Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 254

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Рис. 84

Дифференцируя это равенство по времени, мы найдем, что величины ради­ альных компонент скорости на рис. 83, а и б равны между собой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&гх _

dr2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W~~~

dt

'

 

 

 

 

 

 

 

Знак минус показывает, что если увеличивается один радиус-вектор, то одно­

временно

уменьшается

другой

и,

как

видно,

на такую

же

величину.

Поэтому

на рис. 83,

6

 

мы

отложим

от Ж

к Ф2 отрезок МР2

— МРХ,

а

затем от точки

Р2

перпендикулярно

к

МФ2—отрезок

Р2Т2,

представляющий трансверсальную ком­

поненту скорости. Величина

этого

отрезка

нам неизвестна,

поэтому

неизвестно и

направление

касательной

МТ2.

чертежа вместе, то получим

(рис. 83, в) точку Т

на

Но если мы соединим оба

пересечении

перпендикуляров

РХТ

и

Р2Т.

Отрезок

МТ

в

некотором

масштабе

изображает скорость

точки

М,

а

его

направление дает нам касательную.

 

В

эпоху,

предшествующую открытию

дифференциального

и

интегрального

исчислений,

проблема

построения

касательных к кривым

имела исключительное

значение (см. также

стр. 227). Метод,

примененный

нами

к решению этой задачи,

был предложен Робервалем и основан на сделанном

им открытии,

что

скорость

точки

всегда

направлена по касательной к

траектории.

 

 

 

 

 

 

§ 22. КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

 

При

координатном

способе

Задание движения точки в прямоугольных

определения

движения

точки

координатах. Как известно из курса ана­

должны быть

даны

уравне­

литической геометрии, положение точки М

ния движения,

т. е. заданы

в пространстве может быть определено по­

координаты точки

как функ­

ложением

ее проекций

Р,

Q и R

на три

ции времени:

 

 

 

 

 

x = x ( z ) ;

 

y=y{t)\

 

взаимно перпендикулярные

оси (рис. 84),

 

 

называемые

осями координат.

 

 

 

 

 

2 = 2(0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положение точки Р на оси Ох вполне

 

 

 

 

 

 

 

 

х.

 

определяют

абсциссой

Совершенно

так же

положение

точек

Q

и R

определяют

ординатой

у и аппликатой

z.

 

 

 

 

 

 

Если

точка

М

движется

относительно осей xOyz, то проекции

Р,

Q и

R перемещаются

по осям

и координаты точки

М изменяются.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

определения

движения

точки М

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нужно знать ее координаты для каж­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дого мгновения, выразить

их в функ­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

циях времени1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = x(t),

 

 

(58')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = y(t),

~.

 

(58")

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = z(t).

 

 

(58"')

Эти функции непрерывны, так как точка не может из одного положения перейти в другое, минуя промежу­ точные. Они должны быть однозначны, так как точка занимает в простран­ стве в каждое мгновение только одно положение.

Соотношения (58) называют кинематическими уравнениями дви­ жения точки в прямоугольных координатах, а способ определения

1 Проектирование движущейся точки на систему трех неподвижных взаимно перпендикулярных осей впервые предложил Маклорен в 1742 г.

движения точки посредством соотношений (58) называют координат­ ным способом определения движения точки. Это название неточно, потому что, кроме прямолинейных прямоугольных координат, суще­ ствует множество других координатных систем.

Если траектория точки лежит в одной плоскости, то движение точки определяют двумя уравнениями в системе координат хОу1:

x = x(t),

y=y{t).

Следовательно, при координатном способе задания движения точки в пространстве нужно задать ее три координаты, а на пло­ скости—две координаты как функции времени. Если точка движется прямолинейно, то, приняв прямую, по которой она движется, за ось абсцисс, мы определим движение точки одним уравнением.

Если движение точки задано в координатной форме, то для определения ее траектории

надо из уравнений движения

x=x(t).

Уравнение траектории. Можно определить траекторию точки, если в уравнениях д В И ж е н и я (58) давать аргументу t различ-

v '

r J

J

ґ

н ы е значения

и, вычислив

соответствую-

исключить время щие значения функций, отмечать положе­ ния точки по ее координатам. Следова­ тельно, кинематические уравнения движения точки (58) можно

рассматривать как уравнения ее траектории в параметрической форме, а время—как независимый переменный параметр.

Однако более удобно получить уравнение траектории, исключив время из уравнений (58). В самом деле, траекторией называют геометрическое место всех положений движущейся точки, но в гео­ метрии нет понятия времени, а поэтому для получения уравнения траектории нужно из кинематических уравнений движения (58) исключить время t. Если точка движется в плоскости, то, исключив время из уравнений (58') и (58"), мы получим соотношение, связы­ вающее х и у:

f(x,y) = 0.

