Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 253
Скачиваний: 2
Так, |
координата (абсцисса) точки Р всегда |
равна |
абсциссе точки М, |
||
а координаты точек Q я |
R |
всегда равны ординате и аппликате |
|||
точки |
М. Следовательно, |
при |
движении |
точки |
М в пространстве |
согласно уравнениям (58) точка Р движется по оси Ох согласно
уравнению (58'), а точки Q и R — соответственно |
по осям Оу и |
Oz |
||
согласно уравнениям (58") и (58"'). |
|
|
|
|
Таким образом, движение точки М в пространстве можно разло |
||||
жить на три прямолинейных движения ее -проекций Р, |
Q и |
R. |
|
|
Определим скорость vp точки Р при движении |
этой |
точки |
по |
ее |
прямолинейной траектории Ох, иными словами, определим скорость проекции точки М-на ось Ох.
Алгебраическая величина скорости выражается по формуле (53), причем дифференциалом расстоянияточки Р является дифференциал
абсциссы х, а поэтому |
|
»г = Ш- |
<61'> |
Следовательно, алгебраическая величина скорости проекции Р точки М на координатную ось равна первой производной от текущей координаты х по времени t. Она положительна, если точка Р дви жется в положительном направлении оси Ох, и отрицательна, если точка Р движется в отрицательном направлении.
Аналогично получаем алгебраические |
скорости проекций |
Q и R |
на ось Оу и на ось Oz: |
|
|
*>R = %- |
|
(61"') |
Чтобы получить векторы скоростей проекций, надо умножить |
||
величины (61) на единичные векторы: |
|
|
~~? dx ~* ~? dy |
~>" ~£ dz |
,~,. |
Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось равна проекции ско рости той же точки на ту
dx |
|
же ось: df |
= v cos a7J |
Скорость проекции и проекция скорости. Пусть точка М за бесконечно малый от резок времени dt передвинулась по своей траектории на элемент дуги ds, абсолют ную величину которого выразим форму лой (60):
|
|
ds = + V(dxY + (dyy + (dz)*, |
где |
dx, dy |
и е£г—проекции элемента дуги на оси координат, или, |
что |
то же, |
элементарные приращения координат точки М. |
|
На рис. 87 эти элементы условно изображены конечными отрез |
|
ками. Как |
видно из чертежа, косинусы углов, составляемых элемен- |
|
тарным перемещением (а следовательно, и скоростью точки), с осями х, у и г соответственно равны:
|
dx |
|
C 0 S a v = |
Ts' |
|
cos |^ = |
f s , |
(62) |
|
dz |
|
COSY„ = |
T S . |
|
Величина скорости точки М может быть определена по (53):
V —dsdt
Чтобы определить проекцию скорости v на какую-либо ось, надо умножить абсолютную величину скорости на косинус угла между направлением скорости и на правлением этой оси. Таким образом, для проекций, скорости точки М на оси координат имеем:
|
|
|
vx |
= vcosav |
ds dx |
dx |
= vPl |
|
|
|
|
=T t T s |
= j |
||||
|
|
|
|
|
Q |
|
|
(63') |
|
|
|
|
|
ds dy |
dy |
|
|
|
|
|
vy = V C O S ^ d t I = d t = VQ> |
|||||
|
|
|
Vz |
z = WCOS, |
|
|
|
(63") |
|
|
|
Vv v = -r-— —K — ==v |
|||||
|
р и с |
87 |
|
|
|
ds dz |
dz |
|
|
|
|
|
at ds |
dt |
(63"') |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенства (63) словами нужно читать |
так: проекция скорости точ |
|||||||
ки на ось равна алгебраической скорости проекции точки на ту же ось. |
||||||||
Задача |
№ 40*. Доказать, что проекция v x y |
скорости v точки М (х, у, г) на пло |
||||||
скость хОу |
равняется |
скорости vlt с которой |
движется |
по |
плоскости |
проекция |
||
Мі(х,у,0) точки М на ту же плоскость.
Решение. |
Скорость |
v точки |
М составляет с осью |
Oz угол |
yv, следовательно, |
|||||||
угол, |
составляемый |
ею с плоскостью |
хОу, |
равен |
90° — yv и |
косинус |
этого угла |
|||||
равен |
sin yv. |
Поэтому |
модуль |
проекции |
скорости |
точки |
М на плоскость |
хОу |
||||
|
|
|
|
|
ds |
|
|
- cos' |
yv. |
|
|
|
|
|
|
|
|
V*y-Tt At |
' |
1 |
|
|
|
||
Подводя |
ds |
радикал |
и выражая |
cos yv |
по формуле |
(62), мы |
убедимся, |
|||||
-ц- под |
||||||||||||
что проекция скорости на плоскость равна по величине скоро сти проекции:
Направления векторов vxy |
и v% тоже совпадают, так как направляющие ко |
синусы их одинаковы. Теорема |
доказана. |
|
|
Модуль |
скорости. Возведем в квадрат каж- |
||
Модуль скорости точки равен |
дое из |
равенств; |
|
|
|
квадратному корню из суммы |
|
|
. |
|
|
квадратов проекций скорости |
|
vx — UCOSa^, |
j |
|
|
на оси координат: |
|
|
vy = VCOS$v, |
\ |
(63) |
v=Vvl+vl |
+ vl |
|
v2 = vcosyv |
j |
|
и сложим их:
v2x + vl + v2z= v2 (cos2 a + cos213 + cos2 y).
Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице и v2 = vl + v* + vl
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = +Kt»5+oJ+°J - |
|
|
|
( 6 4 ) |
|||||
Перед |
|
радикалом |
взят |
положительный |
знак, так как величина |
|||||||||
скорости |
(ее модуль) |
всегда |
положительна. В этом |
ее существенное |
||||||||||
отличие от алгебраической |
величины скорости (53), характеризующей |
|||||||||||||
скорость |
точки |
при движении |
по заданной траектории |
и |
имеющей |
|||||||||
знак |
« + » |
или «—» в зависимости |
от направления |
движения. Вели |
||||||||||
чину |
(64) иногда называют |
полной |
|
скоростью. |
|
|
|
|||||||
„ |
|
|
|
|
|
Направляющие косинусы скорости. Равен- |
||||||||
Направление скорости можно |
ство |
/г |
л\ |
позволяет определить |
модуль |
|||||||||
определить по направляющим |
(64) |
|||||||||||||
косинусам |
скорости: |
|
скорости точки, движение которой задано |
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
уравнениями (58). Направление |
скорости |
|||||||
|
cosa I ) = -^; |
- |
определяется по косинусам углов, состав |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ляемых |
положительными |
направлениями |
||||||
cospj, = — ; c o s Y n ^ — |
|
o c e ** |
координат с направлением скорости. |
|||||||||||
|
|
v |
' |
v |
|
Значения |
этих |
косинусов, |
называемых |
|||||
направляющими |
косинусами |
скорости, |
мы получим из уравнений (63): |
|||||||||||
|
|
|
|
|
71 . |
|
|
|
|
Y. |
\ |
|
|
|
cosa., = —
|
|
cos Р„ = - |
= - |
У |
|
|
|
|
|||
|
|
_ £ г |
|
|
І |
|
|
C O S T , - v - + 1 / ( . ) а + ( .) а+ ( г ) 3 ' J |
|||
где х, |
у |
и г — производные |
от х, у и г по t. |
||
Если |
точка движется |
в |
плоскости хОу, то -^ = 90°, |
||
cos av |
= |
sin р\,. |
|
|
|
(62')
COSYo = 0 и
Задача |
№ 41 (№ 385. И. |
Н. В е с е л о в с к и й . Сборник задач по теорети |
||
ческой механике. Гостехиздат, |
1955). Уравнения движения суть |
|||
|
x = |
^L(ekt + e-kt)t |
у = = £ . ( в М _ в - « ) . ' |
|
Определить |
траекторию |
и скорость. |
|
|
137
Решение. Из |
уравнений |
движения следует, что х |
и у всегда больше |
нуля. |
||
Для |
определения уравнения траектории |
возведем |
каждое из уравнений |
дви |
||
жения в |
квадрат |
и составим |
разность |
|
|
|
|
|
|
х2 — у2 = |
а2. |
|
|
Для определения скорости найдем сначала ее проекции:
|
|
|
|
|
V x = = T t = Y ( e k t - e ~ k t ) = кУ' |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Vy=^=Y(ekt |
|
|
+ |
e ~ ! i t ) |
= |
k x |
' |
|
|
|
|
||
а затем уже и полную скорость. |
|
|
|
|
х1 |
—у2- -а2— |
расположена в |
области |
||||||||||
О т в е т . |
Траектория — ветвь |
гиперболы |
||||||||||||||||
положительных значений х; скорость |
v-~k |
У |
х2-\-у2. |
|
|
|
|
|||||||||||
Задача |
№ 42 |
(№ |
Ц . 6, 363 М). Движение точки |
задано |
уравнениями |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x = vut |
cos |
а 0 , |
y = v0t |
s i n a 0 |
— -j |
gt2, |
|
|
|
||||
причем ось Ox горизонтальна, |
ось |
|
Оу |
направлена |
|
по вертикали вверх, v0, g и |
||||||||||||
a 0 < — в е л и ч и н ы постоянные. |
Найти |
траекторию |
точки, |
координаты |
наивыс |
|||||||||||||
шего |
ее положения, |
проекции скорости |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
на координатные |
оси в тот момент, |
когда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
точка находится на оси Ох. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
Уравнения описывают |
|
дви |
|
|
|
|
|
|
vBcosa„ |
|
|||||||
жение тела, брошенного со скоростью |
v0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
под |
углом |
а 0 |
к горизонту (к |
оси |
Ох). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Чтобы |
найти |
уравнение |
траектории, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
определим |
время |
из |
первого |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и подставим |
найденное значение |
во |
вто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
рое; |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f/ = x t g a 0 |
- |
gx* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2i>o cos2 a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
88 |
|
|||
уравнение |
параболы, |
проходящей |
через |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
начало координат (рис. 88). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Чтобы |
определить |
координаты |
наивысшего |
положения, |
мы |
можем применить |
|||||||||||
известные из дифференциального исчисления правила нахождения максимума функ- dy
