Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 261
Скачиваний: 2
|
Пусть в мгновение t точка занимает на кривой двоякой кривизны |
|||||||||||
положение |
|
М. |
В |
это мгновение скорость точки направлена |
по каса |
|||||||
тельной к кривой в точке М. Через эту касательную и через |
близкую |
|||||||||||
точку |
Мг |
(не показанную на чертеже), в которую движущаяся точка |
||||||||||
придет |
в |
мгновение t-\-At, |
проведем плоскость и будем стремить |
|||||||||
At |
к нулю. Тогда |
точка Мх |
будет |
стремиться |
к точке |
М. При этом |
||||||
плоскость |
будет |
поворачиваться |
около |
касательной, |
проведенной |
|||||||
в |
точке М, |
и стремиться к |
некоторому определенному |
положению, |
||||||||
в |
котором |
она |
называется |
соприкасающейся, |
плоскостью1. |
Следова |
||||||
тельно, в |
соприкасающейся плоскости находится вектор скорости |
|||||||||||
движущейся |
точки в то мгновение, |
когда |
эта точка совпадает с точ- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
бинормаль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 94 |
|
|
|
|
кой М, |
а также когда |
она занимает положение, предельно близкое |
||||||
к |
точке |
М. |
А так как |
ускорение |
характеризует изменение |
скорости |
||
в |
данное |
мгновение, то |
вектор ускорения |
тоже находится |
в |
сопри |
||
касающейся |
плоскости. |
|
|
М перпендикулярно |
|
|||
|
Плоскость, проведенную через |
точку |
к со |
|||||
прикасающейся и к нормальной плоскостям, называет спрямляющей плоскостью2.
Нормаль, лежащую в спрямляющей плоскости, |
называют |
бинор |
||
малью3, |
а нормаль, лежащую в соприкасающейся |
плоскости,—глав |
||
ной нормалью (главную нормаль |
плоской кривой |
обычно называют |
||
просто |
нормалью). |
|
|
|
Касательная Літ, главная нормаль Мп и бинормаль Mb |
пересе |
|||
каются в точке М под прямыми |
углами. Эти три |
взаимно перпен |
||
дикулярные прямые в механике |
часто принимают |
в качестве |
коор |
|
динатных осей и называют естественными осями, или осями нату
рального триэдра. По мере движения |
точки по траектории |
естествен- |
||||||
1 |
|
Термин |
«соприкасающаяся плоскость» |
впервые |
применил |
Ив. |
Бернулли |
|
в 1728 |
г. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Понятие |
«спрямляющая плоскость» в науку |
ввел |
Ланкре в |
1805 |
г. |
||
3 |
|
Термин |
«бинормаль» принадлежит Барре де |
Сен-Венану. |
|
|
||
ные |
оси |
движутся вместе с ней, поворачиваются относительно основ |
|||||||||||
ных |
(неподвижных) |
осей |
xOyz. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Положительные направления на естественных осях примем такими, |
|||||||||||||
чтобы трехгранный угол xMnb можно |
было |
привести |
в |
совпадение |
|||||||||
с углом |
xOyz. Касательная М% |
играет |
роль |
оси Ох, |
главная |
нор |
|||||||
маль |
Mti — оси |
Оу |
и бинормаль |
Mb — оси |
Oz. |
|
|
|
|||||
Так |
как вектор ускорения лежит в соприкасающейся |
плоскости |
|||||||||||
хМп, |
а |
бинормаль |
Mb |
перпендикулярна |
к |
соприкасающейся |
пло |
||||||
скости, |
то |
проекция ускорения |
на бинормаль всегда равна нулю |
||||||||||
(аь = 0), |
и |
при |
проецировании |
ускорения |
на три естественные |
оси |
|||||||
мы имеем только две проекции: |
касательное |
ускорение |
и нормаль |
||||||||||
ное |
ускорение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, мы установили, что формулы (69), (69') и (69") касательного ускорения, формулы (74) и (74') нормального ускоре ния, а также формулы (75) и (75') полного ускорения, выведенные нами в предположении, что точка движется по плоской траектории, остаются справедливыми для любого движения точки.
