Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 271
Скачиваний: 2
а |
из тех соображений, что Земля делает один оборот (2л радианов) |
|||
за |
сутки, |
а в сутках |
86 400 сек, |
следовательно, |
|
|
со = 8g2"QQ = 0,0000727 рад/сек. |
||
|
Самые |
медленные |
вращения |
встречаются в звездном мире. Так, |
например, период обращения Солнца вокруг центра Галактики (Млечного пути) составляет 190 миллионов лет.
Наибольшая угловая скорость, полученная в технике, соответ ствует миллионам оборотов в минуту. С такой скоростью вращаются гироскопы Гюгенара—маленькие роторы, подвешенные без подшип ников в магнитном поле.
За одно и то же время все части твердого тела поворачиваются вокруг оси на один и тот же угол. Следовательно, угловая скорость является общей мерой вращения для всего тела, и в каждое мгно вение тело, вращающееся вокруг оси, имеет только одну угловую скорость.
Для тех случаев, когда тело совершает сложное движение, на пример вращается вокруг оси в то время, как эта ось поворачи вается, удобно изображать угловую скорость вектором, направленным вдоль оси вращения1 . Величина и положение вектора показывают величину угловой скорости и положение оси вращения. Но вектор угловой скорости, как и вектор момента силы относительно точки, отличается от прочих известных нашим читателям векторов (скорость точки, ускорение точки, радиус-вектор, сила и др.) тем, что, изо бражая его Стрелкой соответствующей длины, отложенной вдоль ОСИ • вращения, надо (вполне произвольно) условиться относительно на правления стрелки. В нашем курсе мы всюду пользуемся правой системой координат, поэтому установим и для вектора угловой скорости правило правого винта, т. е. будем направлять вектор угловой скорости вдоль оси вращения к той ее стороне, с которой вращение тела представляется происходящим против вращения часовой стрелки. Так, например, вектор угловой скорости земного шара, вращающегося с запада на восток, мы направим к северному полюсу: глядя с северного полюса, мы увидели бы Землю вращающейся
против |
часовой стрелки. |
Угловое |
ускорение. |
Изменение |
угловой |
|||||
|
|
|
|
|||||||
Угловое |
ускорение |
выра- |
скорости |
происходит |
с течением |
|
времени |
|||
жается |
первой |
производной |
и, |
вообще говоря, |
бывает |
различным |
||||
от угловой скорости |
по вре- |
в разные моменты времени. Пространст- |
||||||||
|
м е н и : |
|
|
венно-временную меру, характеризующую |
||||||
|
g _ d c o |
|
изменение |
угловой скорости |
тела в данное |
|||||
|
dt |
|
мгновение, |
называют |
угловым |
ускорением |
||||
|
|
|
|
тела. |
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
угловая |
скорость — векторная |
величина, |
вектором |
||||||
должно |
быть |
и угловое |
ускорение. |
Но при вращении |
тела |
вокруг |
||||
неподвижной |
оси |
мы обычно |
рассматриваем угловую |
скорость как |
||||||
1 Угловая скорость действительно имеет векторный характер. Как показал еще Кориолис, угловые скорости складываются по правилам геометрического сложения.
