Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 264
Скачиваний: 2
Выражая скорость по (53) и разделяя |
переменные, получим |
|
ds = vdt = |
3 |
dt, |
-гтг t2 |
||
|
40 |
|
откуда, интегрируя, получаем |
|
|
s=lot3+c-
|
Постоянную |
С |
определим |
из |
начальных |
данных: |
в |
начальное |
мгновение |
|||||||
(/ = |
0) автомобиль |
|
не |
прошел |
еще никакого |
расстояния, |
а |
потому С = 0. Дважды |
||||||||
дифференцируя по |
времени |
полученное уравнение, |
найдем |
касательное |
ускорение |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ат = - ^ і |
|
м/сек2, |
|
|
|
|
||
или |
в конце |
20-й |
секунды |
|
|
а г |
= 3 |
м/сек2. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Скорость в конце |
20-й |
секунды |
была |
30 |
м/сек, |
и по |
(74) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
а л г = 1 о о |
|
м / с е к - |
|
|
|
||||
|
Полное |
ускорение |
в конце |
20-й |
секунды |
было |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 4 |
J |
|
4 |
|
|
|
|
|
Чтобы |
определить |
расстояние, |
пройденное |
автомобилем за 20 сек, |
положим |
||||||||||
в уравнении |
движения |
/ = |
20 |
сёк: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s = - — -203 = |
200 |
«. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т , |
а =3,75 |
м/сек2, |
s = 200 |
м. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Г Л А В А X
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ, ВРАЩАТЕЛЬНОЕ И СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
|
|
|
|
§ 24. О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА |
Движение |
твердого |
тела |
Движение твердого тела. Далеко не во |
|
всех задачах кинематики можно пренебре |
||||
в пространстве определяется |
гать размерами движущегося тела и при |
|||
движением |
трех его |
точек, |
нимать его за точку. Для тех случаев, |
|
не лежащих на одной прямой |
||||
|
|
|
|
когда расстояния между частицами тела' |
не изменяются, |
но |
по |
условиям задачи приходится учитывать дви |
|
жения его различных частиц, разработан раздел кинематики, назы ваемый кинематикой твердого тела.
Мы неизменно связываем движущееся твердое тело с осями коор динат x'Ey'z', которые движутся вместе-с ним. Тогда движение тела него точек определяется движением системы координат x'Ey'z'. В ки нематике часто допускают, что это тело имеет неограниченные размеры.
Если закрепить две точки твердого тела, то оно сможет повора чиваться вокруг прямой, проходящей через эти две точки. Если закрепить еще и третью точку, не лежащую на той же прямой, то все тело окажется закрепленным. Таким образом, положение твер дого тела определяется положением трех его точек, не лежащих на
одной |
прямой, а |
движение тела—движением |
трех его точек. |
|||||
|
|
|
|
Основная теорема |
кинематики |
твердого |
||
Проекции скоростей двух то |
тела. Рассмотрим какие-либо две |
точки А |
||||||
чек твердого тела на пря |
и В |
твердого |
тела |
и их скорости. Прове |
||||
мую, соединяющую |
эти точ |
дем |
прямую |
через |
точки А я В я спрое |
|||
ки, |
равны |
между |
собой |
|||||
|
|
|
|
цируем на нее скорости точек А и В |
||||
(рис. |
96). |
Существует |
теорема |
о том, что проекции скоростей двух |
||||
точек тела на прямую, соединяющую эти точки, всегда равны между собой. Из множества имеющихся доказательств этой теоремы приве дем следующее логическое доказательство: проекции скоростей двух точек абсолютно твердого тела на
прямую, соединяющую |
эти точки, |
|||
равны между собой, так как в |
||||
противном случае расстояние |
АВ |
|||
между |
этими |
точками |
изменялось |
|
бы: |
|
|
|
VB COS Ji |
vAcos |
(v^AB) |
= vBcos(v^AB). |
VA cos а |
|
(77) |
||||
Эта теорема относится, разуме ется, не только к двум точкам А
я В, а ко всем точкам, составляющим прямую, и может быть сфор мулирована так: проекции на какую-либо ось, проведенную в твер дом теле, скоростей точек этой оси равны между собой.
|
Задача |
№ |
57. |
Плоская |
фигура |
движется в своей плоскости, при этом точка |
|||||||||||
А |
фигуры |
(см. |
рис. 89 на стр. 139) |
движется |
по |
оси |
Оу, |
а точка В фигуры — по |
|||||||||
оси Ох |
системы |
координатх . |
При |
каком |
соотношении |
координат |
точек |
А |
и В |
||||||||
vA = 2vB? |
|
Проекции |
скоростей |
точек |
Л |
и |
В на |
прямую А В |
равны |
между |
|||||||
|
Решение. |
||||||||||||||||
собой. Косинус |
угла |
между |
направлением скорости |
vA |
и прямой |
А В равен |
~ - |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
хв |
|
|
|
|
|
|
АВ |
и |
между |
скоростью |
vB |
и |
той |
|
|
следовательно, |
|
|
|
||||||
же прямой -т^г и, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
УА _„ |
х |
в |
|
|
|
|
|
|
VAAB=VBAB-'
Подставляя вместо vA его требуемое значение 2vB, получаем ответ.
