Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Таким образом, для равновесия произвольной системы сил не­ обходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на три взаимно перпендикулярные оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей.

Выведенные ранее условия равновесия системы сил для различных случаев (8), (33), (36) могут быть получены из условий (42) или (43). Так, например, если система сил лежит в плоскости хОу, то аппли­ каты г точек приложения сил и проекции Z сил на ось Oz равны нулю, третье, четвертое и пятое из равенств (43) тождественно обра­ щаются в нуль, а шестое ввиду равенства (16) будет представлять сумму моментов относительно точки О, и мы получим равенства (33).

Выведем условия равновесия системы параллельных сил, не ле­ жащих в одной плоскости. Построим систему прямоугольных коор­ динат, направив ось Oz параллельно линиям действия сил. В таком случае первое, второе и шестое из равенств (42) и (43) обращаются в тождество 0 = 0, остаются лишь третье, четвертое и пятое равенства:

являющиеся необходимыми и достаточными условиями равновесия системы параллельных сил, не лежащих в одной плоскости,

Задача о равновесии должна содержать столько же неизвестных, сколько имеется уравнений равновесия для данной системы сил,

в одной плоскости, могут иметь лишь по три неизвестных, в противном случае это будут статически неопределенные задачи. Так, например, определение реакций в четырех ножках стула является статически неопределенной задачей, так как имеется лишь три уравнения (44) и число неизвестных в задаче больше числа уравнений равновесия.

Задачи на определение равновесия пространственной системы сил решают аналогично задачам на равновесие плоской системы сил. Сначала выделяют твердое тело, равновесие которого надо рассмот­

Пространственные системы сил, приложенные к твердому телу, обычно включают в себя большое количество сил, и для определения

У

Рис. 69

ляющие Хд и Уд; вертикальная составляющая 1д заведомо равна нулю, так как шарнир допускает вертикальное перемещение, а следовательно, реакция гори­

Решая эту систему шести уравнений равновесия, находим шесть неизвестных величин.

Моменты сил относительно координатных осей мы определяли по проекциям этих сил и по координатам точки их приложения, применяя формулы (23). Но их

Решая систему уравнений равновесия, получим положительные значения для всех сил и реакций, кроме YА- Это означает, что на чертеже (см. рис. 69, б) направления сил и реакций взяты правильно, а направление YА надо изменить на противоположное.

Г Л А В А VII

ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

§ 17. КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

в одной плоскости.

Для получения равнодействующей применим метод последователь­ ного сложения. Сначала сложим две силы Fl и F2 по известному правилу сложения двух параллельных сил. Равнодействующую этих

сил обозначим R12 и приложим в точке С1 а , находящейся на прямой, соединяющей точки приложения А и В слагаемых сил, и определяемой из пропорции

лельна своим составляющим. Точка С 1 2 останется на прежнем месте, так как модули сил Ft и F2 и их точки приложения А и В не из­ менились, а следовательно, не изменилась и пропорция (11). Не из­ менится также и модуль равнодействующей, равный, как известно, сумме модулей составляющих сил. Но если величина и точка при­ ложения силы R12 не изменились, а сила повернулась, став парал-

а линия действия равнодействующей R повернется вокруг этой точки, оставаясь параллельной линиям действия сил системы.

Точка приложения равнодействующей не является строго фикси­ рованной, так как равнодействующую всегда можно перенести в дру­ гую точку ее линии действия, поэтому мы определим центр парал­ лельных сил как точку на прямой действия равнодействующей системы параллельных сил, вокруг которой поворачивается эта прямая, если все параллельные силы поворачиваются вокруг точек их приложения, оставаясь параллельными между собой.

ностью быть приняты за параллельные. Под действием силы тяжести каждая материальная частица тела, находящаяся вблизи Земли, при­ тягивается к Земле и вектор силы тяжести направлен «вниз» по от­

небольшие размеры материальных тел, центры тяжести которых при­ ходится определять, позволяют считать силы тяжести частиц одного тела параллельными. Например, направления сил тяжести двух частиц, находящихся на корме и на носу океанского лайнера длиной 300 м, составляют между собой угол в десять секунд дуги, который невозможно даже отметить на чертеже ввиду его малости. С очень большой точностью можно принимать силы тяжести различных частиц одного и того же тела за параллельные, а общий вес тела считать приложенным в центре этих параллельных сил тяжести, называемом

центром тяжести тела2.

Как бы ни поворачивали тело и ни изменяли его положение по отношению к Земле, силы тяжести его отдельных частиц останутся вертикальными и параллельными между собой. Относительно тела они будут поворачиваться вокруг своих точек приложения, сохраняя величину и параллельность. При этом линия действия равнодейст­ вующей параллельных сил будет проходить через одну и ту же точку— центр тяжести. Отсюда следует, что центр тяжести твердого тела не изменяет своего положения относительно этого тела при изменении

1 Понятия «верх» и «низ» в таком смысле впервые определены Аристотелем. 8 Понятие «центр тяжести» впервые установлено Архимедом около 250 г. до н. э.