Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 262
Скачиваний: 2
Подставляя |
вместо у„ и ат |
заданные величины, найдем расстояние (в м), |
||||
пройденное |
точкой Л за |
время t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
2t2' |
|
|
В то |
же |
мгновение |
t расстояние, |
пройденное точкой В, будет меньше, |
||
так как точка |
В будет находиться |
в пути |
лишь t~ |
\ сек. Для точки В |
||
|
|
|
|
2 17 — П 2 |
|
|
|
|
|
8 Д = 1 ( * - 1 ) + [ \ |
' |
=t*-t. |
|
Расстояние между А и В найдем как разность пройденных ими путей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SA — sB |
— ^t |
м- |
|
|
|
|
||
|
Это расстояние |
растет |
пропорционально |
времени, |
хотя |
точка В |
во времени |
||||||||||||
не |
отстает |
от точки |
А |
и |
каждую |
точку |
траектории проходит |
через |
1 сек после |
||||||||||
того, как через нее прошла точка |
|
А. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Графики |
|
движения |
точек |
Л |
|
и |
В изо |
|
|
|
|
|
||||||
бражаются одинаковыми параболами (рис.92), |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
но |
парабола, |
представляющая |
|
движение |
|
|
|
|
|
||||||||||
точки |
В, смещена |
|
по оси |
времени |
относи |
|
|
|
|
|
|||||||||
тельно |
параболы, |
представляющей |
движение |
|
|
|
|
|
|||||||||||
точки |
Л, на |
1 сек вправо. Чтобы |
определить |
|
|
|
|
|
|||||||||||
расстояние |
(в м) между |
Л и В |
в |
какое-либо |
|
|
|
|
|
||||||||||
мгновение, надо восставить перпендикуляр к |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
оси |
времени |
в точке, соответствующей этому |
|
|
|
|
|
||||||||||||
мгновению, и измерить |
расстояние |
по верти |
|
|
|
|
|
||||||||||||
кали между |
параболами. Чтобы |
определить |
|
|
|
|
|
||||||||||||
интервал |
времени |
|
(в сек) между |
прохожде |
|
|
|
|
|
||||||||||
ниями точками Л и В какой-либо |
точки |
К |
|
|
|
|
|
||||||||||||
траектории, |
надо |
восставить перпендикуляр |
|
|
|
|
|
||||||||||||
к оси |
расстояний |
в точке, |
соответствующей |
|
|
|
|
|
|||||||||||
расстоянию |
точки |
|
К от начала |
отсчета, |
и |
|
|
|
|
|
|||||||||
измерить расстояние по горизонтали между параболами. Графики |
наглядно'показы |
||||||||||||||||||
вают, |
что |
точка |
В отстает |
от точки |
Л по расстоянию, |
так |
как АВ |
непрерывно |
|||||||||||
увеличивается, |
но не отстает |
по |
времени, и точка В проходит каждый отрезок |
||||||||||||||||
траектории |
за такое же время, |
как |
и точка Л. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
О т в е т . sA — Sg = 2t м.
Нормальное ускорение равно отношению квадрата скоро сти точки к радиусу кри-
У2
визны траектории: а д г = — .
Нормальное ускорение. Чтобы получить формулы нормального ускорения, мы опять воспользуемся тем, что проекция вектора на ось равна сумме проекций его состав ляющих на ту же ось, и определим aN как алгебраическую сумму проекций со-
ставляющих ах и ау на нормаль к траектории точки. Выберем за положительное направление нормали то, которое получается от по ворота положительного направления касательной на прямой угол против хода часов (см. рис. 91) в сторону вогнутости кривой.
