Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл (22,35Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 273

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Разделив проекции на модуль касательного ускорения, найдем направляющие косинусы касательного ускорения:

c o s „

=21*.

_0L =

_0,9130, cos p r

^ = — = + 0,4080.

ат

г&

ат

гє

Мы

видим, что направляющие косинусы касательного ускорения

тождествен

ны

с направляющими

косинусами

скорости.

Напомним, что знак направляющего косинуса

определяется

знаком

числителя.

Если ш и в имеют одинаковые

знаки (как в данной

задаче),

то

тело

вращается

ускоренно и направление касательных ускорений

его точек совпадает с направле

нием их

скоростей, если

же знаки

со и е различны,

то вращение

замедленное и

векторы

касательных

ускорений

и скоростей

точек

направлены в

противополож

ные

стороны.

Величину

центростремительного ускорения определим

по (93):

a 7 V =co 2 r = 4 M 0 =

160

см/сек2

и по (95') — его проекции на оси координат:

анх=	— лгсо2 =	—65,280	см/сек2,
а д / у = — у с а 2 —		— 146,080	см/сек2.
Проекции нормального	ускорения	точки на	оси координат имеют знаки, об

ратные знаку

соответствующей

координаты

точки. В

самом

деле, а^х

отрицатель

на, если абсцисса х положительна, и положительна,

если

отрицательна

(анало

гично и аму).

Следовательно,

центростремительное

ускорение всегда

направлено

к началу координат, т. е. к центру круговой траектории точки.

Разделив

проекции

центростремительного

ускорения

на его модуль,

найдем

направляющие

косинусы

центростремительного

ускорения:

cos ^

= ^ =

- ^

0,4080,

Сдг

ГО)-

cos Р

„ = ^ = - ^ = - 0

, 9

3 0 .

го)2

Так как касательное ускорение перпендикулярно к центростремительному, то (по условию перпендикулярности, известному из аналитической геометрии) сумма произведений соответствующих направляющих косинусов должна равняться нулю. Действительно,

cosarCosaTv-l- cos P r cos p V = ( — 0,9130) ( —0,4080) + ( + 0,4080) (—0,9130) = 0 .

Определим теперь тангенс угла между направлением полного и нормального ускорений:

| I

= ^

L =

J L

0,0250.

a,V

160

Пользуясь таблицами тригонометрических

функций, определим,

что угол

ра

вен

г г б ' о ' .

О т в е т .

1) х = +4,080

см,

(/ = +9,130

см;

и = 40 см/сек,

3 ) c o s a „

= —0,9130,

cos p v

= +0,4080;

4) ат = 4 см/сек2,

aN=

160 см/сек2;

5) c o s a T =

==—0,9130,

cos PT = +0,4080,

cos « ^ = — 0 , 4 0 8 0 ,

cos p \ v = — 0,9130;

6) угол

ра

вен

1°26'0".

Задача № 66. При сборке ротора молотковой дробилки была допущена неточ

ность, в результате

которой

центр

тяжести

ротора отстоит от оси вращения

на

расстоянии

1 мм. Определить

центростремительное

ускорение центра тяжести

ро

тора,

если п = 3000

об/мин.

Решение.

По формулам (84) и (93)

имеем

Лґі

w = = - 3 Q = 1 0 0 n сек-1,

ам=ы2г=

1002 л2 -1 мм/сек2 — 98,6

м/сек2.

О т в е т .

ajv=98,6 м/сек2

I0g.

Сферическим называют такое движение твердого тела, при котором точки тела описы вают траектории, лежащие на сферах с одним и тем же

неподвижным центром

Аналогия

формул. Формулы

кинематики

Зависимости между углом по

вращательного движения

аналогичны соот

ворота, угловой

скоростью,

ветствующим

формулам

кинематики

точки

угловым ускорением и време

и могут

быть

из них

получены,

если за

нем

аналогичны

зависимо

менить

расстояние

углом

поворота ф,

стям между расстоянием, ско

скорость

v—угловой

скоростью

и ка

ростью, касательным ускоре

нием и временем

сательное

ускорение

ат — угловым

уско

рением

е. Это правило является

мнемони-

ческим1 , оно непригодно

для вывода формул, но может облегчить

их

запоминание.