скаляр, |
и |
потому здесь |
нас могут интересовать |
только величина |
|
и знак |
углового ускорения. |
на Аи> в |
|
||
Пусть величина угловой скорости изменилась |
течение |
||||
промежутка |
времени At. |
Предел отношения |
при А*, |
стремя |
|
щемся к нулю, выражает угловое ускорение тела и обозначается
греческой буквой |
є |
(эпсилон): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(И) |
или, принимая во внимание равенство (83), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Следовательно, угловое ускорение выражается первой производ |
|||||||||||||||||||
ной |
от угловой |
скорости по времени, |
или, что то же, второй про |
||||||||||||||||
изводной от угла поворота по времени. Эта величина |
характеризует |
||||||||||||||||||
быстроту изменения угловой скорости тела, вращающегося |
вокруг |
||||||||||||||||||
неподвижной оси. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Размерность углового ускорения |
равна |
|
размерности угла |
поворо |
|||||||||||||||
та, деленной на квадрат размерности |
времени, |
т. е.. равна |
единице, |
||||||||||||||||
деленной на |
квадрат времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
[ в ] = Т " . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Чаще всего время измеряется в секундах, |
тогда |
единица |
угло |
||||||||||||||||
вого |
ускорения |
сек~2, |
или по |
записи, |
рекомендованной |
ГОСТом, |
|||||||||||||
рад/сек2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если с течением времени абсолютная величина угловой скорости |
|||||||||||||||||||
тела |
увеличивается, |
то |
производная ^~ имеет тот же знак, |
что и ш, |
|||||||||||||||
и вращение |
тела |
ускоренное. Если |
же |
величина |
угловой |
скоро- |
|||||||||||||
сти с течением времени уменьшается, то |
производная |
^ - |
и |
угло |
|||||||||||||||
вая |
скорость |
имеют |
различные знаки — вращениг тела |
|
замедленное. |
||||||||||||||
Каждое из этих |
вращений, |
и ускоренног |
|
и замедленное, называют |
|||||||||||||||
переменным |
вращением. |
Задача № |
60. |
Унифиляр |
(тело, |
подвешенное |
на |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
вертикальном |
стержне) |
(рис. |
102) |
закрутили |
на |
угол |
|||||||||
|
|
|
|
фо |
=— рад от равновесного положения |
и затем (в мгно |
|||||||||||||
|
|
|
|
вение |
г = 0) |
предоставили самому |
себе, |
и он стал |
вра |
||||||||||
|
|
|
|
щаться |
согласно |
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф = фо cos ~ |
t. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Определить |
угловую |
скорость |
(в рад/сек) |
и |
угловое |
|||||||||
|
|
|
|
ускорение (в |
рад/сек?) |
через |
каждые |
3 |
сек |
от |
начала |
||||||||
|
|
|
У движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Решение. |
Дифференцируя |
уравнение |
движения, по |
|||||||||||
|
|
|
|
лучим |
выражение угловой |
скорости |
унифиляра: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(0 = |
|
- ~ sin і |
|
і = - 0 , 1 8 2 |
s i n - і / . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
54 |
9 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Дифференцируя |
вторично |
найдем, |
угловое |
ускоре |
||||||||||
|
|
|
|
ние |
унифиляра: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рис. 102 |
|
|
|
8 = |
— -т^тг cos-к- t = — 0,064 COS — t. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
486 |
9 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||
Чтобы определить угол поворота, угловую скорость и угловое ускорение в заданные мгновения, надо в уравнение движения тела и в полученные соотно
шения подставить / = |
3, |
6, 9, ... |
и т. |
д. секунд. |
Анализируя полученные данные |
||
относительно со и Е, |
убедимся, |
что |
унифиляр |
совершает крутильные |
колебания |
||
с периодом 18 сек. |
|
|
|
|
|
|
|
Равномерное и равнопеременное вращения. Если угловая ско |
|||||||
рость |
со постоянна, |
|
то производная ^ 1 = 0 , и вращение |
равномер |
|||
ное. |
Таким образом, |
при равномерном вращении тела угловое уско |
|||||
рение равно нулю,- угловая скорость постоянна, а угол поворота
изменяется пропорционально |
времени: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
е = 0, |
со = const, ф = ф0 + |
со/, |
|
|
(86) |
||||
где |
ср0 — начальное |
значение |
угла. |
|
|
|
|
|
|||||
Формулы (86) справедливы только для равномерного вращения |
|||||||||||||
тела |
и |
неприменимы |
при других движениях. |
|
|
|
|||||||
Из различных переменных вращений тела в задачах наиболее |
|||||||||||||
часто встречается |
равнопеременное вращение. |
Равнопеременным вра |
|||||||||||
щением |
называют |
такое |
вращение |
твердого |
тела |
вокруг |
оси, при |
||||||
котором угловое ускорение остается |
постоянным: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 = |
COriSt. |
|
|
|
|
|
Интегрируя |
это уравнение, |
находим |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
со = et -f- Сх . |
|
|
|
|
|||
Постоянную |
интегрирования |
Ct |
находим |
из начальных |
данных. |
||||||||
В начальное мгновение (при t = 0) величина |
угловой |
скорости была |
|||||||||||
со0. Подставляя |
эти |
частные |
значения аргумента |
t |
и функции со, |
||||||||
находим |
постоянную |
Сх : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом,
со = ^ = со0 + е ^ .