(59)

Это уравнение плоской кривой—траектории точки. Если же движение задано тремя уравнениями (58), то, исключив время, по­ лучим два уравнения между тремя координатами:

 

 

M * , j r t Z ) = 0, ^

 

 

 

 

 

ft(x,

у,

2) = 0, /

 

 

< 5 у )

1 Эти уравнения

часто

называют

кинематическими уравнениями

движения

точки в декартовых координатах, по имени Рене Декарта, открывшего

в

1637 г.

метод аналитической

геометрии на

плоскости одновременно

с Пьером

де

Ферма

и независимо от него. Иногда декартовыми координатами

называют

и

систему

прямоугольных координат в

пространстве, хотя пространственная система коор­

динат была открыта значительно позже.

 

 

 

131

5*

 

 

 

 

 

 

выражающие, как известно из аналитической геометрии, кривую (траекторию) в пространстве. Точнее говоря, уравнения (59) или (59') выражают кривую, которая полностью или в некоторой своей части является геометрическим местом всех положений движущейся точки.

Иногда бывает нужно выразить в естественной форме движение точки, заданное в прямоугольных координатах уравнениями (58), и, кроме уравнения траектории, дать также уравнение (51) движения точки по траектории. Чтобы его получить, надо продифференцировать уравнения (58) и полученные дифференциалы координат точки под­

ставить в известную из

курса

высшей

математики формулу,

выра­

жающую абсолютную величину

элемента дуги1 :

 

ds =

+ V{dxY + {dyy

+ {dzy .

(60)

Проинтегрировав (60), мы получим уравнение (51), выражающее *v- длину дуги s как функцию времени, или, что то же, закон движения точки по траектории.

Задача Ш 36. По заданным уравнениям движения точки в координатной форме найти уравнение траектории и уравнение движения по траектории:

 

 

 

 

 

1)

# = 5

cos

2/,

 

i/ = 3 +

5sin2/;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

* =

21,2 s i n 2 / ,

</ =

21,2cos2 /.

 

 

 

 

 

 

 

 

В обоих примерах

за

единицу длины

 

принят

сантиметр,

 

за

единицу

времени —

секунда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

1)

Чтобы определить

уравнение

траектории

 

по

уравнениям

 

движе­

ния, перенесем

во втором из заданных

уравнений 3 влево, возведем оба

уравнения

в квадрат и,

сложив,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xі + (у—3)2

=

25.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это уравнение окружности с центром

в

точке: х — 0,

(/ =

+

3.

 

 

 

 

 

 

Чтобы получить

закон

движения,

 

продифференцируем

заданные

уравнения:

 

 

 

 

 

dx =

—

10 sin

2tdt,

 

 

dy=\0cos2tdt.

 

 

 

 

 

 

Возводя в квадрат, складывая, извлекая

квадратный

корень

и

интегрируя,

находим закон движения

по

траектории:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s = 10/ + С ,

где

C =

s0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Исключим время

из

уравнений

движения во втором

примере:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* +

j / =

21,2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это уравнение

первого

порядка

относительно

х

и у,

следовательно,

траекто­

рия— прямая

линия. Прямая

отсекает

 

на

положительных

 

направлениях осей ко­

ординат отрезки

по

21,2

см.

Однако

не

вся

прямая

служит

траекторией

точки:

из заданных уравнений видно, что

х и у

должны

быть всегда

положительны и не

могут

быть больше

21,2

см каждый,

поэтому

траекторией

точки

является

лишь

отрезок прямой х-\-у

— 2\,2,

лежащей

в первом квадранте (рис. 85).

 

 

 

 

На этом примере мы видим, что траекторией точки

иногда

является

лишь

часть

линии,

выражаемой

уравнением

 

траектории.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Эта формула впервые была дана

 

16-летним

Клеро

в

одной

из

его

первых

работ

«Исследование

кривых

 

двоякой

кривизны», опубликованной

им в

1731 г.

Для плоской дуги выражение, аналогичное современному, было

дано

Валлисом

(1656

г.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продифференцируем уравнения движения:

< & = 2 i , 2 . 2 s i n / c o s / < # , dy = — 21,2-2 sin t cos t dt.

Теперь по формуле (60) нетрудно найти эле­ мент дуги траектории:

ds= V"898,8-(2 sin t cos t dr)2=*30-2 sin t costdt.

Для

получения

уравнения

(51)

 

движе­

 

 

ния точки

по траектории остается лишь про­

 

 

интегрировать

найденное

выражение.

Инте­

 

 

грируем

и

подставляем

начальные

условия

 

 

(при / =

0,

s0 = 0):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s = 30

^ 2 sin t cos

tdt-\-C=

 

30 sin2 1.

 

 

О т в е т .

 

Уравнения

 

траекторий

 

 

х2 + (у—3)г

=

25

и х-\-у

=

2\,2;

уравнения

 

Рис. 85

движения

по

траектории

s =

10^ -f-s o

и s =

 

= 30 sin 2

 

t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №

37.

Движение точки

задано уравнениями:

 

 

 

 

 

 

 

х ~

х'

cos

ф (І) — у'

sin ф

(0 .

 

 

 

 

 

 

 

у =

х'

sin ф (t)-\-y'

COS ф

(t),

где х'

и у' — некоторые

постоянные

величины,

а ф (г) — любая функция

времени.

