Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл (22,35Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 237

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

эффициент трения качения					имеет размерность длины и его выра
жают	в	миллиметрах,		поэтому		оба эти	коэффициента — величины
несравнимые. Неправильно					было бы считать, что трение качения
всегда	меньше,		чем трение		скольжения. Они зависят от свойства
трущихся		тел.	Летом	ездят	на	колесах, а	зимой на санях.

Момент трения		качения вполне это трение характеризует, но
иногда бывает	удобно пользоваться силой трения качения,		величину
которой
		F * = 6 - £	(40)
легко получить	из	равенств моментов двух пар.

4 Ж 784

§ 15. РАЗЛИЧНЫЕ

Г Л А В А VI

ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ

СЛУЧАИ ПРИВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Как

было

показано

в § 11, всякая

сис-

Главный вектор

главный

тема

сил, приложенных

к твердому

телу,

момент относительно начала

м о ж

е т

быть

приведена

к главному векто-

координат можно

вычислить

РУ

( 2 7 ) '

* і

точке

по их проекциям

на оси

приложенному

в любой

тела,

равному

геометрической

сумме

всех

сил

системы,

и к главному

моменту

(28),

равному

геометрической

сумме моментов

всех

сил относительно той же точки.

Чтобы избежать

геометрического суммирования,

величину

глав

ного

вектора

можно

вычислить

через

суммы

проекций всех сил на

три

оси координат:

р^/Ш^ТШпТ(Ш,

(5)

его направление—по

трем

направляющим

косинусам (6).

Если за центр приведения

выбрано

начало

координат, то

глав

ный

момент системы

сил относительно

этой точки

удобно

определять

по формуле,

аналогичной (22):

главные

моменты

относительно

осей

координат —по

формулам:

МеЖ.х

= 2(Уг-гУ);

MTR.y

= ^(zX-xZ);

(23')

Мтя.,=2(ХУ-УХ).

причем суммирование

распространено

на все силы.

Заметим,

что проекцию главного момента системы сил относитель

но центра приведения на какую-либо

ось, проходящую

через

этот

центр, называют главным моментом системы

сил относительно

этой

оси.

Момент силы относительно

оси является

скаляром второго

рода,

поэтому главный момент системы относительно оси равен алгебраичес

кой сумме		моментов всех		сил системы		относительно этой оси.
„				Динамический			винт. В произвольной сис-
Система	сил, приложенных			"			£	„
к твердому		телу, в	общем	т е м е с и л > к а к		и	в плоской, главный вектор
случае	эквивалентна		дина-	является инвариантом, он не зависит от
ме, т. е. силе и паре, момент				центра приведения, а главный момент зави-
которой параллелен			силе	с и т о т ц е н Т р а		приведения. Но система сил,
не расположенных в одной плоскости,					имеет второй инвариант — про
екция главного момента на главный вектор.
Пусть к твердому телу приложена							произвольная	система сил.
Если,	приведя такую систему сил к какой-либо точке							А (рис. 68, а),

мы найдем, что главный вектор и главный момент не равны нулю и не перпендикулярны между собой (общий случай), то мы можем раз-

ложить Мгл. А на две составляющие, из которых одна М г л . і направ лена по главному вектору, а другая Мгл. А% перпендикулярна к нему. Представив Мгл, АЧ В виде пары сил, модули которой равны модулю главного вектора, а плечо равно -М г -4 - м , мы расположим эту пару

(рис. 68, б) так, чтобы одна из сил пары уравновесила главный век тор. Данная система сил приведена нами (рис. 68, в) к главному век тору, линию действия которого называют центральной осью системы

сил1, и к главному моменту М г л Л , параллельному главному вектору. Мы можем представить Мглл в виде пары сил. Совокупность силы и

		Рис. 68
пары, момент которой параллелен силе, называют динамическим			винтом,
или динамой2.	Так как момент пары есть вектор свободный,		можно
перенести его на центральную ось системы сил (рис. 68, г).
Таким образом, система		сил, приложенных к твердому телу, в
общем случае	может быть	приведена к динамическому винту.

Если бы мы приняли за центр приведения не точку А, а какуюлибо другую точку В (рис. 68, д), то получили бы такой же главный

вектор (инвариант), приложенный в этой точке					В,	но иной		главный
—>^
момент М г л . в .	Раскладывая		главный момент	на	две		составляющие
(параллельно	и перпендикулярно главному			вектору),			мы	получили
бы такой же	М г л . і	(второй	инвариант), но УИГЛ. S 2			отличался бы от
М г л . А 2 . Представляя		Мгл. Д 2	в виде пары сил, мы пришли бы к тому
же динамическому винту и с той же центральной осью, так								как этот

динамический винт эквивалентен данной системе сил и, конечно, не

может зависеть		от	того, какую точку мы выберем за центр приведе-
1	Центральная	ось	системы сил открыта Л. Пуансо, им же предложен термин.
2	Термин «динама»		предложен К. Максвеллом, но открытие динамы принадле
жит Л. Пуансо.
99			4*

ния. Скалярную величину,

характеризующую

динамический

винт и

равную отношению модуля вектора момента МтлЛ

к модулю

вектора

силы Fr4,

называют параметром

динамического

винта.