Как видно из чертежа (см. рис. 91, б)
aJV = |
aycosav—axcos,fizl. |
Подставляем значения (62) направляющих косинусов:
- |
ay—axvy |
(72) |
aN = |
|
По этой формуле удобно вычислять |
нормальное ускорение |
точки, |
|||||||||||||||||||
если ее движение задано |
|
в |
координатной |
форме уравнениями |
(58') |
||||||||||||||||
и (58"). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эту же формулу (72) можно получить, спроецировав |
|
полное |
|||||||||||||||||||
ускорение |
а |
на |
нормаль |
Мп |
(рис. 91, а): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
или |
|
|
|
aN = as'mб |
= аsin |
|
(аа—а„) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aN |
= a (sin аа |
cosav |
— cosaa sin |
av). |
|
|
|
|
|
|||||||||
Эти тригонометрические |
величины |
нам |
хорошо |
известны: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
ау |
|
|
|
|
ах |
|
|
|
|
|
vx |
|
|
|
|
|
|
vy |
sinar t = cos6_ = —, |
cosa |
= |
—, |
|
cosa . = — , |
|
sin a„ = cos p., = — . |
||||||||||||||
a |
га |
a > |
|
|
a |
|
a |
|
|
|
v |
|
v |
|
|
v |
|
v |
|
v |
|
Подставляя |
эти |
значения |
и сокращая |
на а, |
получим: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
vxav |
— axvv |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
aN= |
Х |
\ |
Х |
У . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(72) |
|
Задача № 49. Движение точки задано уравнениями х=21,2 |
sin 2 1 , у ==212 cos2 1. |
||||||||||||||||||||
Определить |
нормальное |
ускорение |
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
Дифференцируя |
эти |
же |
уравнения |
движения |
при |
решении |
|
задачи |
||||||||||||
№ 36 (см. стр. 132), мы уже определили нужные |
нам |
величины: vXi vy |
v, |
|
ах, ау. |
||||||||||||||||
Подставляя |
их |
в формулу |
(72), |
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a N |
= |
— 21,2-42,4 sin 21 cos |
2t + |
21,2-42,4 sin 2t cos 2t . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ш |
— |
|
|
|
|
|
|
= |
0 . |
|
|
|
|||
О т в е т . |
Нормальное |
ускорение равно |
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача № 5 0 . |
Точка М |
движется согласно уравнениям |
x = |
r cos nt, |
|
y=rs\r\nt. |
|||||||||||||||
Найти нормальное |
ускорение точки |
М. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
Дифференцируя |
при |
решении |
задачи |
№ |
44 |
(см. стр. |
142) |
эти |
урав |
|||||||||||
нения движения, мы уже нашли проекции скорости и |
проекции ускорения. Пол |
||||||||||||||||||||
ную скорость определим |
по ее |
проекциям согласно |
(64): |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v = |
V |
vx+vl |
= |
rn. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя |
все эти |
величины в формулу |
(72), |
найдем |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r2n3 |
sin2 |
nt |
+ |
л 2 я 3 cos2 |
лі |
„ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
гл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т . |
Нормальное |
ускорение равно |
гл2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Чтобы преобразовать формулу (72) для случая, когда движение точки задано в естественной форме, припомним из курса высшей математики выражение кривизны плоской кривой1 , представленной
1 Напомним вывод этой формулы. Кривизной плоской кривой называют вели чину, определяемую первой производной от угла а наклона касательной по дуге s:
1da
рds
Если уравнения кривой даны в параметрической форме (58), то
|
dy_ |
|
|
tga-- |
dt |
'у |
|
dx |
х |
||
|
dt
в параметрической форме уравнениями (58') и (58"),
ху—ху
Если параметр t означает время, то эту геометрическую формулу можно переписать в обозначениях кинематики:
* = -!- = . |
(73) |
Сравнивая равенства (72) и (73), находим |
|
|
(74) |
Мы получили положительное значение проекции, |
следовательно, |
нормальное ускорение направлено от точки М в положительном
направлении оси Мп (см. рис. 91), |
т. е. в ту сторону от |
касательной, |
||||||||||||
по которую лежит траектория точки. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Чтобы получить |
нормальное |
ускорение |
в |
векторном |
выражении, |
|||||||||
надо |
(74) |
умножить |
на |
единичный |
