Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 267

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

поршень совершает прямолинейное поступательное движение; это означает, что все точки поршня описывают одинаковые и параллель­ ные прямолинейные траектории.

Задача № 58. Определить движение спарника тепловоза на прямолинейном

участке пути.

 

(рис. 98) — это стержень, соединенный шарнирами А

Решение. Спарник

А В

и В с кривошипами OA

и

0±В равной длины. Длина спарника

равна расстоянию

 

 

между осями О и Ov

Такой

меха­

 

 

низм ОхОАВ

называют

шарнирным

 

 

параллелограммом.

Противоположные

 

 

звенья его, как противоположные сто­

 

 

роны всякого параллелограмма,

парал­

 

 

лельны между собой: АВ

\\ ООх .

 

 

 

 

 

 

При

заданном

движении

тепло­

 

 

 

 

воза

точки

О и

0 [

движутся

 

прямо­

 

 

 

 

линейно и прямая

АВ

не меняет

своего

 

 

Рис. 98

 

направления, т. е. движется

поступа­

 

 

 

 

тельно. (При повороте тепловоза или

 

 

 

 

при

изменении уклона

железнодорож­

ного пути поступательное движение нарушается.) Все точки

спарника

описывают

одинаковые

траектории —укороченные

циклоиды.

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т .

Движение спарника АВ

поступательное.

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 59. Круг / радиуса гх

(рис. 99, а) движется поступательно, посто­

янно

соприкасаясь с неподвижным кругом / /

радиуса

гг.

Найти траекторию

любой

точки

круга

/ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Возьмем на подвижном

круге

/ произвольную

точку

К

и

соединим

сней центр Е подвижного круга отрезком ЕК (рис. 99, б). От центра О непод­

вижного

круга

/ /

 

отложим

отрезок 00-к,

При

поступательном движении кру­

га

/

отрезок ЕК,

как всякая

пря­

мая,

проведенная

в

поступательно

движущемся теле, не меняет своего

направления и

остается

равным

и

параллельным

неподвижному

отре­

зку

 

00%.

Соединив

точку 0 с

точ­

кой Е, а точку 0%—с

точкой

К,

получим

параллелограмм

КЕОО^,

в котором

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О к К = 0 £ = г 1 + г 2 .

 

 

 

 

Следовательно,

 

при

поступа­

тельном движении круга / по кру­

гу

/ /

точка К движется,

оставаясь

на

постоянном

расстоянии

гг-\-гг

от неподвижной точки Ок,

т. е. опи-

сывает

окружность.

 

 

 

 

равный и параллельный отрезку ЕК.

ц)

ftj

Р и с -

99

О т в е т . Точки круга / описывают окружности радиуса т^-\-гг.

Задать движение тела—это значит дать положение всех его точек для каждого мгновения. Мы видим, что при поступательном движе­ нии твердого тела все его точки движутся одинаково и движение всего тела вполне характеризуется движением какой-либо из его точек. Следовательно, уравнения движения точки Е являются одно­ временно и уравнениями поступательного движения тела.

Часто даже в тех случаях, когда движущееся тело не является твердым, пренебрегают движением некоторых его частей по отноше­ нию к другим частям и рассматривают движение системы как по-

ступательное движение абсолютно твердого тела. Например, движение поезда иногда принимают за поступательное, пренебрегая вращением колес, движениями частей машины и т. п.

 

 

 

 

 

Скорости точек поступательно движущегося

Если тело

движется

посту­

тела.

Чтобы определить проекции скоро- -

пательно,

то

все

его

точки

сти

произвольной

точки К

поступательно

имеют одинаковые

скорости

движущегося тела на неподвижные оси

 

 

 

 

 

координат, продифференцируем по времени

уравнения

(79),

помня,

что хк,

ук

и zK

постоянны.

Найдем

 

 

 

 

VKX =

VEX,

vKy

=

vEy,

vKz

= vEz.

(80)

Отсюда следует, что равны и полные скорости (64), и направляющие косинусы (62),иными словами,что равны векторы скоростей точек£ иК'-

 

vK

= vE.

(80')

Поскольку эти точки

взяты

произвольно, доказанное

относится

к любым точкам тела, а

потому

во всякое мгновение скорости всех

точек поступательно движущегося тела одинаковы.

Одинаковость скоростей не следует понимать как их постоянство, как неизменяемость во времени. Если тело движется поступательно,

то в данное мгновение скорости всех

 

 

 

точек тела одинаковы; с течением же

 

 

 

времени скорости могут измениться. Но

 

 

 

если изменится

скорость

одной

точки,

 

 

 

то на столько же изменятся скорости

 

 

 

всех других точек тела, и они опять-таки

 

 

 

останутся одинаковыми.

 

 

 

 

 

Одинаковость

скоростей всех

точек

 

 

 

тела — необходимый, но

недостаточный

Рис. 100

 

 

признак поступательного движения тела.

 

 

 

Может оказаться, что в какое-либо мгновение

скорости

всех

точек

тела одинаковы,

но в следующее

мгновение они

различны.