Именно потому, что проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю, в формуле (75) величина полного ускорения опреде ляется по двум проекциям, а не по трем, как это имеет место в формуле (66). Приравнивая выражение (66) модуля полного уско рения точки через проекции на неподвижные оси координат его же выражению (75) через проекции на естественные оси, получим для движения точки по любой траектории соотношение
а=+ Val + al + al = +уа*т+а], |
(76) |
или
Эти равенства часто бывают полезны при решении задач.
Задача № 51 (12.25, 371 М). Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями:
x = at, j , = p f _ i g * « .
Решение. Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат:
|
|
x = vx |
= a, х = ах = 0, |
y = vy |
= ?,—gt, |
y=—g. |
|
|||||
Подставляя |
найденные |
величины в |
(68), |
найдем касательное |
ускорение |
|||||||
|
|
|
|
|
|
g ( P - g < ) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ит~ |
|
|
V |
— . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
те же величины в |
формулу |
(72), |
найдем |
нормальное |
ускорение |
||||||
|
|
|
|
а |
|
=—£SL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
v |
|
|
|
|
|
Нормальное |
ускорение |
всегда |
направлено |
во |
внутрь |
траектории, |
отрицательный |
|||||
знак |
получился потому, |
что в этой задаче естественные оси взяты по левой системе, |
||||||||||
(ось |
A f T — вправо, ось |
М,п — вниз), |
а неподвижные — по |
правой. |
|
|||||||
|
_ |
а (8 —gt) |
|
|
еа |
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т . |
ат=—2-iL—— |
; ajy=-—, |
где v — скорость |
точки. |
|||||||
Задача № 52. Найти скорость, полное, касательное и нормальное ускорения точки, описывающей фигуру Лиссажу, по уравнениям движения точки, заданным в координатной форме:
|
|
|
x=3sin2t, |
|
у = |
4 sin 2г. |
|
||
Решение. |
Найдем |
сначала |
проекции |
скорости: |
|
||||
|
|
|
vx |
— Qcos2t, |
vy |
= |
8cos2t. |
|
|
Затем определим |
величину полной |
скорости точки: |
|||||||
|
|
|
о = |
+Vv2x |
+ vl= |
10 cos 2t. |
|
||
Для определения касательного и нормального ускорений определим проекции |
|||||||||
ускорения на декартовы оси координат, |
затем |
найдем |
полное ускорение и разло |
||||||
жим его на |
касательное и |
нормальное. |
Имеем |
|
, |
||||
|
|
ах~ |
— 12 sin 2t, |
ау= |
|
— 16 sin |
2t, |
||
а= +Val + al = 20 sin 2t.
Найдем сначала касательное ускорение, для чего продифференцируем по вре мени полную скорость или воспользуемся формулой (68):
|
dv |
|
|
ат=~-=dt |
— 20 sin2*. |
Мы видим, что полное ускорение |
по величине равно касательному ускорению, |
|
т. е. что нормальное ускорение равно |
нулю. Это возможно только в случае, если |
|
траектория — прямая |
линия. Для проверки можно определить кривизну траектории |
|
или найти уравнение |
траектории. По |
первому способу имеем |
и1 -
р"
— 6 - 16+12 - 8 |
. |
103 cos3 2t |
cos2r sin 2г = 0. |
|
|
4 |
|
По второму способу найдем у= |
— х |
(прямая). |
|
|
|
|||
|
|
|
О |
|
— 20 sin 2t; я д г = 0 . |
|
||
О т в е т . |
y=10cos2^; |
a = 2 0 s i n 2 / ; |
я г = |
буксо |
||||
Задача ЛІ |
53. Точка обода колеса, катящегося без |
скольжения и без |
||||||
вания по прямолинейному рельсу, движется согласно уравнениям |
x — r(ct — s'mct), |
|||||||
y = r(l—cose/). |
Найти нормальное |
ускорение |
точки. |
|
|
|
||
Решение. |
Для решения |
задачи |
можно |
наметить следующий |
путь: найти про |
|||
екции скорости, величину полной скорости, проекции |
ускорения |
и полное |
уско |
|||||
рение; затем, |
продифференцировав |
по времени |
величину полной |
скорости, |
найти |
|||
касательное ускорение и, вычитая его геометрически, из полного, найти нормальное.
