Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 251
Скачиваний: 2
за начало отсчета, причем |
расстояние считают положительным по |
одну сторону от точки А |
и отрицательным — по другую. Положи |
тельное направление отсчета выбирают в зависимости от условий задачи. Так, например, местонахождение поезда известно, если из вестна железная дорога и расстояние s поезда от какой-либо стан ции; разумеется, при этом надо знать, по какую сторону от станции находится поезд на данном расстоянии s.
Расстояние s движущейся точки с течением времени изменяется, оно является функцией времени
s = s(t). |
(51) |
Эта функция однозначна, так как точка в каждое мгновение занимает на траектории только одно положение, а не несколько.
Эта |
функция |
непрерывна, |
так |
как |
точка не |
может |
перейти |
||
из одного положения на траектории |
в другое, |
минуя |
промежу |
||||||
точные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, функция (51) |
должна быть |
дважды |
дифференцируе |
||||||
мой; прочие случаи в нашем |
курсе |
не |
рассмотрены, как |
не имею |
|||||
щие практического значения. |
|
|
|
|
|
|
|||
Функцию s(^) |
называют |
кинематическим |
уравнением |
движения |
|||||
точки |
по траектории, или |
законом |
движения. |
|
|
Движение точки задано, если положение точки может быть
определено в любое |
мгновение. Чтобы задать движение точки |
есте |
||||||||||
ственным |
способом, |
необходимо и достаточно задать траекторию |
||||||||||
точки и уравнение |
движения точки по траектории. Так, например, |
|||||||||||
если |
известно, |
что |
поезд |
идет |
из |
Москвы |
в |
Курск |
(траектория — |
|||
Московско-Курская |
ж. д.), |
следуя |
закону s = |
lOOt, где s—расстоя |
||||||||
ние |
от |
Москвы |
в |
километрах, |
t — время, |
протекшее |
после |
отхода |
||||
поезда |
из |
Москвы, выраженное |
в часах, то |
местонахождение |
поезда |
в любой момент времени может быть определено, и движение поезда
является |
заданным в естественной |
форме. |
|
|
|
||
. , |
|
|
Алгебраическая |
величина скорости. В каж- |
|||
Алгебраическая |
величина |
r |
|
г |
точка |
зани- |
|
скорости выражается первой |
Д о е мгновение |
движущаяся |
|||||
производной от |
расстояния |
мает одно и вполне определенное положе- |
|||||
по |
времени: |
ние на своей траектории. Но с течением |
|||||
|
ds |
|
времени положение точки меняется. Чтобы |
||||
|
v==2t |
|
охарактеризовать изменение |
положения |
|||
|
|
|
точки |
на ее |
траектории в |
любое |
дан |
ное мгновение, введем понятие алгебраической величины скорости точки.
Подставим в (51) какое-либо |
частное значение времени t и вы |
||||||
числим значение s, соответствующее этому значению |
t. Тем |
самым |
|||||
мы |
определим положение точки |
М |
на ее траектории |
в это |
мгнове |
||
ние. |
Через |
промежуток |
времени |
А^ |
положение точки |
изменится на |
|
некоторую |
величину As. |
Предположим, что точка М |
в течение вре |
мени At движется по своей траектории в одном направлении (не совершает возвратных движений). Величину As мы назовем прира-
щением расстояния точки М за время А? и определим ее по при ращению функции (51):
As = s(t + |
At)—s(t). |
|
|
Отношение приращения расстояния точки к |
соответствующему |
||
промежутку времени называют средней скоростью |
точки: |
||
*cE = |
g - |
' |
(52) |
Если мы будем уменьшать промежуток времени, оставляя неиз менным начало этого промежутка, то отношение (52) будет стре миться к некоторому пределу, называемому алгебраической величиной скорости точки в данное мгновение, или, коротко, алгебраической скоростью точки:
v= |
,. |
|
As |
|
|
hm |
Т . . |
|
|
||
|
л/ |
- |
о A t |
|
|
В правой части равенства мы |
имеем производную |
от расстояния |
|||
по времени. Следовательно, алгебраическая |
величина |
скорости вы |
|||
ражается первой производной |
от |
расстояния |
по времени: |
||
|
v = |
§ . ' |
|
(53) |
Итак, если движение точки задано в естественной форме, то для определения алгебраической величины скорости нужно взять первую производную по времени от расстояния, выражаемого законом дви жения точки. Если знак производной положителен, то, следова тельно, расстояние возрастает, и точка М движется по траектории в том направлении, которое мы приняли за положительное при от счете расстояний s; при отрицательной производной точка движется в обратную сторону. Таким образом, формула (53) определяет вели чину скорости и показывает, в какую сторону траектории движется точка. Эту формулу широко применяют при решении задач. Размер ность 1 скорости равна размерности длины, деленной на размерность времени:
[t»] = L 1 T ~ 1 .