вектор |
п |
нормали: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
aN = n- |
|
|
|
|
(74') |
|||
Как- |
уже было сказано, нормальное ускорение не влияет на |
|||||||||||||
величину |
скорости, |
потому |
|
что |
оно направлено |
перпендикулярно |
||||||||
к скорости. Оно влияет на направление скорости. |
|
|||||||||||||
Итак, |
нормальное |
ускорение — это |
|
|
|
|
|
|||||||
проекция |
ускорения |
точки |
на |
нормаль |
|
|
|
|
|
|||||
к траектории, направленная |
в |
сторону |
|
|
|
|
|
|||||||
вогнутости, равная |
квадрату |
скорости, |
£ |
|
|
|
|
|||||||
деленному на радиус кривизны траек |
|
|
|
|
|
|||||||||
тории. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
движение |
точки |
прямолиней |
|
|
|
|
|
||||||
ное, |
то |
радиус |
кривизны |
|
траектории |
|
|
|
|
|
||||
(прямой |
линии) |
равен |
бесконечности, |
|
|
|
|
|
||||||
а нормальное ускорение равно нулю. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Обратное заключение можно |
сделать |
|
|
|
Рис. |
93 |
||||||||
лишь с некоторой оговоркой: если в |
|
|
|
|
|
|||||||||
каждое мгновение данного |
промежутка |
времени |
нормальное уско |
|||||||||||
рение |
движущейся |
точки |
равняется |
нулю, то |
точка движется |
|||||||||
по прямой; если же нормальное ускорение точки не постоянно равно нулю, а только в какое-либо мгновение, то движение точки не
откуда
a = arctg -г-
х
Дифференциал дуги
dt
а потому
ху — ху
1 _ da |
dt __ |
Xі |
1 |
ху—ху |
ху — ху |
х•г
3
является прямолинейным и равенство ^" = 0 означает, что в это
мгновение положение точки совпадает с точкой перегиба траектории1 или же направление скорости меняется на обратное. На чертеже (рис. 93) изображено нормальное ускорение точки в различных местах траектории при равномерном движении.
„ |
|
ускорения |
точки |
|
Ускорение при естественном способе зада- |
|||||||||
Величина |
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|||||
равна |
квадратному |
корню из |
н и я |
Движения. |
Если движение точки зада- |
|||||||||
суммы |
квадратов |
касатель- |
|
но |
в |
естественной |
форме, |
то |
проекции |
|||||
ного |
и нормального |
|
ускорения на |
нормаль |
и на |
касательную |
||||||||
|
|
ускорении: |
|
|
можно |
определить по формулам (69) и (74) |
||||||||
|
а—-і/ |
а2 + а 2 |
и |
п |
0 |
проекциям |
определить |
величину |
||||||
|
|
У |
т |
N |
|
полного ускорения точки (см. рис. 91): |
||||||||
или |
|
|
|
|
|
«=+]/ |
|
а*т + |
аЪ, |
|
|
|
(75) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перед |
радикалом стоит |
знак |
« + »> потому |
что |
величина ускоре |
|||||||||
ния существенно |
положительна. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вектор полного ускорения 'а направлен по диагонали прямо угольника, построенного на векторах касательного и нормального
ускорений. Можно точно установить направление ускорения а по тангенсу угла, составляемого им с нормалью к траектории:
*g № = |
Б р |
осательное ускорение направлено по касательной к траектории, |
|
а нормальное — к центру кривизны |
траектории, поэтому вектор пол |
ного ускорения лежит с той стороны от касательной, с которой
расположена |
траектория |
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
При криволинейном ускоренном движении точки |
полное |
ускорение |
|||||||||||
составляет со скоростью |
острый |
угол, |
а при замедленном—тупой. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Разложение ускорения при движении точки |
|||||||||
Вектор |
ускорения |
лежит |
п о |
к р и в |
о й |
двоякой кривизны. Если кривая |
||||||||
в соприкасающейся |
плоско- |
|
е |
|
|
„ |
v |
|
|
ее |
v |
|||
сти, |
и |
проекция ускорения |
н е |
лежит |
в одной |
плоскости, то |
назы- |
|||||||
на |
бинормаль |
равна |
нулю: |
вают пространственной |
кривой, |
или |
кри- |
|||||||
|
|
аь = о |
|
в ° й |
двоякой |
кривизны. |
В |
каждой |
точке |
|||||
касательную |
|
|
к кривой можно провести только одну |
|||||||||||
и бесчисленное |
множество |
нормалей, |
расположенных |
|||||||||||
в плоскости, перпендикулярной к касательной и называемой нор мальной плоскостью (рис. 94).
1 Напомним, что в точке перегиба р = о о .