Дифференцируя |
уравнения движения, |
найдем |
|
||||||||
Далее |
получаем |
|
vx = rc(l— |
cos ct), |
|
vy |
= rc sin |
ct. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v= Y |
Vx + vl = |
rc |
V\—2 |
cos ci-f-cos2 |
сґ + |
sin3 ct = |
rc Y~2 ( 1 — cos ct) — |
||||
|
|
|
= rc |
у |
2 • 2 sin2 |
SL = |
2rc sin |
-I. |
|||
Дифференцируя |
проекции |
скорости, |
|
найдем |
|
|
|||||
и полное |
ускорение |
|
ах = |
rc2 |
sin ct, |
|
|
Оу = |
гсг cos ct |
|
|
|
|
|
а —гс1. |
|
|
||||||
Дифференцируя |
v, |
найдем |
|
|
|
||||||
касательное |
|
ускорение: |
|
||||||||
|
|
|
|
aT=rci |
, |
|
" ct |
|
|
||
|
|
|
|
|
cos |
— . |
|
||||
Вектор ат перпендикулярен вектору |
адг и в сумме |
с |
ним |
равняется |
вектору |
||||||||||||||||||
полного ускорения, |
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
aN=y/~a"- |
— a\~rc% |
j / " l |
— cos2 |
^ - = |
лс2 |
sin ~ . |
|
|
|
|
||||||||||
Задачи такого |
типа быстрее и |
короче |
|
решать |
с применением формулы |
(72). |
|||||||||||||||||
По этой формуле |
непосредственно |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
vxay |
axvy |
rcn—cos |
ct) rc^ cos ct— гсъ |
sin ct rc sin ct |
„ . |
|
ct |
|
|||||||||||||
|
|
|
v |
|
= |
|
|
' |
— T t |
|
|
|
|
|
|
= r°2 |
S m T • |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2rc |
sm Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О т в е т . |
a.fj=rc2 |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача № 54 (№ 59. |
С. M . T a p г. |
Краткий |
|
курс |
теоретической |
механики. |
|||||||||||||||||
Физматгиз, |
1958 г. и следующие |
издания). |
Тяжелое |
тело, |
размерами |
|
которого |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
можно пренебречь, брошено с большой высоты с горизонталь- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ной скоростью у0 и |
движется |
согласно |
уравнениям |
x = v0t, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
у = |
-^Ф-2- Найти |
траекторию, |
скорость, касательное и нор |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
мальное |
ускорения |
в любом |
положении, |
выразив |
их |
через |
||||||||||||
|
|
|
|
|
скорость |
тела в этом положении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Определяя из первого |
уравнения |
t и |
подстав |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
ляя |
во второе, найдем |
уравнение |
траектории: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Р и с |
- |
95 |
|
|
Траектория —парабола |
(рис. 95). Дифференцируя |
урав |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
нения |
движения ч по |
времени, |
найдем |
проекции |
скорости |
|||||||||||||
и по |
ним |
полную |
скорость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
начальное мгновение |
(^ = 0), |
скорость |
точки |
|
v = v0, а затем с течением |
вре |
||||||||||||||||
мени величина скорости непрерывно возрастает. Из полученного |
равенства |
опре |
|||||||||||||||||||||
делим |
время |
t, в течение |
которого |
тело приобретает |
скорость |
v: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
g
Вторично дифференцируя уравнения движения точки, найдем проекции уско рения на оси координат и полное ускорение:
В данном случае тело движется |
с постоянным по модулю и направлению |
ускорением, параллельным оси Оу. |
хотя здесь а = const, движение точки не |
Обращаем внимание на то, что, |
является равнопеременным, так как условием равнопеременного движения яв
ляется |
не условие |
