Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 259
Скачиваний: 2
Разделяя |
|
переменные |
и интегрируя, найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
х= |
1600/ cos 55° + |
|
С 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
у = |
1600/ sin 55° — £^L+C4. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
При |
/ = 0 |
координаты |
снаряда |
были: |
х = 0, у = 0. |
Подставляя эти данные, |
||||||||||||||||
найдем, |
|
что |
С 3 = 0 и С 4 |
= 0. |
Значения cos 55" и |
|
sin 55° найдем |
в тригонометри |
||||||||||||||
ческих |
таблицах. Уравнения движения |
снаряда |
примут вид: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
8/1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*=917,7/, { / = 1 3 1 0 , 6 / — ^ - . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Далее поступим, как |
|
при |
решении |
задачи |
№ |
|
42: приравняв |
вертикальную |
||||||||||||||
скорость |
нулю, найдем время |
подъема |
снаряда |
(/' = 133,7 сек); |
подставляя |
это |
||||||||||||||||
значение / в уравнение движения |
по оси Оу, |
найдем теоретическую высоту |
об |
|||||||||||||||||||
стрела |
|
(h— 87 636 м); |
|
удваивая |
|
время |
/, |
найдем |
время |
полета |
снаряда |
|||||||||||
(/==267,4 сек); |
подставляя |
|
это значение |
в уравнение движения |
по оси Ох, |
найдем |
||||||||||||||||
теоретическую |
дальность |
обстрела |
|
(/ = |
245 393 |
м). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
О т в е т . |
|
/ = 245 км; |
|
Л = 87,5 |
км. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
§ 23. |
КАСАТЕЛЬНОЕ |
И |
|
НОРМАЛЬНОЕ |
|
УСКОРЕНИЯ |
ТОЧКИ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Проекция |
ускорения на касательную |
и на |
|||||||||||||
Касательное |
|
ускорение |
ха- |
нормаль. Если движение точки задано в век- |
||||||||||||||||||
рактеризует изменение в дан- |
Т О р |
Н О й |
или в координатной форме, то часто |
|||||||||||||||||||
ное мгновение вектора ско- |
r |
|
|
|
|
|
г |
|
л |
|
т г |
определить |
||||||||||
рости |
по величине, а нор- |
встречается |
|
необходимость |
||||||||||||||||||
мальное — по |
направлению |
проекции ускорения на касательную и глав |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ную нормаль к траектории точки в том |
|||||||||||||||
месте, где в данное мгновение находится точка |
|
(рис. 91, а). |
|
|
||||||||||||||||||
При естественной форме определения движения точки сначала |
||||||||||||||||||||||
определяют |
проекции |
|
ускорения |
на |
касательную |
и на нормаль, а за |
||||||||||||||||
тем уже по этим проекциям находят величину и направление |
полного |
|||||||||||||||||||||
ускорения |
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проекцию ускорения точки на касательную к ее траектории на |
||||||||||||||||||||||
зывают |
касательным |
ускорением, |
или тангенциальным |
ускорением |
(от |
|||||||||||||||||
латинского слова tangens—касающийся), и обозначают |
аТ. |
ускоре |
||||||||||||||||||||
Проекцию ускорения |
на |
нормаль |
называют |
|
нормальным |
|||||||||||||||||
нием1 |
|
и обозначают |
|
aN. |
нормальное |
ускорения |
рассматривают |
не |
||||||||||||||
Часто |
касательное |
и |
||||||||||||||||||||
как проекции, а как составляющие |
полного |
ускорения, т. е. как |
||||||||||||||||||||
векторные |
величины. В таком |
случае |
над ат и |
|
aN |
ставят |
стрелку, |
|||||||||||||||
указывающую на их векторный |
характер. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Разложение ускорения по касательной и нормали имеет физиче ский смысл: касательная составляющая ускорения направлена по касательной (как и скорость), а потому не может повлиять на на правление скорости, но влияет на ее величину; составляющая уско рения по нормали направлена перпендикулярно к скорости, а потому не может повлиять на величину скорости, но влияет на ее направ ление.
1 Термины тангенциальное ускорение и нормальное ускорение введены Резалем.
