Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 249

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

точки в начальное и конечное мгновения данного промежутка вре­ мени, а траектория — совокупность всех положений, которые зани­ мала точка в -различные мгновения этого промежутка времени. Так,

например,

если

теплоход

вышел

из Москвы, по

каналу

прошел

в

Волгу,

спустился

по Волге до

Волго-Донского

канала,

перешел

в

Дон

и доплыл

до

Ростова, то перемещение его изобразится

векто­

ром,

проведенным

из Москвы в Ростов по хорде земного

шара,

а

траекторией является вся пройденная теплоходом

трасса.

 

 

 

К

понятиям

траектории

и перемещения близко примыкает

поня­

тие «путь», с которым мы сейчас ознакомимся. Пусть в начальное

мгновение точка

занимает

на

своей

траектории

положение

М

(рис.

81, а),

а

через

промежуток

времени At—конечное

положе­

ние

Мп.

Вектор

ММп

является

перемещением

точки

за

время

At.

Разбив

интервал

времени

на

части,

мы отметим промежуточные

положения

точки

(М±,

М2,

М3,

. . . )

и

все их

последовательно

сое-

Рис. 81

диним хордами. Мы получим ломаную ММ Х Л1 2 М 3 .. .Мп (рис. 81, б). Чем меньше отрезки времени, на которые мы разбили А^, тем ближе ломаная соответствует траектории точки и тем меньше длина лома­ ной отличается от длины дуги, пройденной точкой за время At. Назовем путем точки предел суммы абсолютных значений элемен­ тарных перемещений точки за данный конечный промежуток вре­

мени. Следует обратить внимание

на то, что для получения

пути

мы взяли предел арифметической

суммы абсолютных значений

(мо­

дулей) элементарных перемещений, а не геометрической суммы этих перемещений. Если бы эти перемещения мы складывали геометри­

чески

(рис.

81, б),

то получили

бы перемещение

ММп.

 

 

Путь

не

надо

смешивать с расстоянием s. Отличие

заключается

в следующем: путь

всегда положителен и с течением времени

воз­

растает,

расстояние

же определяется величиной

и знаком «-f»

или

«—»

и с течением

времени может увеличиваться или уменьшаться

в зависимости

от

направления

движения

точки. Если

точка

(см.

рис. 81), двигаясь

по траектории

из пункта

М, достигла

пункта

Мп,

а затем

вернулась

в пункт М3,

то путь точки равняется сумме

дуг

ММп

+ МпМ3,

а

расстояние от точки М (если этот пункт принят

за началб отсчета

расстояний) равно длине

дуги

ММ3,

причем

ему

следует приписать знак « + » или «—» в зависимости от того, какое направление принято за положительное при отсчете расстояний.

 

 

 

 

Вектор скорости. Для характеристики дви-

Скорость

выражается преде-

жения

точки

не

только

в

пространстве,

лом отношения

элементар-

но.и во времени возьмем отношение пере-

ного перемещения к соот-

мещения точки ко времени, в течение

ветствующему

промежутку

которого

происходило

это

перемещение:

времени, т. е. первой произ-

г

 

г

 

 

 

 

ґ

 

водной

от

радиуса-вектора

 

 

 

 

Ал

 

 

 

 

 

по

времени:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

At

•

 

 

 

 

 

dr_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Такое

отношение

является

вектором,

 

 

~'dt

 

 

направленным

по

вектору

перемещения

 

 

 

 

 

 

 

 

точки,

потому

что от деления

на скаляр­

ную величину вектор не меняет направления. Будем уменьшать промежуток времени At, оставляя неизменным начало этого проме­ жутка. Тогда вектор ~ - будет приближаться к определенному век­ тору v как к своему пределу:

г

&r

dr

v= hm -дт = - п - .

д^о

At

dt

.

(55)/ r r

v '

Вектор v выражает скорость точки и характеризует с кинема­ тической (а не только с геометрической) стороны изменение поло­ жения точки в данное мгновение.

Следовательно, скорость точки—это пространственно-временная мера движения, характеризующая изменение положения точки в данное мгновение в данной системе отсчета, выражающаяся пределом отношения элементарного перемещения к соответствующему проме­ жутку времени, т. е. первой геометрической производной от радиусавектора по скалярному аргументу—времени1 .

Определим направление v ; Вектор ^ направлен по хорде тра­ ектории в сторону движения точки. Пусть промежуток времени At стремится к нулю, но начало этого промежутка остается неизменным. Одновременно хорда (точнее, секущая) стремится к касательной,

следовательно, вектор v в данной точке траектории направлен по касательной к траектории в сторону движения точки (см. рис. 80, в)2.