Случаи приведения

к равнодействующей и

Если главный момент пер-

к паре. Если,

приведя

систему

какому-

пендикулярен главному

век-

и б

е н т р у

м ы

обнаружим,

что глав-

тору, то

система

сил

экви-

„

взаимно

валентна

равнодействующей

в е к т о Р

ГЛЗВНЫИ

момент

перпендикулярны,

то

система

приводится

к одной

равнодействующей. В

самом

деле,

положив

(рис. 68), что

МГ1. 1 = 0, а МТЛ_А

= МГъМ

и представив

этот

момент

виде

пары

(см. рис. 68, б), силы которой

равны главному вектору, мы сведем

всю систему к одной силе

^ г л

(см. рис. 68, в),

т. е.

равнодействую

щей, направленной

вдоль

центральной оси, которая

этом

случае

становится линией действия равнодействующей. Здесь

мы имеем слу

чай, аналогичный

встреченному

нами при приведении

плоской

систе

мы сил к

равнодействующей

(см. рис. 51).

Понятно, что произвольная

система сил также эквивалентна

одной

равнодействующей

и в том случае, если главный

момент равен

нулю,

а главный

вектор

нулю не равен. В этом случае главный вектор один,

без главного момента, эквивалентен системе сил, т. е.

является ее

равнодействующей, а линия действия равнодействующей

проходит

через центр приведения.

Если же в результате

приведения

системы сил к центру

окажет

ся,

что главный

вектор равен нулю, а главный момент нулю не равен,

то

система

эквивалентна

паре,

момент которой равен главному мо

менту и (в этом случае)

не зависит от центра приведения.

§ 16. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ

ПРОИЗВОЛЬНО

РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ

Случай равновесия. Если и главный век-

Если главный вектор и глав-

тор

системы,

и главный

момент

системы

ный момент системы сил рав-

относительно точки приведения равны нулю,

ны нулю,

то система сил на-

система

ходится

в равновесии

сил находится

равновесии.

Справедливо и обратное заключение: если

данная

система

сил находится

в равновесии,

то

и главный

вектор

системы, и главный момент равны нулю.

Следовательно,

условия

Л-л = 0;

М г л . о = 0

(41)

являются необходимыми и достаточными условиями равновесия про извольной системы сил.

В случае	равновесия системы	не только	первое	из равенств (41),
но и второе	не зависят от центра приведения. В самом				деле, если
система находится в равновесии,		т. е. если	система	сил	такова, что

наличие этой системы эквивалентно ее отсутствию, то это равновесие системы не может нарушиться от того, выберем ли мы за центр при ведения ту или иную точку тела.


Равенства			(41) называют				условиями	равновесия		произвольной
системы		сил в геометрической					форме. Сравнивая		их с	полученными
ранее	условиями			(31) равновесия плоской системы сил, мы видим,
что различие			заключается			в том, что в (41) главный момент системы
написан		как	вектор,		а в	(31) — как скалярная			величина. По		сути
дела	равенства			(31)	являются		частным случаем		равенств (41),		как
и плоская система сил является частным								случаем системы сил, рас
положенных			произвольно в пространстве.

Для равновесия произволь ной системы сил необходимо и достаточно, чтобы равня лись нулю суммы проекций всех сил на оси координат и суммы моментов всех сил относительно осей координат

Напишем условия равновесия в таком виде:

(41')

Оба равенства (4Г) геометрические и вы ражают условие замкнутости многоугольника сил и многоугольника моментов. Оба эти многоугольника являются не плоскими, а прост ранственными, поэтому каждая из геометрических сумм векторных величин (41') может быть заменена тремя алгебраическими суммами проекций этих векторов на оси прямоугольной системы координат. Построим прямоугольную систему координат с началом в центре при ведения (в любой точке пространства). Спроецировав все силы на эти координатные оси, а также спроецировав на те же оси все векторы моментов сил относительно начала координат, мы заменим два гео метрических равенства (4Г) шестью аналитическими равенствами:

2 х = о,
2*/	= °-
2^	= 0,
2м	я =о,	(42)
2>м, = о,

2м, = о.

Эти равенства называют условиями равновесия произвольной системы сил, выраженными в аналитической форме. Если эти условия

содержат	неизвестные величины, то их называют уравнениями			рав
новесия произвольной		системы сил.
Вместо	Мх, Му	и Мг мы можем	подставить их выражения	(23)
и условия	равновесия произвольной		системы сил записать в следую