Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 246
Скачиваний: 2
и их равнодействующую, которая приложена в |
той |
же плоскости, |
||
а точка приложения этой равнодействующей |
лежит в |
центре тяже |
||
сти тела. |
|
|
|
|
Для случая, если тело имеет ось симметрии |
или |
центр |
симмет |
|
рии, можно доказать аналогичные теоремы. |
Из |
этих |
теорем |
можно |
вывести следующие следствия: |
|
|
|
|
1) центр тяжести однородного прямого стерж ня (или отрезка прямой) лежит в его середине;
2)центр тяжести параллелограмма (однород ной тонкой пластины, имеющей форму парал лелограмма) лежит в точке пересечения его диагоналей, являющейся центром симметрии параллелограмма;
3)центры тяжести однородного правиль ного многоугольника, круга, эллипса, шара ле
жат в |
их геометрических |
центрах. |
|
|
|
|
|
|
||
В виде примеров ограничимся |
определением |
|
|
|
|
|||||
центров тяжести дуги окружности и площади тре |
|
|
|
|
||||||
угольника, так как учащиеся будут иметь возмож |
|
Рис. |
72 |
|
||||||
ность и даже необходимость определять центры тя |
|
|
|
|
||||||
жести |
различных тел на упражнениях по интегральному исчислению. |
|||||||||
|
|
|
Построим оси координат, как показано на |
|||||||
Центр |
тяжести дуги |
окруж |
чертеже |
(рис. 72), и |
разобьем дугу |
на п |
||||
элементарных |
отрезков Alk. |
Центр тяжести |
||||||||
ности отстоит от ее центра |
дуги лежит |
на |
оси |
симметрии |
(ус= |
0). |
||||
на расстоянии, равном про |
||||||||||
изведению длины хорды на |
Абсциссу центра |
тяжести |
найдем |
по |
(48): |
|||||
радиус |
окружности, |
делен |
|
|
|
|
|
|
|
|
ному на длину дуги |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ХС— |
|
j |
|
|
|
Приняв элементарные отрезки дуги за прямолинейные, разложим один из них на Axk и Аг/А. Если радиус, проведенный на середину этого отрезка, составляет с осью- Ох угол ак, то, как видно из чертежа,
cosab = -2- =
откуда
хкЫк = гЬук.
Составим такие выражения для всех отрезков и просуммируем их:
|
2 xkMk = |
г 2 Аг/Л = |
rh, |
где h—длина |
хорды. Подставив |
найденное |
выражение в (48), опре |
делим центр |
тяжести дуги' |
rh |
|
|
|
|
|
|
хс |
— — . |
|
1 Эта формула получена Валлисом (1655 г.).
Учитывая, |
что |
h =2r |
sin а |
и |
l = |
2ar, |
этой формуле |
можно |
дать |
|||||||||
следующий |
вид: |
|
|
|
|
sin |
а г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
хг |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В частности, |
для |
полуокружности а = |
-~г, |
sina = |
I |
и |
хс = |
~. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Разобьем площадь треугольника (рис. 73) |
||||||||||||
Центр тяжести |
треугольника |
прямыми, |
параллельными |
основанию, |
на |
|||||||||||||
лежит |
на пересечении |
его |
очень большое |
число узких полосок, кото |
||||||||||||||
медиан |
на |
расстоянии |
от |
рые |
можно |
рассматривать |
как |
отрезки |
||||||||||
основания, |
равном |
одной |
||||||||||||||||
прямых |
линий. |
Центр |
тяжести |
каждого |
||||||||||||||
|
трети |
высоты |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
отрезка |
лежит |
на |
его середине, а |
потому |
||||||||
и центр тяжести всей площади треугольника |
лежит где-то на медиане, |
|||||||||||||||||
соединяющей вершину треугольника с серединой его основания. Разбив площадь треугольника прямыми, параллельными какой-либо другой стороне, и рассуждая аналогично, мы придем к заключению, что центр тяжести треугольника должен лежать и на другой ме диане. Следовательно, центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан. Как известно из планиметрии, ме