Так,

нап­

ример, движение шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма не

является поступательным, но при некоторых

положениях

механиз­

ма (рис.

100) скорости всех его

точек

одинаковы1 .

 

 

 

 

 

 

Ускорения

точек поступательно

движуще­

Если тело

движется

посту­

гося

тела.

Продифференцировав

по

вре­

пательно,

то все его

точки

мени

(80),

найдем

 

 

 

имеют

одинаковые ускорения

 

 

-аЕх,

что

аКу~аЕу, аКг=а

Ez>

(81)

рений

обеих точек:

откуда следует,

равны векторы уско-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ак^ав.

 

 

 

 

(8 Г)

Траектории точек /Си Е одинаковы и одинаково расположены, а по­

тому к написанным равенствам

надо

присоединить еще следующие:

 

 

 

O-KT

= CIET

И а^ы

=aEN.

 

 

 

1 Иногда в подобных случаях говорят,

что тело находится в «мгновенно

поступательном» движении. Такое выражение нельзя признать удачным, так

как

всякое движение происходит во времени.

 

 

 

 

 

163

 

6*

 

 

 

 

 

 

 

Во всякое мгновение ускорения всех точек поступательно дви­ жущегося тела одинаковы. В этой теореме, как и в предыдущей, оди­ наковость не надо понимать как неизменяемость с течением времени.

§ 26. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вращательное движение. Как было пока­

Вращением вокруг неподвиж-

 

зано,

для

определения

движения твердого

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

г

 

ной оси называют

движение

т

е л а

Достаточно

определить движение трех

твердого

 

тела,

при

котором

 

его

точек,

не лежащих

на одной

прямой,

его точки описывают окруж-

Пусть

во-

время

движения

тела

две

его

ности

с

центрами

народной

х

о ч к

и

о

и

О, остаются

неподвижными.

и той

же

 

неподвижной

пря-

 

г-

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мой, перпендикулярной

к их

 

Т

о г

л а

Движение тела можно определить

 

плоскостям

 

 

 

 

движением

третьей

точки

К,

принадлежа­

с точками О и 0Х.

 

 

щей телу и не лежащей

на одной

прямой

Выберем эту

точку произвольно и, соединив все

три точки прямолинейными отрезками, получим

треугольник

ООгК.

Так

как

точки

О и Ох

неподвижны, то неподвижна и сторона

001

треугольника

00J{,

и

движение

точки

К,

а

также

и

всего

 

тела

определится

поворотом

плоскости

треугольника

OOj/C вокруг

 

пря­

мой

0 0 t

.

Точку

 

К

мы

выбрали

произвольно,

следовательно,

пово­

рачивается вокруг прямой 001

 

любая плоскость, проведенная в теле

через эту прямую. Такое движение тела называют

вращательным

движением, или,

 

коротко,

вращением, а неподвижную

прямую

 

00v

вокруг

которой

вращается

тело,

называют

осью

вращения.

 

 

 

Ось

вращения

может

проходить

и за

пределами тела. Так,

на­

пример,

 

Луна,

 

двигаясь

вокруг

Земли,

повернута

к

ней

всегда

одной стороной. Движение Луны по отношению к Земле можно назвать вращением. Ось вращения проходит за пределами Луны через центры круговых траекторий ее точек.

Если движение тела определять по движению его точек, то

вращение

вокруг оси можно определить как движение твердого

тела, при

котором все точки тела описывают окружности с центрами

на одной и той же неподвижной прямой, перпендикулярной к пло­

скостям

этих

 

окружностей, а ось вращения можно определить как

неподвижную

прямую, на которой расположены центры окружностей,

описываемых

точками

вращающегося

тела.

 

 

 

 

Вращательноедвижениетвер-

Уравнение

вращательного

движения. По-

С Т Р 0 И М 0 С Н 0 В Н У Ю

систему координат

хОуг,

дого

тела

определено, если

направив ось Oz по оси вращения тела

задан

как

функция времени

(рис. 101). Эта система неподвижная и не

угол,

на который

поворачи-

связана

с вращающимся телом.

Построим

щ \ Т ч е р ™ ь С Т ^ ї е 0 „ Х и я Д Я „

т е п е Р ь

ДРУГУЮ,

подвижную, систему ко-

какую-нибудь точку враща-

ординат

х Оу z ,

направив

ось

Oz

также

 

ющегося

тела:

 

по оси

ООх

вращения тела,

а

ось

Ох' —

 

ф = ф(0

 

на какую-либо точку К.г тела. Эта система

 

 

 

 

 

 

координат неизменно связана с телом и

поворачивается

вместе

с

ним относительно основной системы xOyz.

Угол,

на

который

поворачивается

плоскость, проходящая

через

ось вращения и какую-нибудь точку вращающегося тела, называют углом поворота и обозначают буквой ср. Так, если в начальное мгновение оси Ох' и Ох (см. рис. 101) совпадали, то углом пово­ рота мы назовем двугранный угол между неподвижной плоскостью xOz и подвижной плоскостью x'Oz' или

равный

ему

линейный

угол

хОх'.

