Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 236

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

зуются для приближенного определения трения простыми соотноше­ ниями, установленными еще в X V I I I в. Ш. Кулоном опытным путем. Для вывода закона трения по Кулону проделаем опыт, обычно назы­ ваемый опытом Морена, по имени одного из основателей научной практической механики. Однако этот же опыт еще задолго до Морена проделал Амонтон — один из первых серьезных исследователей трения.

К телу (рис. 62), лежащему на горизонтальной негладкой плос­ кости, прикреплена перекинутая через блок нить, к другому концу которой привязана чашка с грузом. На тело действуют следующие силы: вес G, реакция R плоскости,

натяжение Q нити, равное весу груза, приложенного к концу нити, сила трения FTV, направленная

 

Рис.

62

 

 

 

Рис .63

 

 

против

натяжения

нити. Из условия равновесия тела следует, что

при покое тела сила трения

равна

и противоположна той силе

Q,

которая стремится

вывести

это тело

из состояния покоя.

 

 

Постепенно

увеличивая

груз

Q, а следовательно, и

натяжение

нити, мы убедимся, что тело начнет

двигаться, как только

это натя­

жение

достигнет определеной величины. До тех пор, пока натяже­

ние нити меньше

этой величины,

оно уравновешивается силой

тре­

ния, и тело находится в покое. Отсюда можно сделать заключение:

при

покое

тела увеличение

силы, стремящейся

привести тело в дви­

жение, вызывает увеличение силы трения от нуля до известного

пре­

дела

FKaKC,

больше которого сила трения быть

не может. Этот

пре­

дел

называют силой трения

скольжения при начале движения:

 

 

 

 

^ т р < ^ м а к с -

 

(38)

Как показывает опыт, максимальное значение силы трения про­

порционально нормальному

давлению:

 

 

 

 

 

Л . а к с = / # .

 

(39)

Под нормальным давлением мы понимаем составляющую полного давления, перпендикулярную к соприкасающимся плоскостям1 . Так, если тело веса G лежит на плоскости, составляющей угол а с плос­ костью горизонта (см. рис. 63). то нормальное давление AT = Gcosa.

1 В технике под термином «давление» обычно понимают величину, численно равную силе, действующей на единицу поверхности. Обратим внимание читателя (как это делает акад.В.Д.Кузнецов) на то, что в формуле (39) N означает нормаль­ ное давление на всю площадь соприкосновения.

Безразмерный коэффициент

пропорциональности

 

j

'F макс . 'F макс

 

 

 

N

F>

называют статическим

коэффициентом

трения скольжения.

Сопоставляя равенства

(38)

и (39), находим, что во время покоя

тела действующая на

тело

сила

трения

 

 

F T p < / y V .

(38')

После начала движения коэффициент трения скольжения несколько уменьшается и принимает значение динамического коэффициента тре­ ния скольжения:

f fДИН'

Согласно приближенным кулоновым законам трения коэффициен­ ты трения скольжения не зависят ни от давления, ни от величины трущихся поверхностей, ни от скорости. Они зависят от физиче­ ской природы трущихся тел, от шлифовки поверхностей, от рас­ положения волокон и, конечно, от смазки. Числовые значения статического и динамического коэффициента трения имеются в лю­ бом техническом справочнике.

 

 

 

 

 

Угол трения, тангенс трения, конус

тре-

Статический

коэффициент

н и я

Коэффициенты трения легко

можно

трения

скольжения

равен

 

 

г

 

 

тангенсу

угла

трения.

определить

экспериментальным

путем.

плоскости OA,

 

 

Пусть тело (рис. 63) лежит на наклонной

угол

наклона

которой мы можем изменять по

нашему

желанию.

На

тело

действуют

три силы: вес G, сила трения

сколь­

жения F

, направленная вдоль плоскости соприкосновения тел, и реак­

ция R плоскости, перпендикулярная к этой плоскости, по величине

равная

нормальному давлению N.

 

 

 

Будем постепенно увеличивать угол наклона до тех пор,

пока

тело не начнет двигаться вниз по плоскости. Угол наклона

плоско­

сти, при котором начинается скольжение,

называют углом трения

а г р

для данной пары трущихся материалов. Если, например, тело сде­

лано из бронзы, а плоскость стальная, то а т р

есть угол трения

бронзы

по стали.