дианы |
пересекаются на |
расстоянии |
одной |
трети |
от |
основания |
||||||||||
и двух |
третей |
от вершины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Для |
нахождения координат |
центра |
тяже |
|||||||||
Для определения |
координат |
сти тела (или фигуры), имеющего слож |
||||||||||||||
центра тяжести тел и фигур |
ную |
форму, нужно |
мысленно |
разбить |
это |
|||||||||||
сложной |
формы |
эти |
тела и |
тело |
(или |
эту |
фигуру) |
на |
такие |
простей |
||||||
фигуры |
заменяют |
системой |
шие формы (если, конечно, |
это |
возможно), |
|||||||||||
точек и определяют |
коорди |
|||||||||||||||
для которых положение центра тяжести и |
||||||||||||||||
наты |
по формулам |
(45) |
||||||||||||||
|
|
|
|
вес могут быть легко определены. В центре |
||||||||||||
тяжести каждой |
такой |
части |
тела |
считают |
приложенным |
вес |
этой |
|||||||||
части. Будем называть, как |
мы это |
уже |
сделали |
выше, |
центры |
тя |
||||||||||
|
В |
|
|
|
жести частей с приложенными в них |
|||||||||||
|
|
|
|
весами этих частей изображающими |
точ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ками. Для нахождения координат центра |
|||||||||||
|
|
|
|
|
тяжести тела сложной формы остается |
|||||||||||
|
|
|
|
|
лишь найти |
центр тяжести всех |
изобра |
|||||||||
|
|
|
|
|
жающих точек по формулам (45). Одна |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ко на практике эти подсчеты |
содержат |
||||||||||
|
|
|
|
|
большие трудности. Так, например, не |
|||||||||||
|
|
|
|
|
которые тела (пароходы, самолеты, авто |
|||||||||||
|
Рис. |
73 |
|
|
мобили и т. п.) приходится |
иногда |
за |
|||||||||
|
|
|
|
|
менять тысячами изображающих точек. В |
|||||||||||
этих случаях может оказаться удобным подсчет по таблице, при веденной нами при решении следующей задачи.
Задача № 30 (№ 9.17, 299 М). Определить координаты центра тяжести кон тура прямоугольного параллелепипеда (рис. 74), ребра которого суть однородные
бруски |
длиной: |
OA = |
8 |
дм; ОБ = 4 |
дм; |
ОС = 6дм; |
веса |
брусков, |
выраженные |
|
в ньютонах: 0А |
= 250; |
ОБ, ОС и CD |
по |
75; CG = 200, |
Л Р = |
125; AG |
и GE — по 50; |
|||
BD, BF, |
DE и |
|
EF — по |
25. |
|
|
|
|
|
|
Решение. Заменим стержни изображающими точками. Каждая из них имеет координаты середины того стержня который она изображает, и его вес.
Заполняем |
таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
||
№ п.п. |
Название |
Gk |
4 |
Ук |
4 |
|
|
GkVk |
Gkzk |
|
1 |
ОВ |
|
75 |
0 |
0 |
2 |
|
0 |
0 |
150 |
2 |
ОС |
75 |
3 |
0 |
0 |
|
225 |
0 |
0 |
|
3 |
CD |
|
75 |
6 |
0 |
2 |
|
450 |
0 |
150 |
4 |
BD |
|
25 |
3 |
0 |
4 |
|
75 |
0 |
100 |
5 |
BF |
|
25 |
0 |
4 |
4 |
|
0 |
100 |
100 |
6 |
OA |
|
250 |
0 |
4 |
0 |
|
0 |
1000 |
0 |
7 |
CG |
|
200 |
6 |
4 |
0 |
|
1200 |
800 |
0 |
8 |
DE |
|
25 |
6 |
4 |
4 |
• |
150 |
100 |
100 |
9 |
• AG |
50 |
3 |
8 |
0 |
|
150 |
400 |
0 |
|
10 |
AF |
|
125 |
0 |
8 |
2 |
|
0 |
1000 |
250 |
11 |
EG |
|
50 |
6 |
8 |
2 |
|
300 |
400 |
100 |
12 |
EF |
|
25 |
3 |
8 |
4 |
|
75 |
200 |
100 |
|
2 |
|
1000 |
|
|
|
|
2625 |
4000 |
1050 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Суммируя третий столбец и подсчитав суммы трех последних, определяем вес |
||||||||||
системы |
и статические |
моменты, и |
нам остается |
лишь поделить |
статические мо |
|||||
менты на вес системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О т в е т . хс |
= 2,625 дм; ус |
= 4,000 дм; |
гс= |
1,050 |
дм. |
|
|
|||
Если в теле или фигуре имеются полости или отверстия, то для определения центра тяжести пользуются теми же приемами и фор-