 

 

со

 

Угол

ф можно

рассматривать

как

 

 

 

 

 

угловую координату тела, потому что

 

 

 

 

 

он

определяет

положение всего

вра­

 

 

 

 

 

щающегося

тела. Измеряется угол ср

 

 

 

 

 

в радианах1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем считать угол ср положи­

 

 

 

 

 

тельным, если он отсчитан от поло­

 

 

 

 

 

жительной оси Ох к положительной

 

 

 

 

 

оси Оу, т. е. против вращения часовой

 

 

 

 

•У

стрелки, если смотреть с положи­

 

 

р.—ТГУ,

 

 

 

тельного

направления оси

Oz.

При

 

 

 

отсчете

в

противоположную

сторону

 

 

 

 

 

будем

считать

угол

отрицательным.

 

 

 

 

 

 

Чтобы

определить вращение

тела,

 

 

 

и

 

надо знать угол поворота как не­

 

 

 

 

которую

непрерывную

однозначную

 

 

 

 

 

функцию

времени:

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 101

 

 

 

 

 

 

 

Ф = Ф(*).

 

 

(82)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (82) является уравнением вращательного движения

твердого тела вокруг неподвижной оси.

 

 

 

 

 

 

Всякая

 

плоскость OOa/C,

проведенная

через ось вращения

и ка­

кую-либо

точку

К

тела, поворачивается

за данное время на

такой

же

угол ф,

на

который за это же время повернулась плоскость

x'Oz'.

ЭТО следует

из

условия

неизменяемости

твердого

тела.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Угловая

скорость.

Угол поворота харак­

Угловая скорость выражается

теризует вращение тела только с геоме­

первой

производной

от

угла

трической

стороны.

Чтобы охарактеризо­

 

поворота

по

времени:

вать

вращение

тела

не только в простран­

 

 

 

 

 

dm

 

 

 

стве, но и во времени, возьмем отношение

 

 

 

"

-

 

і

 

 

 

изменения Дфугла поворота ко времени At,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в течение которого это изменение проис­

ходило,

называемое

средней

угловой

скоростью

тела:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д ф

 

 

 

 

(83')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пределом

отношения (83')

при 'At,

стремящимся

к нулю, является

первая

производная

от

угла поворота по времени. Она характери-

 

1

Напомним,

что радиан

— это центральный

угол, длина

дуги которого

равна

радиусу.

Один

радиан

приблизительно равен

57°17'44", 8.

В окружности

360°,

или

2л

радианов.

 

Измеряя

углы отношением дуги к радиусу, т. е. в радианах,

мы

выражаем

их отвлеченным числом.

 

 

 

 

 

 

зует изменение угла поворота в данное мгновение, т. е. характери­ зует вращение тела не только по отношению к окружающему про­ странству, но и во времени. Эта величина принята за пространст­ венно-временную меру вращения твердого тела вокруг оси и ее называют угловой скоростью тела:

Знак производной (83) указывает, в какую сторону поворачи­ вается тело вокруг оси Oz; если производная (83) положительна, то наблюдатель, смотрящий с положительной стороны оси Oz, видит

тело

вращающимся

против часовой стрелки, т. е. справа налево —

от положительного

направления оси Ох к положительному направ­

лению

оси

Оу; при

отрицательной производной (83) вращение тела

происходит

в обратном направлении.

Размерность угловой скорости равна размерности угла поворота, деленной на размерность времени. Но угол поворота является от­ влеченной величиной, и размерность его — единица. Следовательно, размерность угловой скорости обратна размерности времени.

 

 

 

 

[ с о ] = Т -

 

 

Чаще

всего

время измеряют

в

секундах *,

тогда единица угловой

скорости

сек'1.

 

 

 

характеризуют числом п оборотов,

Равномерное

вращение

иногда

совершаемых телом за единицу времени (обычно за минуту).

Найдем

соотношение

между

угловой скоростью со,

выраженной

в радианах

в

секунду,

и числом оборотов

в минуту.

Если тело

делает п оборотов в минуту, то оно поворачивается за каждую ми­

нуту на 2ля радианов, а за секунду—в 60 раз меньше,

следова­

тельно,

2лп

пп

 

 

<84>

 

со=="бо-= зТ7-

Формулу (84)

широко применяют в технической механике. При­

ближенно можно

считать

 

 

 

с о ^ ~ .

(84')

В формулах

(84) и (84') п

выражено в оборотах за

минуту,

а со—в радианах за секунду, как их большей частью и выражают.

Однако для

очень

медленно

вращающихся тел

число оборотов удоб­

нее считать

не за

минуту,

а

за другие единицы времени. Так, Земля

вращается

 

вокруг

своей

оси, делая 1 оборот

в

сутки.

Было бы

неудобно

считать,

что Земля

делает 2 4 ^ 6 0 ~ Г 4 І 0

0 0

° Р о т а

в минуту.

Угловую

скорость

Земли

следует подсчитывать

не

по формуле (84),

1 Иногда единицу угловой скорости записывают так: рад/сек. Такая запись рекомендована ГОСТ 9867, группа ТОЇ.

Смотрите также файлы