|
О т в е т : хв |
= 2уА. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
§ 25. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ |
ДВИЖЕНИЕ |
ТВЕРДОГО ТЕЛА |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Поступательное движение тела и его урав- |
|||||||
Поступательным |
движением |
нение. Наиболее простым движением твер- |
|||||||||||
называют |
такое |
движение |
дого |
тела является поступательное движе- |
|||||||||
твердого |
тела, |
при |
котором |
н и е _ |
Соединим две |
какие-либо точки |
тела |
||||||
любая прямая, взятая в те- |
|
|
|
» |
п |
|
|
|
|||||
ле, |
остается |
параллельной |
отрезком прямой. При поступательном дви- |
||||||||||
своему |
начальному |
направ- |
жении тела этот прямолинейный отрезок |
||||||||||
|
|
|
лению |
|
передвигается |
параллельно самому |
себе, |
||||||
|
|
|
|
|
|
не изменяя своего направления. Движение |
|||||||
тела |
называют |
поступательным, |
если |
каждая |
проведенная в |
теле |
|||||||
прямая |
сохраняет свое |
направление. |
|
|
|
|
|
||||||
Для выяснения вопроса, является ли данное движение поступа |
|||||||||||||
тельным, |
нет |
необходимости проводить |
в "теле |
множество прямых |
и |
||||||||
проверять,- не меняет ли каждая |
из |
них |
своего направления |
во |
|||||||||
время |
движения |
тела. |
Движение |
тела |
вполне |
определяется движе |
|||||||
нием трех его' точек, не лежащих на одной прямой. Следовательно, нужно провести минимум две прямые; конечно, эти прямые должны быть непараллельны между собой.
Из определения видно, что поступательное движение может совер шать только тело. Одна точка не может двигаться поступательно. Вместе с тем поступательное движение твердого тела вполне харак
теризуется движением любой из его |
точек. |
тело совершает |
поступа- |
|||||
|
|
|
Пусть |
некоторое |
||||
Если тело движется посту- |
тельное |
движение |
относительно |
системы |
||||
пательно, |
то все его |
точки |
координат |
xOuz |
(рис. 97, а), которую мы |
|||
описывают |
одинаковые |
тра- |
V |
|
J |
w |
J |
r j |
примем за неподвижную и будем называть
основной системой отсчета. Отметим в этом теле какую-либо точку Е, движущуюся вместе с телом. Не обращая пока внимания на прочие точки тела, рассмотрим движение точки Е, которое, как движение всякой точки, определяется уравнениями
xE = x(t), yE = y(t), zE = z(t). |
(78) |
1 Если две точки А и В плоской фигуры движутся по взаимно перпендику лярным осям Ох и Оу неподвижной плоскости, то движение плоской фигуры называют кардановым движением по имени итальянского ученого Кардано.
Давая аргументу t последовательные значения, получим положе
ния |
точки |
Е, |
геометрическое |
место которых является ее траекто |
|
рией. На |
рис. |
97 траектория |
не |
изображена. |
|
|
Проведем теперь в теле через |
Е три взаимно перпендикулярные |
|||
оси |
(рис. 97, |
б), которые назовем подвижной системой отсчета, или |
|||
подвижными осями координат. Для простоты доказательства в этом параграфе подвижные оси взяты параллельными неподвижным. Под вижные оси передвигаются вместе с телом относительно основных осей, оставаясь им параллельными, по условию поступательного движения.
Отметим |
в теле какую-либо |
другую |
точку |
К |
(рис. 97, |
в), |
коор |
||||||||
динаты которой относительно |
подвижных |
осей |
обозначим |
х'к, |
у'к |
и |
|||||||||
а относительно |
основных: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
• = |
ХЕ |
+ ХК, |
yK |
= |
yE+y'h |
ZK |
— |
ZE~ |
|
|
|
|
(79) |
|
Обратим |
внимание |
на |
то, что координаты х'к, |
у'к |
и г'к |
точки |
К |
||||||||
относительно подвижных |
осей |
|
постоянны, |
потому |
что |
и точка |
К и |
||||||||
подвижные |
оси взяты |
в одном и том же твердом теле. Следовательно, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
(£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
|
|
Ґ |
V |
|
|
|
|
|
|
|
•9 |
о, |
|
V |
|
-у |
е |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) |
|
|
|
|
В) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при всяком положении поступательно движущегося тела координаты точек Е и К отличаются друг от друга на постоянные величины. Отсюда следует, что траектории точек £ и К одинаковы и одина ково ориентированы относительно основной системы координат xOyz.
Поскольку |
точки |
выбраны |
нами произвольно, |
доказанное |
относится |
||
к любым |
точкам |
тела. |
|
|
|
|
|
Если |
определять движение тела по движению его точек, то |
можно |
|||||
определить |
поступательное |
движение тела как |
движение, |
при |
кото |
||
ром перемещения всех точек тела за один и тот же произвольно выбранный промежуток времени равны между собой.
Именно поэтому поступательное движение иногда различают по траекториям, описываемым точками тела. Так, например, говорят, что спарник паровой машины, установленной на фундаменте, совер шает круговое поступательное движение; это означает, что все точки спарника описывают одинаковые окружности. Говорят, например, что
161 |
6 № 784 |
