y А

, а также

моментом

М.

Уравнения проекций и моментов всех

сил, приложенных к бруску, напишем,

приняв

за центр

моментов

точку

А:

2*

= 0;

ХА+120

/ 3

cos 60° =

0;

2У

= 0;

YA

— 120 y " 3 s i n 6 0 ° — 100 = 0;

%МА

= 0;

/И — 120 V

3-0,3 — 100-0,4 sin 60° = 0.

Решая

эти уравнения,

находим

неизвестные

величины.

О т в е т .

ХА

= —103,8

кГ;

YA

= +280

кГ;

УИ = +96,9

кГ-м.

Знак минус

перед

реакцией

ХА

показывает, что направление

реакции проти­

воположно

принятому

на рис. 60, в.

Это и очевидно,

так как давление цилиндра

стремится выдернуть

брусок из

заделки.

Определение внутренних усилий в стержнях фермы

Задача

№ 25. Определить опорные реакции и усилия в стержнях фермы крана

(рис. 61, а) при нагрузке

G = 8 Г.'Весом

стержней пренебречь.

Решение.

В задаче

требуется определить опорные реакции и внутренние уси­

лия

в стержнях

фермы. Под фермой

понимают

жесткое

сооружение, состоящее из

стержней, соединенных

шарнирами.

Для определения опорных реакций рассмотрим равновесие крана. На кран

действуют

три внешние

силы:

1) вес груза

G==8T;

2) реакция

# 2

в опоре

0 2 ,

направленная

вертикально

вверх,

перпендикулярно

виртуальным

перемещениям,

и 3) реакция

Rx

в шарнире

О х . Реакции

в шарнирах

мы

обычно

раскладывали

по координатным

осям

и

определяли

проекции

из уравнений

равновесия. Оче­

видно,

что

в

данном

случае

проекция

на горизонтальную

ось равна нулю,

потому

что все остальные

действующие на кран внешние силы вертикальны, сле­

довательно,

вертикальна

и реакция

Rt.

Эта

реакция направлена

вниз, так как

груз

стремится повернуть

кран

вокруг

опоры

0 2 .

Определим плечо силы G относительно

0 2 . Треугольник

ОіАОг

равносторон­

ний

и Л 0 2

= 3 м. В прямоугольном треугольнике

АВОг

катет

АО.г

равен половине

гипотенузы,

следовательно,

угол

Л О 2 В = 60°. Таков

же угол,

составляемый

ВОг

с горизонтальной прямой,

и искомое расстояние

/z = 6 cos 60° = 3.

Итак,

2мО2 =

0;

7? 1 . 3 - 8 - 3 =

0;-

2^о,

=

0;

7? 2 - 3 - 8 . 6 =

0,

2)

о т б р о с и м

мысленно

одну

из частей, на которые разрезана

ферма.

Принципиально говоря, безразлично,

которую из частей отбросить. Отбросим верх­

нюю

часть (рис. 61, в). В

результате

этих действий жесткость фермы нарушилась

бы и,

чтобы

сохранить равновесие

оставленной части фермы, необходимо к ней

приложить

внешние

силы, в точности такие же, как внутренние

усилия

в соот­

ветствующих стержнях неразрезанной фермы. Поэтому мы

3)

з а м е н и м отброшенную

часть фермы

неизвестными

по величине

силами,

направив их по разрезанным стержням в сторону от

оставленной части, т. е.

наружу

(рис. 61, г).

Если

среди

разрезанных

стержней

имеются

такие стержни,

усилия

в которых известны, то

наружу мы их направляем

только

в том случае,

щий это усилие

внутрь, к

шарниру. Эти

силы,

равные внутренним

усилиям в

стержнях,

обозначают

буквой S

с индексом,

соответствующим

номеру

стержня.

Теперь

составим

уравнения

равновесия

оставленной части фермы. Здесь удобно

применить третий

вид (35)

уравнений

равновесия:

2^ =

0;

St cos 60° —S3

cos 60° +

S4 cos 60° = 0;

2 ^

= 0; 8 - l , 5 + 1 6 - l , 5 + 5 4 . 3 s i n 6 0 o = 0.

Решая

эти уравнения,

находим

S, =

+ 9 , 2 r ;

S3 = —4,6 Г ;

S4

=—13,8

Т.

Знаки

минус

при полученных из уравнений

значениях

усилий

в третьем и

в четвертом стержнях показывают, что направления сил на

рис. 60, г нужно из­

менить на противоположные, так как эти стержни не растянуты, а сжаты.

Чтобы

определить

усилия в других

стержнях, надо снова применить метод

РОЗ,

разрезав

ферму

по другим

стержням;

чертеже (рис. 60, д);

4) р а з р е ж е м

ферму,

как

показано

на

5) о т б р о с и м

одну часть,

например правую

(рис. 60, ё);

6) з а м е н и м

отброшенную

часть силами, направленными по стержням.

Если

усилие

в стержне

неизвестно, то условно считаем,

что стержень растя­

нут, и направляем силу от шарнира: Sb

и 5 2

(рис. 60, ж). Если же усилие в раз­

резанном

стержне

уже известно,

то направляем его от шарнира, когда

стержень

растянут, и к шарниру, когда стержень сжат

(усилие в третьем

стержне, равное

4,6 Т

на рис. 60, ж). Затем

составляем и решаем

уравнения

равновесия:

2^

=

0;

S2

+ S 6 c o s 3 0 ° — 4,6 cos 60° =

0;

2 Л 4 „ 2 = 0; 8-3 — SB -3 = 0.

Из этих

двух

уравнений

находим

S2

и 5 6 .

О т в е т :

в

тоннах:

1^ = 8

(вниз),

R 2 = 1 6

(вверх),

усилия в

стержнях:

S ^ + 9 , 2 ;

5 2

= —4,6;

S3 = —4,6;

S4 = —13,8;

S5

=

+8,0.

§ 14. СИЛЫ

ТРЕНИЯ

Максимальное значение силы

Кулоново

трение. Трение

материальных

трения

скольжения

равно

т е л с в я з а н 0

с

явлениями не только меха-

произведению

нормального

нического,

но и электрического, термичес-

давления

и

коэффициента

трения: F K 3 K C =

JN

кого,

внутримолекулярного

и пр. харак­

тера, и изучение трения относится к области

физики. Трудами советских и зарубежных

ученых

открыты

законы

и выведены формулы, определяющие силы

трения.

Точные формулы очень

сложны,

но в технике

обычно поль-