 

 

 

 

 

Построим оси координат,

как

показана

на

чертеже, и

составим

уравнения равновесия:

Fмакс

G sin а т

 

 

 

2 Х = 0 ;

р =

0;

 

2 7 = 0;

R —

G cos а т р =

0.

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

-tga,vR.

Сравнивая это равенство с (39), находим, что статический коэф­

фициент трения скольжения равен тангенсу угла

трения. Тангенс

угла трения иногда коротко называют тангенсом

трения.

Реакцию, перпендикулярную к опорной поверхности (рис. 64, а),

называют идеальной реакцией в отличие от полной реакции, выражаю­ щейся геометрической суммой идеальной реакции и силы трения.

Таким образом, сила трения является касательной составляющей

полной

реакции,

идеальная

реакция — нормальной составляющей

полной

реакции, а угол трения — углом максимального

возможного

отклонения полной

реакции

Р т р опорной поверхности

от нормали

к ней.

 

 

 

 

Если мы будем поворачивать силу Р вокруг этой нормали, то также будут поворачиваться сила трения и полная реакция. При этом полная реакция опишет конус с осью, нормальной к поверх-

Рис. 64

ности соприкосновения тел, и с углом при вершине, равным удвоен­ ному углу трения. Этот конус, называемый конусом трения, являет­ ся геометрическим местом всевозможных направлений полной реак­

ции Р т р .

- Пусть к телу, лежащему на негладкой поверхности, весом кото­

рого

можно

пренебречь

(рис. 64,

б), приложена

сила

Р, состав­

ляющая угол

Р с

нормалью к этой

поверхности,

как показано на

чертеже.

Убедимся, что

сила Р не может привести тело в движе­

ние,

если

угол р

меньше угла

трения а т р . Разложим

силу Р на

две

составляющие:

P ^ P s i n p

и Р 2 = Р cos р.

 

 

 

 

 

 

 

 

Составляющая Р х стремится привести тело в движение, а Р 2 давит на поверхность, вследствие чего возникает сила трения Р т р , направ­ ленная против составляющей Р г Движение тела под действием силы Р произойдет лишь в том случае, если составляющая Р 1 будет больше

максимально возможного значения

силы

трения:

P l>-F MaKC = / / 5

2 = t ga T p / 5 2 .

или, принимая во внимание предыдущие

равенства,

Р sin р > tgaT p Pcosp.

Деля обе части неравенства на PcosP, получим следующее не­ обходимое условие движения тела:

tgp > t g a x p , или Р > a T p .

Рис. 65

В это условие не входит значение силы Р и надо сделать такое заключение: если на тело, лежащее на негладкой плоскости, оказы­ вает давление сила, линия действия которой лежит внутри конуса трения, то, сколь бы велика ни была такая сила, она не приведет тело в движение.

Этим правилом широко пользуются в технике, на нем построены теория клина, теория самоторможения и др.

Задача № 26. Идеально сыпучее тело1 , лежащее на горизонтальной плоскости, принимает форму конуса. Определить угол наклона образующей к горизонтальной плоскости (угол естественного откоса).

Решение. Рассмотрим равновесие какойлибо частицы М (рис. 65), находящейся на поверхности конуса. На частицу действуют три силы:

1)весО, направленный по вертикали вниз;

2)реакция R соседних частиц сыпучего те­

ла, направленная перпендикулярно возможно­ му перемещению частицы и равная нормально­ му давлению частицы на поверхность конуса;

3) сила трения FTp = fN, направленная по образующей вверх. Многоугольник (треугольник) сил, действующих на частицу, должен быть

замкнут, так как она находится в равновесии и

fN

•"-тг-тг-'-

Но коэффициент трения, как известно, равен тангенсу угла трения, следова­ тельно, угол естественного откоса равен углу трения:

ср = а т р .

Угол естественного откоса, называемый также углом ската, имеет большое значение при проектировании различных насыпей, элеваторов, овощехранилищ и пр.

Задача № 27. Сколько

яровой пшеницы можно насыпать на круглую

 

площад­

 

 

 

ку

диаметром

 

10

м,

если

вес 1 л

яровой

пшеницы

 

 

 

равен

750

Г,

а

/ =

0,75?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Умножив

насыпной

вес

яровой

пшени­

 

 

 

цы 0,75

Т/м3

на объем конуса

V — -g- яг2 /і =

—

 

jir3 tg<p,

 

 

 

где

ф — угол естественного

откоса,

получим

ответ.