Интегрируя это равенство, получаем
Ф = со0 ^+^- + Сг .
Постоянную С2 находим из начальных данных. Если при начале вращения тело было повернуто на некоторый угол ф0 , то, подстав-
ляя |
ср0 вместо |
ф и 0 |
вместо |
t, найдем |
С2 |
= ср0. |
Для |
равноперемен |
||||||
ного |
вращения |
тела |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
є = |
const, |
|
|
~\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со = |
со0-f-є/, |
|
| |
|
|
|
|
|
Формулы (87) справедливы только для |
равнопеременного |
враще |
||||||||||||
ния |
твердого |
тела |
и неприменимы |
при других |
движениях. |
|
|
|||||||
Задача |
№ 61. |
Барабан суперцентрифуги делает при установившемся |
движении |
|||||||||||
30 ООО об/мин, |
а после |
прекращения подачи энергии (на выбеге) вращается |
равно- |
|||||||||||
замедленно |
с угловым |
ускорением е = —Jtl/сек 2 . Определить время выбега |
(время |
|||||||||||
до остановки) и угол поворота барабана за это время. |
|
|
|
|
||||||||||
Решение. |
В мгновение прекращения |
подачи |
энергии |
угловая |
скорость |
бара |
||||||||
бана |
была |
|
|
|
|
|
яЗОООО . . . . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
со0 =—до |
—=1000 я . |
|
|
|
|
|||
С этого мгновения барабан вращается равнозамедленно по (87):
ш= 1000л — nt.
Вмгновение остановки барабана угловая скорость его равна нулю. Подстав
ляя это значение угловой скорости, находим время выбега: t— 1000 сек = 16 мин 40 сек.
За это время барабан повернется на угол
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зт -10ОО'2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ф = |
ш 0 / + ^ - = |
1 ОООя • 1000 - |
i U ^ p i = |
500 000 я . |
|
|
|
|||||||
Чтобы |
|
по |
углу |
поворота |
определить число |
|
оборотов, |
надо поделить |
этот |
||||||||
угол (выраженный |
в |
радианах) |
на 2л—число |
радианов |
в одном обороте. |
|
|
||||||||||
О т в е т . |
/ = 1 6 |
мин 40 сек; ф = 250 000 об. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача № 62. В инерционном аккумуляторе |
Уфимцева |
(1918 г.) |
для |
|
ветро |
||||||||||||
электрических |
станций стальной диск |
вращается |
в |
глубоком |
вакууме, |
|
делая |
||||||||||
20 000 об/мин. |
Предоставленный |
самому |
себе, |
он |
|
продолжает |
вращаться |
в |
тече |
||||||||
ние двух недель. Определить є диска, считая вращение |
равнозамедленным. |
|
|||||||||||||||
Решение. |
Определим начальную угловую |
скорость |
диска |
и |
время |
(2 нед.) до |
|||||||||||
остановки |
в |
секундах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
лп |
|
я20 000 |
, |
. , |
|
„ |
п п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
co0 = - g - g - = — — |
и / = 2-7-86 400 сек. |
|
|
|
|
|||||||
Ответ |
получим, |
|
разделив |
щ на /. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ 27. ТРАЕКТОРИИ, |
СКОРОСТИ |
И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК |
|
|
|
||||||||||||
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Точки вращающегося тела, |
|
Траектории |
точек |
вращающегося |
|
тела. |
|||||||||||
ЕТаГаллеТьнонО Д ос„И Та" |
|
В^епиеи |
|
тела |
называют |
движение, |
при |
||||||||||
щения, совершают |
|
одинако- |
|
котором |
точки |
|
тела |
описывают |
окружно- |
||||||||
вые движения |
|
сти с центром |
на оси вращения. |
Следова |
|||||||||||||
тельно, по самому определению вращательного |
движения |
траек |
|||||||||||||||
тории точек |
тела — окружности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если |
тело мысленно |
пересечь |
какой-либо |
плоскостью, |
перпеиди- |
||||||||||||