ции, т. е. взять производную -—, приравняв ее нулю, определить значение х.и, подставив его в уравнение траектории, определить соответствующее значение у, убедившись при этом, что вторая производная ^ | < 0. Однако мы найдем коор динаты наивысшего положения точки другим методом, для чего, продифференцировав по времени уравнения движения точки, найдем проекции ее скорости:
|
|
|
|
i ^ = u 0 cosa 0 , |
vy = |
v0s\nau—gl. |
|
|
|
|||
Первое из этих уравнений показывает, что проекция скорости на горизонталь |
||||||||||||
ную ось постоянна и равна проекции начальной скорости. |
|
|
||||||||||
Исследование |
второго |
уравнения |
убеждает, что проекция скорости на верти |
|||||||||
кальную |
ось в начальное |
мгновение |
положительна и |
равна |
f 0 s i n a 0 ; |
затем, по |
||||||
мере |
увеличения |
г, проекция |
vy уменьшается, |
оставаясь |
положительной |
до мгно- |
||||||
|
, |
vQ sin a„ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||
вения |
^ = |
_ |
^ — |
• к о г Д а |
vy |
обращается в нуль, после |
чего |
vy становится отри |
||||
цательной, |
возрастая по абсолютной |
величине |
с течением |
времени t. |
|
|||||||
Таким образом, точка движется вправо, сначала поднимаясь, затем опускаясь.
Мгновение / = • |
~— , при котором точка кончила подниматься, но еще не на- |
Б
чала опускаться, соответствует максимальному подъему точки. В это мгновение скорость горизонтальна и v = vx. Подставляя найденное значение t в уравнения движения, найдем координаты наивысшей точки траектории:
vo |
• |
п |
, |
(/ = |
vl . » |
а„. |
x = -zr- sin 2 а 0 |
-pr— sin4 |
|||||
2g |
|
|
|
* |
2g |
0 |
Определим проекции скорости |
|
в мгновение, когда |
точка находится на оси Ох. |
|||
В это мгновение ордината точки равна нулю. Приравняем нулю второе из уравне
ний |
движения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
v0t |
sin |
а 0 - |
|
|
|
= 0, |
или |
|
/ |
v0 |
sin |
а 0 |
|
= |
0. |
|
|
|
|
|||
|
Точка |
находится |
на |
оси |
Ох |
два |
раза: при |
/ = |
0 и при |
і _ |
2v0 |
sin |
а 0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
Первое |
значение |
t |
соответствует началу движения, второе — падению точки на |
|||||||||||||||||||||||
ось Ох. Второе значение равно |
времени всего полета, и оно |
вдвое |
больше |
полу |
|||||||||||||||||||||||
ченного |
нами |
ранее времени |
наивысшего |
подъема: |
время |
падения |
равно |
времени |
|||||||||||||||||||
подъема. |
|
|
|
|
|
|
|
t — О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Подставляя |
значение |
в |
уравнения, |
определяющие проекции |
скорости, |
|||||||||||||||||||||
найдем |
проекции |
скорости |
в |
начальное |
мгновение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
vx |
= |
+ |
|
c |
o s |
ао> |
иу |
= |
+Щ |
sin |
а 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
второе из найденных |
значений |
t, |
найдем |
скорости в |
момент па |
||||||||||||||||||||
дения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vx |
= |
+ |
vo |
c o |
s а о> |
i \ , = |
—1>0 |
sin |
а 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
О т в е т . |
1) |
Парабола |
y — |
|
xtga0- |
|
gx' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2v% cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) x = - | ^ s i n 2 a 0 , |
|
У = ^ |
s i n 2 a 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3) vx = v0 cos |
a0 , |
|
vy |
= |
± va |
sin |
a0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
причем верхний знак соответствует началу движения, |
а нижний — концу. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Задача |
№ |
43 |
(№ |
11. Б. С. З е р н о в. |
Сборник задач |
но |
теоретической |
меха |
||||||||||||||||||
нике, ч. I , Кинематика. ГНТИ, |
1931). По осям координат (рис. 89) скользят две |
||||||||||||||||||||||||||
муфты Л и В, соединенные стержнем АВ |
|
длиной |
I . Скорость |
В |
равна |
vB. |
При |
||||||||||||||||||||
каком положении муфт скорость муфты Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
вдвое больше Vg? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение. |
Координата |
точки |
Л |
свя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
зана |
с координатой точки В соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Считая |
х |
и у |
функциями |
времени и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
продифференцировав |
, это |
равенство |
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
времени, |
найдем |
зависимость |
между |
ско |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ростями |
обеих |
точек: |
|
(ІХд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
а |
|
|
|
Хд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ЛуА |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dt |
|
V'і* |
|
Kg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
89 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