В зависимости от условий задачи скорость измеряют в кило
метрах в час (км/ч), или |
км/сек, |
или мм/сек |
и |
т. |
п. |
|
|
||||
|
|
|
Графики. При |
изучении |
движения точки |
||||||
При |
естественном способе |
по траектории |
часто |
пользуются "графиче- |
|||||||
определения движения |
закон |
ским |
методом. |
Графический метод |
при |
||||||
движения точки может |
быть |
|
„ |
, |
г |
^ |
задания |
« |
Г |
||
задан |
графиком расстояния |
естественной |
форме |
движения |
|||||||
|
|
|
особенно удобен |
в тех |
случаях, |
когда |
за |
висимость расстояния s от времени t не может быть выражена ана литически соотношением (51), но могут быть определены (например,
экспериментально) |
расстояния slt |
s2, s3, |
. . . , |
s„ |
точки M, соответ |
|
ствующие отдельным мгновениям г1 5 ?2> |
ts, |
|
tn. |
|||
Откладывая |
по |
«оси времени» |
(по оси абсцисс) (рис. 78, а) зна |
|||
чения времени, |
а |
по «оси расстояний» |
(по |
оси |
ординат) — расстоя- |
1 Квадратные скобки в формулах размерности введены Максвеллом.
ния s, соответствующие этим мгновениям, мы построим отдельные точки графика, соединяя которые, получим кривую (рис. 78, а, б), называемую графиком расстояний, или графиком движения. Дви жение точки определено, если даны ее траектория и график дви жения.
В таком, случае для определения алгебраической скорости при меняют методы графического дифференцирования, изучение которых
tt і г t3 Ось времени tn
Рис. 78
не входит в нашу программу. По одному из этих методов для опре деления скорости в какое-либо мгновение V нужно измерить тангенс угла между осью времени и касательной к графику расстояний, про веденной в точке, абсцисса которой равна V (рис. 78, б). Тан генс угла наклона касательной к оси абсцисс равен ^ . В нашем
случае ось расстояний — это ось у, а ось времени — это ось х, сле довательно,
,ds
Можно построить график зависимости скорости v от времени t. Такой график называют графиком скорости, или тахограммой.
Графический метод широко применяют, в частности, при изуче нии различных механизмов и машин.
|
Задача |
№ |
34. |
Точка |
М |
совершает |
прямолинейное движение |
по закону |
|||||||
s = |
AM = |
2 sin nt-\-1. |
|
Определить |
расстояние |
точки, |
величину и |
направление ее |
|||||||
скорости |
через |
каждые 1/4 |
сек |
от |
начала |
движения |
и построить |
по |
точкам гра |
||||||
фик движения (рис. 79, а). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение. |
Дифференцируя уравнение |
движения, получим |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v = 6,28 |
cos |
я / . |
|
|
|
||
|
Подставляя |
сюда |
и в |
уравнение движения частные значения времени |
|||||||||||
(/ = |
0 сек,-0,25 |
сек, |
0,5 |
сек), |
найдем следующие частные значения |
з я |
v. |
t |
|
0,00 |
|
0,25 |
1 |
0,50 |
|
0,75 |
1,00 |
1 |
1,25 |
|
|
1,50 |
|
1 |
1,75 |
|
2,00 |
|||||||||||
s |
|
+ 1,00 |
J + 2 , 4 1 1 +3,0 0 |
+ 2 , 4 1 |
|
+ 1,00 |
1 —0,41 1 —1,00 |
—0,41 |
+ |
|
1,00 |
|||||||||||||||||||
v |
|
I +6,2 8 J +4,43 ] |
0,00 J —4,43 | —6,28 | —4,43 | |
|
0,00 | +4,43 | +6,28 |
|||||||||||||||||||||||||
|
Если за положительное направление на траектории |
принято |
направление |
|||||||||||||||||||||||||||
вправо |
от начала |
отсчета |
(от точки |
Л), то в |
начальное |
|
мгновение |
точка |
М нахо |
|||||||||||||||||||||
дилась |
справа |
от |
Л |
на |
расстоянии |
1 |
см, |
алгебраическая |
|
величина |
скорости |
|||||||||||||||||||
|
|
мгновение |
|
|
|
положительна |
|
движение |
|
происходит |
|
вправо. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
Затем |
|
скорость |
уменьшается |
и |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- + |
|
|
|
в |
мгновение |
^ = 0,5 |
сек |
обра |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
-о— |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щается |
|
в нуль. С этого |
мгно |
|||||||||||||
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вения точка М начинает двига |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ться |
|
влево, алгебраическая |
ско |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рость становится |
отрицательной, |
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расстояние |
пока |
остается |
поло |
||||||||||||
сз |
/ т |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жительным, |
но |
уменьшается. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В какое-то мгновение, |
находя |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щееся |
|
между |
1 сек и |
1,25 |
|
сек, |
||||||||||
- / |
0,5 |
|
1 |
|
|
\1,56 |
2 |
Ось бремени |
точка М |
проходит через |
начало |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
• |
|
|
|
|
|
отсчета |