а — const, |
а условие ат = const. В данном же случае, как мы |
сейчас |
увидим, а? |
непостоянно. |
|
Дифференцируя |
величину |
полной скорости по времени или непосредственно |
|
по (68), получим касательное |
ускорение |
||
а |
& |
= tL |
|
Подставляя |
вместо |
і |
найденное |
нами значение, |
выразим касательное ускоре |
|||||||||||||||
ние |
ат |
через скорость v: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Отсюда |
следует, |
что |
в |
начальное |
мгновение, |
когда |
v — v0, |
ат = 0. |
Затем |
|||||||||||
с увеличением v величина ат |
растет и в пределе стремится к полному ускорению |
g. |
|||||||||||||||||||
|
Для нахождения |
нормального |
ускорения |
обратимся |
к |
(72). Имеем |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Vxay |
— axVy |
|
Vgg |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
v |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
ам |
В начальное |
мгновение |
(при ( = 0 и v = v0) |
aN=g, |
а |
затем с увеличением |
v |
||||||||||||||
убывает, |
стремясь в пределе к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
О т в е т . |
Парабола |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
г/ = |
~ * |
2 ; |
v = yv\+#P |
|
|
; |
a = g; |
|
|
|
||||||
|
Задача |
№ 55 (№ 353 из задачника |
И. В. Мещерского |
издания |
14—31 вкл.). • |
||||||||||||||||
Определить |
радиус кривизны |
траектории |
точки в начале движения, если уравне |
||||||||||||||||||
ния |
ее движения |
имеют |
вид: x = 2t, y — t2 |
(t — в сек; х, |
у — в м). |
|
|
|
|||||||||||||
|
Решение. |
Из формулы |
кривизны |
(73) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 _ |
|
_ |
|
V3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ~ Р ~ vxay |
— axvy |
|
' |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Для |
получения |
проекций скорости |
и ускорения в начальное мгновение |
про |
||||||||||||||||
дифференцируем |
уравнения движения |
и подставим |
/ = 0: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1'Х |
= |
Ш==2' |
"*0==2; |
|
vy~% |
= |
2 |
t ' |
V = |
0 ; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ах |
= |
0; |
ау |
= |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Полную скорость в начальное мгновение определяем по ее проекциям:
Подставляя |
эти величины |
в формулу (73), получим ответ. |
|
|
О т в е т . р = 2 л*. |
|
|
|
|
Задача |
№ 56. Через 20 сек после |
начала движения автомобиль, |
двигаясь на |
|
закруглении |
радиуса 400 |
м, приобрел |
скорость 108 км/ч. Считая, |
что величина |
скорости автомобиля пропорциональна квадрату времени, определить полное уско
рение |
автомобиля |
в |
конце 20-й секунды |
и пройденное за это время |
расстояние. |
||||||||
Решение. |
За единицы |
принимаем |
метр и секунду. Траектория задана — дорога |
||||||||||
с закруглением |
радиуса |
400 м, |
и |
для |
решения |
задачи необходимо |
определить |
||||||
уравнение движения |
автомобиля |
по траектории. |
(Применять |
формулы (71) здесь |
|||||||||
нельзя, |
так как при равнопеременном движении |
величина |
скорости |
пропорцио |
|||||||||
нальна |
времени, а |
в данной задаче она пропорциональна квадрату времени.) . |
|||||||||||
В |
условии |
дано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
v = |
bt2. |
|
|
|
|
Найдем |
коэффициент |
пропорциональности |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
_ _ 3 0 _ _ |
3_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~t?~ 20а ~ |
40 |
' |
|
|
||