а) |
В) |
|
Касательное ускорение равно первой производной от ве личины скорости по времени:
dv
Рис. 91
Касательное ускорение. Пусть точка М
движется |
по траектории, расположенной |
||
в |
плоскости хОу. |
|
|
|
Проведем касательную и нормаль к |
||
кривой, в |
точке |
М (рис. 91, б), нанесем |
|
на |
чертеж |
вектор |
ускорения а точки М |
и его составляющие ах и ау по координатным осям. Чтобы опреде лить касательное ускорение, надо спроецировать на касательную вектор полного ускорения или найти алгебраическую сумму проек ций на касательную составляющих ах и ау полного ускорения по осям координат. Воспользовавшись вторым из этих способов, спрое цируем ах и ау на касательную:
ат = ах cos av + ау cos $ v . '
Составляющие ускорения ах и ау направлены по координатным осям, а направление касательной совпадает с направлением скоро сти, поэтому косинусы углов а и Р равны направляющим косину сам скорости:
cosa„ = - |
|
(62') |
cosp„ = - |
|
(62") |
Подставляя значения направляющих |
косинусов, |
получаем |
vxax + |
vyay |
(68) |
|
|
По формуле (68) удобно вычислять касательное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58') и (58").
Можно дать еще другой изящный вывод формулы (68) танген циального ускорения, для чего спроецировать на касательную век тор полного ускорения, не раскладывая его предварительно по осям декартовых координат. В самом деле, тангенциальное ускорение равно проекции полного ускорения на касательную (рис. 91, а):
ат = a cos б,
но угол б, как внутренний угол треугольника, равен внешнему аа без другого внутреннего av, поэтому:
|
cos б = cos (аа—av) |
~ cosaa |
cos a„ + sin аа sin av |
||
или, |
так как а а |
= 90° — Р а |
и 0^ = 90° — ^ , |
|
|
|
|
cos б = cos а а cos av |
+ cos P a |
cos $v . |
|
Подставляя |
сюда вместо |
направляющих |
косинусов их выраже |
||
ния |
(67) и (62'), получим |
|
|
|
|
|
|
cos б = |
— |
|
|
|
|
|
|
av |
|
и, умножая на а, найдем тангенциальное ускорение
от-"****1*'.. |
(68) |
Напомним, что в числителе этой формулы проекции имеют свой знак, а знаменатель определяется по (64), т. е. существенно поло жителен.
Задача № 46. Движение точки задано в декартовых координатах уравне
ниями: |
|
x = 21,2sin 2 /, |
# = 21,2 cos2 /. |
Определить касательное ускорение точки (см. задачу № 36, стр. 132). Решение. Дифференцируя уравнения движения, найдем
vx = 2l,2 sin 2/, Vy = —21,2 sin 2/. Определим теперь полную скорость:
|
|
|
|
v = V |
4 + 4 = 3 0 sin 21. |
|
|
|
|
|
||||
Дифференцируя |
уравнения |
движения вторично, найдем |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0^ = |
42,4 cos 2/, |
ау |
= —42,4 cos 2/. |
|
|
|
|
||||
Касательное ускорение |
определим по формуле (68): |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
21,2-42,4.sin2/.cos 2/-2 |
=60 cos 2/. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
30 sin 2/ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О т в е т . |
Касательное |
ускорение |
равно |
60 cos 2/. |
|
|
|
|
|
|||||
Задача № 47. Точка М движется в системе координат хОу согласно уравне |
||||||||||||||
ниям |
x=rcosnt, |
y — rsmnt. |
Найти |
касательное ускорение точки |
М. |
|
||||||||
Решение. |
Проекции скорости |
и ускорения на оси координат, |
а также |
и пол |
||||||||||
ная |
скорость |
точки |
М были |
уже |
нами |
получены |
при |
решении |
задачи |
№ 44 |
||||
(см. стр. 142). Для определения |
касательного ускорения |
точки |
М нам остается |
|||||||||||
только подставить эти величины |
в формулу |
(68): |
|
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
axvx |
+ avvv |
|
г2л3 |
sin nt cos я / — г2 зх3 |
sin nt cos nt |
|
|
|
||||
|
a |
— |
— |
= |
|
|
|
rn |
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
' |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т . Касательное ускорение равняется нулю.