Рис. 74 Рис. 75
мулами, считая при этом объемы и площади вырезанных частей
отрицательными. Этот |
метод иногда называют методом |
|
отрицатель |
|||||||||
ных |
масс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поясним применение этого метода решением задачи. |
|
|
|
|||||||||
Задача № 31 (№ 87. Проф. Н. Е. |
Ж у к о в с к и й . |
Задачник |
по механике). |
|||||||||
В диске радиуса г сделан |
эксцентрический вырез в виде |
круга, |
построенного на |
|||||||||
радиусе как |
на диаметре. |
Найти центр тяжести оставшейся части диска |
(рис. 75). |
|||||||||
Решение. |
Оставшаяся |
часть |
диска |
имеет |
ось симметрии. Начало |
координат |
||||||
возьмем в центре диска |
и |
ось симметрии примем за ось Ох. Искомый центр тя |
||||||||||
жести |
лежит |
на оси симметрии, |
следовательно, |
!/с = 0. |
Найдем |
абсциссу |
центра |
|||||
тяжести. Для решения |
задачи воспользуемся методом отрицательных |
масс |
и пред |
|||||||||
ставим |
оставшуюся часть |
диска |
двумя |
изображающими |
точками. |
Первая — это |
||||||
точка, лежащая в центре диска и имеющая массу, равную массе диска (считаем, что вырез в диске не сделан). Так как диск однородный, то за массу диска можно принять его площадь. Следовательно,
* i = & = 0 .
Вторая точка — это точка, лежащая в центре выреза, имеющая массу, равную массе вырезанной части диска, но взятую с обратным знаком. Опять вместо массы
вырезанной |
части |
возьмем |
площадь. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
= - |
л г |
> Х2 |
— |
г |
|
_ п |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
~2 > # 2 — |
|
|
|
|
||||||
От присоединения этой «отрицательной площади» к площади первого диска и |
||||||||||||||||||||
получается фигура, изображенная на рис. 75. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Абсциссу |
центра |
тяжести |
оставшейся |
части |
диска |
находим по |
формуле |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
* = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
пґ--0 — п~г |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
хс = - |
s k 4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6~' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т . д-с = — — ; ус |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Теоремы |
Паппы. При определении центров |
|||||||||||
Объем |
тела, |
полученного |
от |
тяжести часто оказываются полезными две |
||||||||||||||||
вращения |
плоской |
фигуры |
следующие |
теоремы. Пусть даны |
какая- |
|||||||||||||||
вокруг оси, лежащей в ее |
л и б о |
п л |
о |
с к |
а я |
ф И Г у Р а , |
ее центр тяжести С |
|||||||||||||
плоскости, |
равен |
произведе- |
. |
|
- _„,. |
|
|
т |
J r |
' |
ґ |
|
, |
|||||||
нию |
площади |
фигуры |
на |
( Р и с |
76) |
и ось |
zz, не пересекающая фи- |
|||||||||||||
длину |
дуги, |
|
описанной |
ее |
гуры, |
НО |
|
лежащая |
В |
ее ПЛОСКОСТИ. Ра- |
||||||||||
|
центром |
тяжести |
|
зобьем площадь 5 фигуры на п элементар |
||||||||||||||||
вокруг оси zz, |
|
|
|
ных частей A.Sk. |
Поворачивая |
фигуру |
||||||||||||||
получим тело вращения, которое можно представить |
||||||||||||||||||||
как состоящее |
из элементарных |
|
колец, |
объемом 2nxkASk |
каждое. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
объем тела |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=n |
|
|
-ft=n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. V = |
2 |
|
2nxk&Sk |
= 2я 2 |
xkASA, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но |
|
2 |
|
xk&Sk = xcS—статический |
мо- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мент |
площади, а потому |
