Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Но ^—^ = у в и по условию надо, чтобы величина

была равна 2VB, Т. е.

_ dvy

_ dvz

aQ-~df'

а * - Ц -

от

Проекции vx, vy

и vz сами

являются

производными

по времени

координат точки,

поэтому

ускорения

проекций можно выразить

вторыми производными

по времени

от координат

точки. Эти равен­

ства характеризуют

не только

величины,

но и

знаки

ускорений

проекций. Иными словами,

они выражают изменение алгебраических

скоростей

проекций

Р,

Q и R в мгновение

t.

Только

что доказанная

теорема

о равенстве алгебраической ско­

рости проекции точки на ось и проекции

скорости той же точки на

ту

же ось справедлива

для любого

момента времени. Следовательно",

эта

теорема относится

не

только

к

скорости, но и к ее изменению

в любое мгновение, т. е. к

ускорению1 . Это значит, что написанные

1

Теорема о равенстве проекции ускорения и ускорения проекции принадле­

жит

Резалю (1862 г.).

выше

равенства

выражают

также проекции ах, ау

и аг ускоре­

ния а

точки

М

на оси

координат

Ох, Оу и Ог:

dvr

d2x

• a cos (х„

L

df2

(65)

dt

a cos ya, - j

dvz

d?z_

a*=dt

' dt2

где cosaa , cosPa

и COSY0

—

направляющие

косинусы

ускорения.

Можно рассматривать

эти величины

(65) как векторы, направлен­

ные по осям

координат:

ах = iax,

а = \а ,

а2

= kaz.

(65')

Векторы

(65') являются

составляющими

ускорения

а.

Величина

ускорения при

координатном

и

затем

сложим их:

откуда

at

а\ = a2

(cos2

аа

+ cos2 |3Й + cos2 уа),

а = +

Val + al +

al.

(66)

Перед

радикалом

взят

знак плюс, так как модуль

вектора—ве­

личина положительная. Ускорение точки в отличие

от проекций

ускорения

на оси координат

или на другие направления обычно на­

зывают полным

ускорением.

Поэтому

равенство (66) можно прочитать

так: величина

полного ускорения

точки

равна

квадратному

корню

из суммы

квадратов

его проекций на оси координат.

Направление

ускорения мож­

Направляющие

косинусы ускорения. На­

правление

ускорения

определяют по коси­

но определить по направляю­

нусам

углов,

составляемых

положитель­

щим косинусам

ускорения:

ными направлениями

осей

координат с

ах

ау

cos Р 0 =

вектором

ускорения.

Формулы

направ­

cos a„ ' а

ляющих косинусов получаем

из

уравне-

COS

Y

A -

-

ний (65):

cos аа

=

-f,

(67')

C O S Pa = ? -

(67")

a ,

(67"')

zosya

=

f.

Если точка движется в плоскости

хОу, то

уа = 90°,

cos уа = 0,

cos a a = sinpf l .

Задача

№ 44. Точка М движется в системе координат хОу согласно уравнениям

х = г cos nt,

y = rsmnt,

где х

и

у—в

см,

а

/ — в сек.

Найти уравнение

траек­

тории точки

М, ее скорость, направляющие косинусы

скорости, ускорение,

направ­

ляющие косинусы

ускорения. Для значений времени

/ = 0; 0,25; 0,5; 0,75, . . . , 2 сек 1

дать чертежи

положений

точки

М, вектора

скорости

и вектора ускорения.

Решение.

Из уравнения движения

видно,

что координаты точки

М являются

проекциями

на соответствующие

оси

радиуса-вектора

г,

составляющего

с осью

абсцисс угол

nt:

х

і

а

У

cosa r = — =cosn^ ;

cos p r = — = sin nt.

r

r

Для определения траектории точки исключаем время из уравнений движения.

Получаем уравнение окружности

х% +

у2

=

гг.

Найдем

теперь

проекции скорости

на оси

координат,

для чего

продифферен­

цируем по времени

уравнения

движения:

v

dx

— rn sin nt,

= - л =

x

dt

vv

dy

rn cos nt,

= — =

y

dt

откуда no (64) получаем

модуль

скорости

v =

Vvx+Vy=rn.

Величина скорости точки М постоянна.

Направляющие

косинусы скорости

определим по формуле (62'):

vy

cos p„ = — = cos nt.

V

Эти соотношения показывают,

что направление скорости непрерывно меняется

и что скорость перпендикулярна

радиусу-вектору, проведенному из центра О в

точку М.