146
Для случая задания движения в |
естественной форме преобра |
|
зуем формулу (68) следующим |
образом: |
|
__vxdvx |
+ vydvy |
vdu і |
т ~ |
vdt |
vdt |
и, сокращая на v, найдем касательное |
ускорение |
|
ат=Тг |
< 6 9 ) |
|
Принимая во внимание (53), можно придать этой формуле не сколько иной вид:
Итак, касательное ускорение—это проекция ускорения точки на касательную к траектории, равная первой производной от величины скорости по времени. Чтобы получить касательное ускорение в век торном выражении, нужно его умножить на единичный вектор ка сательной:
|
|
|
ат |
= х%. |
|
|
(69")' |
Как уже было |
сказано, |
касательное ускорение не может |
изме |
||||
нить направления |
скорости, |
оно характеризует быстроту |
изменения |
||||
величины скорости, т. е. соответствует изменению |
вектора |
скорости |
|||||
вдоль его направления. |
|
|
|
|
|
||
Если с течением времени величина скорости |
увеличивается, то |
||||||
касательное ускорение |
направлено в ту же сторону, что и скорость. |
||||||
Такое движение называют |
ускоренным. |
|
|
|
|||
Если же величина |
скорости |
уменьшается, то касательное |
уско |
||||
рение направлено в сторону, противоположную скорости. Такое
движение |
называют |
замедленным. |
|
|
|
|||
Каждое из этих |
движений |
называют переменным |
движением. |
|||||
Если |
величина |
скорости |
" точки постоянна, |
то производная |
||||
^ = 0 , |
а |
потому равно |
нулю |
и касательное |
ускорение. |
Движение |
||
точки |
с |
постоянной |
по |
величине скоростью |
по любой |
траектории |
||
называют равномерным. Следовательно, при равномерном движении точки касательное ускорение равно нулю.
Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговор кой: если касательное ускорение постоянно равняется нулю, то, следовательно, величина скорости постоянна и движение равно
мерно; если же касательное |
ускорение точки |
равняется |
нулю не в |
||||||
течение |
всего |
рассматриваемого |
промежутка |
|
времени, |
а только |
|||
в какое-то |
мгновение, |
то движение точки не является равномерным, |
|||||||
1 vxdvx |
+ |
vy |
dVy=-Y |
+ |
d(v'i+vl) |
__du3 __2vdv |
-v dv. |
|
|
-^=-^~^ |
|
|
|
||||||
и равенство gj = 0 означает, что в это мгновение величина скорости
достигла экстремального (максимального или минимального) зна чения.
При равномерном движении точки по любой траектории
а г = 0, |
) |
(70) |
v = const, |
} |
|
s = s„ + vt. |
J |
, |
Формулы (70) справедливы только для равномерного движения точки и неприменимы при других движениях.
Равнопеременное движение точки. Из переменных движений точ ки в задачах наиболее часто встречается равнопеременное движение — такое движение, при котором касательное ускорение остается посто янным г .
При равнопеременном движении точки по любой траектории
ат = const, v = v0 + aTt,
s = s0 + V + ~V-
Формулы (71) справедливы только для равнопеременного движе ния и неприменимы при других движениях. Они даны здесь без вывода и известны из элементарной физики. Вывод этих формул приведен в решении задачи № 48.
Задача № |
48. Точка |
А начала |
двигаться |
с начальной |
скоростью |
Р 0 = 1 |
м/сек |
||
и с ускорением ат = 2 м/сек2. |
Через одну секунду следом |
за точкой |
А по той же |
||||||
траектории с такой же начальной |
скоростью |
и с таким же касательным ускоре |
|||||||
нием стала двигаться точка В. Определить |
расстояние |
(по траектории) |
между |
||||||
точками А я В через t сек после |
выхода первой точки. Построить графики дви |
||||||||
жения точек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Определим |
сначала уравнение движения точек. Нам дано, что |
|||||||
|
|
|
dv |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
—=ат |
= const. |
|
|
|
||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
Разделяя |
переменные |
и интегрируя, |
получим |
|
|
|
|||
|
|
|
|
v = |
aTt-{-C1. |
|
|
|
|
Постоянную Сі определим |
из начальных |
данных: |
|
|
|
||||
|
|
v0 = aT-0 + C1; |
C1 = v0. |
|
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = vQ-\-axt.
Написав v по (53), разделяя переменные и интегрируя, найдем
где
C3 = s0 = 0.
1 Понятие и термин «равнопеременное движение» дал Галилей (1638 г.).
148