|
|
|||||||
|
|
|
|
Рис. |
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = 2nxcS. |
|
(49) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
объем тела и площадь обра |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зующей |
фигуры известны, то по (49) |
|||||||||
легко найти положение центра тяжести фигуры. |
|
|
|
|||||||||||||||||
Задача |
№ |
32. |
Найти центр тяжести |
площади |
полуокружности. |
|
|
|||||||||||||
Решение. |
|
Объем |
шара |
|
4 |
|
|
площадь |
|
|
я / - |
2 |
|
|||||||
|
1/=—-лл3, |
полукруга S = — - , подставляя |
||||||||||||||||||
в (49), |
получаем |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4л_ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зя. |
|
|
|
|
|
|
О т в е т . |
хс |
= |
0,4244г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
114
Легко доказать аналогично и вторую теорему: площадь поверх ности, описанной при вращении плоской кривой вокруг оси, лежа щей в ее плоскости, но не пересекающей эту кривую, равна про изведению длины кривой на длййгу траектории, описанной ее центром тяжести1 ,
|
|
S=2nxcl. |
(50) |
|
Задача № '33. Найти центр тяжести дуги полуокружности. |
||||
Решение. |
Поверхность шара S = |
4n/-2 , |
длина полуокружности / = я л Под |
|
ставляя в (50), |
получаем уже известный нам результат |
|||
|
|
_ |
5 |
_2т |
|
|
Хс~~2л1~ |
я ' |
|
О т в е т . |
х с |
= 0,6366л |
|
|
1 Эти теоремы часто называют теоремами Гульдина. Они были открыты в I I I в. александрийским механиком Паппом и затем в X V I I в. вновь открыты иезуитом Гульдином. Теперь почти достоверно установлено, что Гульдин «открыл» их в седьмом томе сочинений Паппы, а потому называть их теоремами Гульдина или даже Гульдина —Паппы нет оснований.
Ч А С Т Ь II
КИНЕМАТИКА
Г Л А В А V I I I
ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ
§ 19. ПРЕДМЕТ КИНЕМАТИКИ
|
|
Арифметика |
наряду |
с некоторыми другими |
|||
Кинематикой называют раз- |
науками, занимающимися |
исчислением, |
|||||
дел теоретической механики, |
является наиболее отвлеченной из мате- |
||||||
в котором изучают механи- |
матических |
наук. Для |
нее |
достаточно од- |
|||
ческое движение, |
рассматри- |
|
|
J |
|
и она не нуждается |
|
ваемое без учета сил, при- |
н о г о |
понятия «число», |
|||||
ложенных к |
движущимся |
ни в |
каких |
других |
фундаментальных по- |
||
объектам |
нятиях. |
|
|
|
|
||
Геометрия не может ограничиться одним понятием числа. Она основывается также и на понятиях, связанных с геометрической формой (длина, поверхность, объем, угол). Гео метрия часто пользуется понятием движения; линию геометрия опре деляет как след точки. Но если точка оставила след, то, следова тельно, она передвигалась; фигура, образовавшая тело вращения, поворачивалась вокруг оси, т. е. тоже находилась в движении. Однако геометрию не интересует, совершалось ли это движение в течение многих тысячелетий или же в малые доли секунды. Поня тие времени чуждо геометрии. Размерностью геометрических величин является размерность длины L в той или иной степени (площадь
измеряется в L 2 , объем—в L 3 , размерность угла -JJ = 1, т. е. отвле
ченная величина).
К понятиям числа и геометрической формы добавляется новое понятие — «время» в науке, изучающей геометрические свойства дви жения и называемой кинематикой1 .
«В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени»2 . Механическое движение, как и все прочие виды движения (теплота, электричество, ядерные процессы, органическая жизнь и пр.), не может
1
2
Термин предложен Ампером (1834 г.).
В. И . Л е н и н . Материализм и эмпириокритицизм. 1948, стр. 158.