 

Определить траекторию

точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Возведем каждое

из

уравнений

в

квадрат, а

затем сложим

их:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х* +

у* =

х л

+

 

ул.

 

 

 

 

По

условию, х'

и у'

— постоянные.

Обозначая сумму

их квадратов

через г 2 ,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у2 _J_

„2 —

г 2

 

 

 

 

 

 

О т в е т .

 

Окружность

с

центром

в

начале

координат радиуса

г =

Ух'г-\-у"

 

Задача № 38 (№ 327.

Н. Н. Б у х г о л ь ц,

И. М. В о р о н к о в и

А. П. М и н а-

к о в .

Задачник по

теоретической

механике.

 

 

 

 

 

 

Гостехиздат, 1944). Поезд длиной I м

сначала

 

 

 

 

 

 

идет

по

горизонтальному

 

пути

(рис. 86,

а),

 

 

 

 

 

 

а потом поднимается в гору

под углом 2а

к

 

 

 

 

 

 

горизонту. Считая поезд однородной лентой,

 

 

 

 

 

 

найти

траекторию его центра

тяжести.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Для

 

решения

задачи

нужно

 

 

 

 

 

 

определить

координаты

центра

тяжести

по­

 

 

 

 

 

 

езда,

найти

уравнения

 

движения

центра

 

 

 

 

 

 

тяжести и исключить из них время.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Направим

оси

 

координат

по

внутрен­

 

 

 

 

 

 

ней

и

внешней

равноделящим

угла

 

2а

 

 

 

 

 

 

(рис.

86, б).

Траектория

центра

 

тяжести

 

 

 

 

 

 

поезда

не

зависит

от

 

скорости

 

поезда.

 

 

 

 

 

 

Для

простоты

подсчетов

 

предположим,

что

 

 

 

 

 

 

он

идет

равномерно

со скоростью

v

м/сек

и

 

 

 

Рис. 86

 

 

в

начальное мгновение / —0

подошел к горе.

 

 

 

 

 

Тогда за время і сек на гору поднимется vt м состава поезда и останется на горизонтальном пути l — vt м. Будем считать, что единица длины поезда весит у.

Применяя формулы (48), найдем координаты центра тяжести поезда:

yvi

vt

 

„

tJ

—vt

 

 

— cos а —у

(l — vt)

— 5 — cos a

 

хс

2

 

 

 

^

 

 

 

 

yl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yvt

vt

 

 

 

I—vt

 

 

— sina + v ( / — vt)—~— sin a

 

 

Ус=

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

— a —vt)i

 

2lvt — l%

 

 

(vm

 

 

 

*c = —

^

L C o s a = — щ — c o s a,

 

(vt)* + (l-vt)*

 

.

2(vt)*-2M

+

l \ . _ „

Ус =

зі

L s m a = =

 

21

 

S m ^

Координаты центра тяжести представлены здесь как функции времени, сле­ довательно, полученные соотношения являются уравнениями движения центра тяжести поезда. Определяя t (или vt) из первого уравнения и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

 

 

 

 

 

vc — -.

sin а

о

,

 

1 . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5— xi

-\--rl

 

sin a.

 

 

 

 

 

 

 

 

* L

/cos2 a

c

1

4

 

 

 

 

 

О т в е т . Парабола.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача

№ 39 (10.5,

313 М). Мостовой

кран

движется

вдоль

цеха

согласно

уравнению

x — t; по крану катится

в поперечном

направлении тележка

согласно

уравнению

</=1,5/ (х

и

у—в

м,

t — в сек).

 

Цепь укорачивается

со

скоростью

у = 0,5. Определить траекторию

 

центра

тяжести

груза (в

начальном положении

центр тяжести груза находился в горизонтальной

плоскости хОу; ось Ог направ­

лена

вертикально вверх).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

В условии

задачи даны лишь

два уравнения

движения и вертикаль­

ная

скорость

груза:

 

 

 

 

!-*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда dz = 0,5dt, и легко получаем третье уравнение:

г = 0,5/.

Определив і из первого уравнения, подставим во второе и в третье:

</=1,5*, г = 0,5х.

Координаты груза должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям, т. е. траектория лежит одновременно в обеих плоскостях и является линией их пере­ сечения.

О т в е т . Прямая.

 

 

Алгебраическая

величина скорости

проек-

Алгебраическая

величина

ц и и т о ч к и н а о с ь

. Пусть движение точки М

скорости проекции

точки на

 

-

 

координатную ось равна пер-

определяется тремя уравнениями:

 

вой производной от текущей

 

X — X(t),

(58')

координаты по

времени:

 

 

(58")

dx

 

 

У = У(і),

 

 

 

г = г(і).

(58"')

По мере движения точки М в пространстве ее проекции Р, Q и R движутся по своим прямолинейным траекториям, т. е. по осям коор­ динат, и их движения вполне соответствуют движению точки М.

Смотрите также файлы