Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 242

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

положения самого тела. Положение центра тяжести в теле зависит только от формы *ела и от распределения в нем материальных частиц.

Координаты центра тяжести

Отыскивать

центр тяжести какого-либо

тела методом

последовательного сложения

определяются

равенствами

векторов сил тяжести

его частиц не пред­

2°***

 

2G*i/ft.

ставляется целесообразным из-за громозд­

хс

 

кости вычислений. Мы выведем общие фор­

2 ° А г А

мулы, позволяющие

сравнительно легко

определять координаты центра

параллель-

zc = -

 

u

ных сил (или центра

тяжести

тела).

Разобьем

мысленно тело на такие части, центры тяжести которых

можно было бы сравнительно легко определить. Заменим каждую такую часть точкой (которую мы будем называть изображающей точкой), совпадающей с центром тяжести этой части и имеющей вес, равный весу этой части тела. Таким образом, изображающая точка характе­ ризуется своим весом и положением в исследуемом теле, а все твер-

а)

б)

Рис.

71

дое тело заменено нами системой

изображающих точек. Положим,

что изображающих точек в теле получилось п. Веса этих точек будем

обозначать

буквой

G с индексом,

указывающим

принадлежность

к той или иной точке: Glt G2 , G3,

Gn. Построим систему коор­

динат, неразрывно

связанную с данным телом, направив ось Ог по

вертикали

вверх (рис. 71, а), и обозначим координаты

изображающих

точек через х, у и г с индексами, соответствующими

точкам. Равно­

действующая всех сил тяжести системы изображающих точек равна

весу G всего тела, приложенному

в его центре тяжести,

координаты

которого обозначим хс,

ус и гс.

'

 

 

Воспользуемся теперь формулами (23), выражающими моменты

сил относительно координатных осей через координаты

точек при­

ложения силы и проекции силы на оси координат:

 

Mx=yZ-zY,

My*=zX—xZ,

Mz = xY—yX.

(23)

Выразим по первой из этих формул моменты относительно оси X сил тяжести всех частей тела, т. е. сил, приложенных к изобража­

ют

ющим точкам. Проекции этих сил

на

ось у

равны нулю, а на ось

г — весам соответствующих

частей

тела с

отрицательным знаком:

М*. і =

Уігі—гі¥г

 

=

— Уі°і>

Мх<

2 = £/Л — z2Y2

== — y2G2,

Мх>

п = ynZn — znYn

=

—

y„Gn.

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим

2 мх, k = — 2

Выразим теперь по той же формуле (23) момент равнодействую­ щей относительно оси Ох:

Mx(G)=-ycG.*

В левой части этого равенства записан момент равнодействующей G относительно оси х, а в левой части предыдущего равенства — сумма моментов всех составляющих относительно той же оси. Эти две ве­ личины равны между собой, следовательно, равны и правые части равенства, т. е.

Уев = 2

Vifik-

Из этого соотношения находим ординату центра тяжести:

2 Ук°к

Если воспользоваться вторымУс = изо"равенств

(23)

My = zX—xZ

*

и определить сумму моментов сил тяжести, приложенных к изобра­ жающим точкам, относительно оси у, приравняв ее моменту равно­ действующей относительно той же оси, то аналогично предыдущему получим абсциссу центра тяжести

k—n

2

 

xkQk

 

х с

п

•

 

Для определения аппликаты zc

центра тяжести тела

повернем

это тело вместе с осями координат

 

на 90° вокруг оси х в

направле­

нии вращения стрелок часов, тогда место оси у займет ось г, а ось у

будет направлена

по вертикали вниз. В результате этого

поворота

все силы

тяжести

повернутся

на один и тот же

угол 90°,

а

центр

параллельных

сил

(или в нашем

случае — центр

тяжести

тела) не

изменит

своего

местоположения

как

относительно

тела, так

и

отно­

сительно неразрывно связанных с ним координатных осей (рис.

71,6).

Силы тяжести расположатся теперь параллельно

оси у, и их про­

екции Y на эту ось будут положительны и равны модулям сил тяжести.

Найдем

моменты сил тяжести

относительно оси х

при новом поло­

жении

тела:

 

 

 

 

 

Mx,l=ylZ1

— z1Y1

= — ziG1,

 

 

/ИЛ і

2 У%^,г

^ 2 ^ 2 =

Zfi2,

 

Суммируя отдельно

левые и

правые части этих

равенств, найдем

 

 

ft=l fe=l

 

 

 

Определив момент равнодействующей относительно той же оси, получим

Mx(G) = -zcG

и, приравнивая момент равнодействующей сумме моментов составляю­ щих, найдем аппликату центра тяжести:

к=п

2 г*°*

k-1

Напишем теперь вместе выведенные нами формулы:

 

2

xk°k

 

 

 

k=i

 

 

 

 

 

G

 

 

 

k = n

 

 

 

2

Ук°к

 

(45)

Ус

=

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

2

zkGk

 

 

zr

= -

G

 

 

Эти формулы определяют положение центра тяжести.

 

Суммы произведений

сил

на координаты точек их приложения,

стоящие в числителях этих формул, называют статическими

момен­

тами, а в знаменателях

всех

формул мы имеем

вес всего тела.

Координаты х, у и

z всякой точки равны

проекциям

на оси

координат радиуса-вектора г точки относительно начала координат. Следовательно, три аналитических равенства (45) можно заменить одним векторным равенством

2 "*G*

§ 18. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ЛИНИЙ, ПЛОСКИХ ФИГУР И ТЕЛ

Если тело имеет плоскость симметрии (или ось симмет­ рии, или центр симметрии), то центр тяжести тела лежит на этой плоскости (оси или

в центре) симметрии

Если

тело однородное, то,

представляя^

вес

тела

как произведение

его объема V

на

вес у

единицы объема, а вес отдель­

ных

его

частей — как произведение у на

их

объем,

получим:

 

 

yV '

V

 

Ус

^yVkyk

XVkyk

(46)

yV

V

гс — yV

Втаком смысле можно говорить о центре тяжести объема, по­ нимая под этим центр тяжести однородного тела данной геометриче­ ской формы.

Втом же смысле говорят о центре тяжести поверхностей и фи­ гур, понимая под этим центр тяжести однородных пластин равной

толщины. Его можно определить по аналогичным формулам:

s

 

 

 

 

УС

 

 

 

 

(47)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ^*г*

 

 

 

где

(при k=\,

2, 3,

 

п) —площади

отдельных

частей плас­

тины,

S—площадь

всей

пластины.

 

 

 

В

том же смысле

говорят

и

о центре

тяжести линий, понимая

под линией тонкую

 

однородную

нить:

 

 

 

 

Х с ~ Щ ;

ус

= Щ»±;

zc

= 2 £ i .

(48)

Если тело, хотя

бы

и неоднородное,, имеет плоскость симметрии,

т. е. каждой частице тела по одну сторону этой плоскости соответ­ ствует симметрично расположенная частица такого же веса по дру­ гую сторону плоскости, то центр тяжести такого тела лежит на плоскости симметрии. В самом деле, если каждой частице по одну сторону плоскости соответствует такая же по весу и симметрично расположенная частица по другую сторону, то равнодействующая сила тяжести этих двух частиц приложена к точке, лежащей в пло­

скости симметрии. По той же причине

в плоскости симметрии лежат,

и точки приложения равнодействующих весов других взятых

попарно

симметричных частиц. Складывая эти

равнодействующие,

найдем

Смотрите также файлы