|
Л и расстояние равно 0, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
но затем становится |
отрицатель |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ным. Точка М продолжает |
дви |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гаться |
|
влево, |
|
но |
скорость |
|
ее |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по |
абсолютной |
|
величине умень |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шается |
и в мгновение |
|
1,5 сек |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меняет |
знак, |
следовательно, |
ме |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
няется |
|
направление |
движения, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но |
расстояние |
остается |
отрица |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельным, так |
как точка |
М на |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ходится |
по отрицательную |
|
сто |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рону |
|
от |
точки |
|
Л. В |
мгновение |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 2 |
сек точка |
возвращается |
в |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начальное |
положение, |
обладает |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скоростью, |
|
равной |
|
начальной |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скорости, |
и |
с этого |
мгновения |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
движение |
повторяется |
в том же |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
порядке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Для построения графика |
расстояний |
нарисуем две взаимно |
перпендикулярные |
||||||||||||||||||||||||||
оси |
(ось времени и ось расстояний) |
и нанесем |
точки, |
абсциссы |
которых |
(в |
каком- |
|||||||||||||||||||||||
либо масштабе) |
равны |
0; |
0,25; 0,50, |
а ординаты |
(тоже |
в |
каком-либо |
масштабе) —• |
||||||||||||||||||||||
соответствующие им расстояния s (рис. 79, б). |
Соединяя |
затем |
плавной |
кривой |
все |
|||||||||||||||||||||||||
эти точки, получим график расстояний |
(рис. 79, в). |
|
|
|
|
бы точка М двигалась, |
||||||||||||||||||||||||
|
График |
расстояний |
не зависит |
от траектории, и если |
|
|||||||||||||||||||||||||
следуя |
тому |
же |
закону |
s = 2 s i n n < + l , |
по |
какой-либо |
|
другой |
|
траектории, |
то |
|||||||||||||||||||
график |
расстояний остался бы тот же. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При векторном способе опре деления движения точки дол жен быть задан ее радиусвектор как функция времени
Задание движения точки в векторной форме.
Положение точки М по отношению к ка кой-либо системе отсчета может быть опре делено радиусом-вектором г —ОМ, прове денным из центра О данной системы отсчета
к точке М (рис. 80, а).
Во время движения точки радиус-вектор ее изменяется. Чтобы определить движение точки, нужно задать ее радиус-вектор для каждого мгновения, т. е. выразить его в виде некоторой векторной
функции времени
Эта функция должна быть однозначной и непрерывной. Такой способ определения движения точки называют векторным.
Пусть положение движущейся точки в мгновение, принятое нами
за начальное, определяется радиусом-вектором г —ОМ (рис. 80,6). Через промежуток времени At точка переместилась и заняла другое положение, которое мы назовем конечным для данного отрезка вре мени, и радиус-вектор ее стал г1 = ОМ1. Проведем вектор Аг = ММг из точки М в точку Мг Как видно из чертежа,
r1 = r + Ar и Аг = гх— г.
Вектор Дг, проведенный из начального положения точки в ко нечное, определяет изменение положения точки в данной системе отсчета и называется перемещением точки.
Вектор Дг отмечает положения точки только в начальное и ко нечное мгновения интервала времени At, но не дает возможности определить положение точки в промежуточные мгновения этого ин-
Рис. 80
тервала времени. За бесконечно малый отрезок времени перемеще ние точки тоже бесконечно мало. Оно выражается бесконечно малым
вектором, |
называемым элементарным |
перемещением. |
Элементарное |
||||
перемещение |
точки соответствует ее |
действительному |
передвижению |
||||
за данный бесконечно малый промежуток времени. |
|
|
|||||
Перемещение — пространственная |
мера движения |
точки и |
выра |
||||
жается |
в |
единицах длины. Оно характеризует передвижение |
точки |
||||
только |
с |
геометрической стороны, |
вне |
зависимости |
от времени, и, |
||
как и траектория точки, является геометрическим понятием. |
|
||||||
Но |
между |
перемещением точки |
за |
какой-либо промежуток |
вре |
мени и траекторией, описанной точкой за то же время, есть сущест венное различие: перемещение—это вектор, соединяющий положения