 

 

 

 

О т в е т .

98

Т.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача

№

28.

Лестница

А В (рис.

66)

прислонена

 

 

 

к стене под углом 30°. По лестнице

поднимается

чело­

 

 

 

век весом Р. Пренебрегая весом лестницы, определить

 

 

 

наибольшее расстояние ВС,

на которое может подняться

 

 

 

человек, не уронив лестницы, если

коэффициент трения

 

 

 

лестницы

о

пол

и

о стену

/ =

tg

15°.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Рассмотрим равновесие лестницы в пре­

 

 

 

дельном

положении.

На

лестницу

действуют:

1) вес

 

 

 

Р человека,

приложенный

в точке С; 2) полная

реак­

 

 

 

ция

Я т р . л

в

точке

А,

направленная вправо

 

и

вверх

 

 

 

под

углом 90°—15° =

75°

к

стене,

так

как

в

пре­

Рис.

66

 

дельном положении она составляет с идеальной

реак­

 

цией

угол,

равный

углу

 

трения;

3)

полная

реак-

 

 

 

ция

ЯХ р.д

в

точке

В,

направленная

вверх

и

влево

1 Идеально

сыпучим

называют сыпучее тело, в

котором

отсутствует

сцепле­

ние, но действует внутреннее трение

 

(см. В.

В.

 

С о к о л о в с к и й .

 

Статика

сыпучей среды. Физматгиз,

1960).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

под углом 75° к полу. Уравнения равновесия имеют вид:

2^

=

0;

RJP.ACOS

1 5 е — / ? I p . a s i n 15° =

0;

2^ =

0;

/?т р , А sin 15° + Я т р . в cos 15° -

Р == 0;

2]Лів = 0;

Р - В С sin 30° — Я т р . л - Л В с о э 15° = 0.

Определив РчТ р

в

из первого

уравнения, подставим

во второе:

Умножив

это уравнение на sin 15°, найдем,

что Р т р , д = Р sin 15°,

и,-подставляя

это значение

в третье

уравнение равновесия,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р-ВС

sin 30° =

Я - Л Я

sin

15° cos 15° = Р-АВ у sin 30°,

 

 

 

откуда ВС —

^-АВ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

человек поднимается

по

лестнице

выше

АВ/2,

то три силы,

действую­

щие на лестницу, не пересекутся

в одной

точке,

и необходимое условие равно­

весия трех непараллельных сил (см. § 3) будет нарушено. Если же человек

будет

находиться на лестнице ниже, то

равновесие сохранится, так

как угол

тре­

ния является

максимальным

углом, который может составлять полная реакция

с идеальной

реакцией. В этом

случае сила трения будет меньше произведения

коэффициента

трения

на нормальное

давление,

 

и

три приложенные

к

лест­

нице силы пересекутся в одной точке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Трение

качения.

 

В

различных

 

задачах

Момент

пары,

противодей­

механики надо учитывать трение, возни­

ствующей качению тела по

кающее

 

при качении

тел. Оно не может

опорной

поверхности,

назы­

быть

объяснено

 

 

в механике

абсолютно

вают моментом трения каче­

 

а

 

ния.

 

твердого

тела,

 

потому

мы

коснемся

 

 

 

 

 

его лишь в общих чертах.

 

 

 

 

Пусть

перпендикулярно

к оси цилиндрического

катка

(рис.

67)

веса G и радиуса г, лежащего

на

негладкой

горизонтальной

по­

верхности,

приложена горизонтальная сила F. Вследствие деформа­

 

 

 

 

ций

катка

и опорной

поверхности

их

касание

 

 

 

 

происходит

не в одной

точке,

а по

некоторой

площадке, и нормальная реакция R бывает сме­ щена относительно вертикальной плоскости сим­ метрии катка на некоторое расстояние б. В на­ правлении, обратном силе F, в том месте, где каток касается опорной поверхности, возникает

 

 

сила

F", которую называют силой

трения каче­

Рис. 67

ния. Во время

равновесия

катка

эта

сила по

 

 

модулю

равна

F и составляет с ней пару

{FF"), уравновешиваемую

парой (GR), момент

которой

называют

моментом

трения

качения.

Плечо

б этой пары при предельном

равновесии

называют коэффициентом

трения

качения.

Отметим, что

в отличие

от безразмерного

коэффициента

трения скольжения ко-

Смотрите также файлы