Заметим, что всякую кривую, являющуюся геометрическим местом концов переменного вектора, выходящего из одной точки и выра-

1 Часто употребляемое выражение «скорость движения» неправильно, так как

скоростью

обладает

точка, а

не движение.

2 Это

открытие

сделано

Робервалем (1635 г.).

женного функцией времени, называют годографом вектора1.

Следо­

вательно,

траектория точки

является годографом ее

радиуса-вектора.

Ускорение выражается преде­

Вектор ускорения. При равномерном пря­

молинейном

движении точки

скорость со­

лом

отношения

изменения

храняет свою величину и свое направление.

скорости к соответствующему

промежутку

времени,

т. е.

При неравномерном и криволинейном дви­

первой производной

от

век­

жении

скорость

изменяется

по

величине

тора

скорости

по

времени:

и

по

направлению.

Изменение величины

 

 

->

dv

 

 

и направления скорости происходит с те­

 

 

a=Tt

 

 

 

 

чением

времени.

Пространственно-времен­

 

 

 

 

 

 

 

 

ной мерой изменения скорости точки в дан­

ное мгновение ив данной системе отсчета, является ускорение

точки2.

Пусть скорость точки в некоторое мгновение изображается век­

тором v

(рис. 82, а), а через промежуток времени At

она

изменилась

и стала

и х .

Изменение скорости

за

время

At

изобразится разностью

этих

векторов

(рис. 82, б):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Av ••

 

-V.

 

 

 

 

 

Возьмем

отношение вектора Av

изменения

скорости

ко

времени

At,

в течение

которого

это

изменение

произошло,

и будем умень-

А V

Рис. 82

шать At, сохраняя начало этого промежутка, тогда вектор — будет

изменяться, приближаясь к определенному вектору а, как к своему

пределу. Этот предельный вектор а изображает ускорение точки. Следовательно, ускорение точки выражается пределом отношения изменения вектора скорости к соответствующему промежутку времени при стремлении этого промежутка к нулю:

: lim

т. е.

~*~ dv

(5-6)

V = = I t > -

или

а"2 г dt*

1

2

Понятие и термин «годограф» в науку введены Гамильтоном (1846 г). Термин «ускорение» предложил Понселе (1841 г.).

Размерность ускорения — это размерность скорости, деленной на размерность времени, или, что то же, размерность длины, деленной на квадрат размерности времени:

 

 

 

[ a ] = L 1 T ~ 2 .

 

 

 

 

 

 

 

Единицей ускорения может быть км/сек2,

м/сек2

и т. п.

 

 

Формулы (56) и (57) часто применяют при

выводе

различных

теорем кинематики

и

динамики,

но

ими

не всегда

удобно пользо­

ваться при практических подсчетах и при решении

различных

тех­

нических задач. Более удобные для практики

формулы

будут

вы­

ведены в следующих

параграфах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод Роберваля построения касательных к кривым

 

 

Задача № 35*. Построить касательную к эллипсу.

 

 

 

 

 

Решение.

Рассмотрим

эллипс как траекторию

точки М (рис. 83,

а). Приняв

фокус Фх за

начало

системы отсчета,

мы

можем

считать

эллипс годографом

ра­

диуса-вектора

г1 = Ф1М,

выраженного

в функции

времени.

Скорость точки

М

всегда направлена по касательной к траектории и, чтобы

найти эту касательную,

предположим,

что мы

разложили вектор

скорости

на

две

составляющие, одна

из

а;

•

б) .

6)

Рис. 83

которых выражает быстроту изменения величины радиуса-вектора, следовательно, направлена по ФХМ и по величине равна первой производной от модуля радиусавектора по времени -—-. Назовем ее радиальной компонентой скорости и отложим

вдоль радиуса-вектора в виде произвольного отрезка МРЪ так как величина этой компоненты неизвестна. Вторая составляющая скорости направлена перпендику­ лярно к первой и характеризует быстроту поворота радиуса-вектора ФХМ. Эту компоненту вектора скорости называют трансверсальной. Изобразим ее отрезком РхТ-х произвольной длины, перпендикулярным к MPlt так как величина этой компоненты также неизвестна. Если бы отрезки /ИРХ и Р{ГХ были нам известны, то скорость точки М изобразилась бы вектором МТХ и мы нашли бы направление касательной к эллипсу в точке М.

Примем теперь за начало отсчета фокус Ф 2 (рис. 83, б). Тогда эллипс станет годографом радиуса-вектора г2 = Ф2М, радиальная компонента скорости будет направлена по радиусу-вектору и по величине равна -jp • Припомним, что ариф­ метическая сумма расстояний точки М, описывающей эллипс, от фокусов есть величина постоянная:

Гі + Гг — const.

129

5 № 784

Смотрите также файлы