Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

ном в какой-либо из точек к этой

плоскости, совершенно одинаковы, а

потому

и движение

точек всего

тела

может быть полностью охарактеризо­

к

вано движением точек, лежащих в этой

плоскости.

У V

Сохраним и в этом параграфе

рас­

положение осей координат (см. рис.

101), при котором оси Ог и Ог' непод­

вижной и подвижной систем совпада­

ют с осью вращения

тела, а плоскость

Рис. 103

х'Оу'

находится в

плоскости

хОу.

с ним. Координаты той же точки в основной системе обозначим х,

у

иг.

Координаты

х и у

точки

К связаны с координатами х'

и

у'

той же точки

формулами,

известными

из аналитической

геометрии

и понятными

из

чертежа

(рис.

103):

% = x'coscp—г/'sincp,

(88')

у = х' sin ф + у'

cos ф.

(88")1

Если тело вращается, то с течением времени

меняется

угол

ф,

являющийся некоторой функцией (71) от времени

t, а следователь­

но, меняются и координаты х и у точки К в

основной системе

отсчета. Координата же г при направлении оси Ог вдоль

оси

вра­

щения не изменяется и

остается равной г'\

г = г'.

(88"')

Аналогично можно определить подвижные координаты по непод­

вижным и углу

ф:

х' = л;созф +

г/зіпф;

y' — ycosq>—xs'mq;

г' = г.

° . = л

=

0 -

Формулы (88) впервые даны Эйлером

в

1748 г. (см. задачу № 3 7 на стр. 133).

и = К,ОХ(й = сох г .

(90')

ра (шкива, барабана, махового колеса, вала

и т. п.), вращающегося

вокруг

своей оси, называют

окружной

скоростью

тела.

Окружная скорость

равна

произведению со

^

на радиус

R тела:

VOKV

=

«>#•

Задача № 63. Определить

вращательную скорость

точек

земной

поверхности на экваторе

и на широте Москвы

(55°45')

при вращении Земли вокруг оси (рис. 104). Средний

радиус

Земли

6371

км и cos 55°45' = 0,5628.

Решение.

Вращаясь

вокруг своей

оси, Земля совершает

один

оборот

(2я рад) за

сутки

(86 400 сек), и угловая

ско­

Экватор

рость

Земли

со = 727-10~7

рад/сек.

Умножая

угловую

ско­

рость на радиус

Земли, выраженный в метрах

(6371 • 103 ), най­

дем вращательную

скорость точек Земли

на

экваторе:

v = соР = 727-6371 - 10 - 4 = 463 м/сек.

р и

с , Ю4

Для определения вращательной скорости точек в Москве

надо

умножить

со

Земли

на

расстояние

г

от

Москвы

до

земной

оси:

v = 727 • 10 - 7

• 0,5628 • 6371 • 103

=

261

м/сек.

О т в е т . Вращательная скорость точек на экваторе 463 м/сек, в Москве 261 м/сек.

Она направлена против вращения часовой

стрелки, если смотреть с северного

полюса.

Задача

№

64.

Шкив

динамомашины

7?! = 1 5

см (рис. 105) вращается

посредством

бесконечного

ремня

от паровой

машины со

шкивом

/?2

= 60 см,

делающим

100

об/мин.

Определить

угловую

скорость

шкива

динамомашины.

Решение.

Определим окружную

скорость

Рис.

105

шкива

паровой

машины:

у о к р - nnR2_

3,14-100-60

= 628

см/сек.

30

30

Такова же величина скорости частиц

ремня,

а следовательно,

и окружная

скорость шкива

динамомашины. Его угловая

скорость

с о х

=

628

= 41,87

рад/сек.

= 15

О т в е т . ш 1 = 41,87 рад/сек,

я = 400

об/мин.

1

Подробнее об этом

см. § 28.

или

= er.

(92)

aT

Величина полного ускорения

Зная

касательное

и центростремительное

ускорения,

определим по формуле (75)

точки

тела, вращающегося

величину

полного

ускорения

этой точки:

вокруг

оси, выражается фор­

мулой

я =

+Y

а*Т + а%= + / ( e r ) »

+ (©V)»,

или

а= + r j / V

+ co*.

(94)

ах=—*уе—vyio,

а,у = xs-f-vx(o, аг = 0.

у

хе-

а, = 0.