Ниже

приведен

ряд формул,

получающихся

одна

из

другой

такой

заменой

Д в и ж е н и е

точки

Вращение

точки

Уравнение движения

по траектории

Уравнение

вращения

вокруг оси

s =

s(t)

ф =

ф ( 0

Средняя

скорость

точки

Средняя угловая

скорость

тела

Величина

скорости точки

Величина

угловой

скорости

тела

- 3

= dt

Величина

касательного

ускорения

Величина

углового

ускорения

d2s

da> _d2q>

aT~"dt=dt*

S =

~dT~~dT*

Равномерное

движение

точки

Равномерное вращение тела

ат = 0,

y = const,

s = s0-j-vt

е = 0,

о =

const,

ф = ф 0 + Ш<

Равнопеременное

движение

Равнопеременное

вращение

аг

= const,

и =

aTt,

є = const,

со =

со0 + є<,

s = s0 + v0t - f ^ p

et2

Ф = фо +

° у + Y

§ 28.* СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Вращение тела вокруг точки. Пусть во время движения тела одна из его точек остается неподвижной. Тогда всякая дру гая точка тела может двигаться только по поверхности сферы, описанной вокруг не подвижной точки радиусом, равным рас стоянию этой точки от неподвижной. 'Такое

движение называют сферическим движением тела, или вращением вокруг неподвижной точки.

1 Мнемоника — совокупность приемов, имеющих целью облегчить запоминание различных формул, сведений, фактов и т. п.

Углы Эйлера. Чтобы определить

положение

Положение

тела, имеющего

тела,

имеющего

неподвижную

точку,

по-

неподвижную

точку,

можно

С Т роим

две

системы

координатных

осей

определить

тремя независи-

мыми углами

с общим

началом в этой точке и:

основную

хОуг

и подвижную х'Оу'г',

неизменно

свя

занную с движущимся

телом (рис. 107). Три оси подвижной системы

составляют

углов с

тремя осями основной, но для определения

положения

тела,

имеющего неподвижную

точку,

нет

необходимости

знать

все

направляющих

косинусов, так как они свя

заны известными

из

аналити

ческой геометрии

соотношени

ями, и

независимых

величин

остается только

три.

Положение

тела,

имеюще

го неподвижную точку, можно

определить

тремя

независи

мыми углами. Эти углы обыч

но

называют

эйлеровыми.1

Ознакомимся с углами, пред

ложенными

Эйлером и приме

няемыми в астрономии, в ги-

роскопии и во многих других

науках.

Линией

узлов называют ли

нию ON пересечения

плоско

стей хОу

и х'Оу'

основной и подвижной систем. Первый угол—угол

прецессии

oj) — лежит в плоскости

хОу

между

неподвижной

осью Ох

и линией

узлов.

Его

измеряют от оси Ох к оси ON

против

хода

часов, если смотреть с оси Ог.

Второй — угол

собственного

вращения ц> — лежит в плоскости

х'Оу'

и его отмеривают

от линии узлов до оси Ох' против хода часовой

стрелки,

если

смотреть

оси

Ог'.

Третий — угол нутации

т ) — лежит

в плоскости

zOz'

и его

отсчитывают

от

оси

Ог

оси

Ог' против

хода часов, если смотреть с положительного направления линии узлов, а за положительное направление линии узлов принимают

такое,	глядя с которого т} < 180°, если отмеривать против хода ча
совой	стрелки.

Во время движения тела эти углы изменяются. Чтобы задать уравнение сферического движения, надо представить их как неко торые непрерывные однозначные функции времени:

т|)=»г|з(*); Ф = Ф ( * ) ; Ф = 0 ( / ) .

(96)

1 Предложены Эйлером (1776 г.).

178

Предельное положение такой оси, вокруг которой следует повернуть твердое тело на бесконечно малый угол, что бы перевести его из одного положения в другое, беско нечно близкое первому, на зывают мгновенной осью

вращения

Мгновенная ось вращения. Положение тела в пространстве можно определить различ ными способами. В частности, для этого можно задать положение трех его точек. Применим этот способ для изучения сфе рического движения тела. За одну из этих точек примем неподвижную точку О (рис. 108, а), а две другие, А и В, выберем произвольно, но с условием, чтобы их

скорости не были параллельны между собой.

Рассмотрим сначала	точку А. Проведем прямую через точку А
и неподвижную точку	О. Согласно основной теореме кинематики

твердого тела (77) проекции скоростей точек Л и О на АО должны

быть равны. Но скорость точки О,
а	потому и ее проекция равны						ну
лю. Скорость точки А нулю не
равна, но проекция ее на АО должна
равняться			нулю,		следовательно,
скорость точки А перпендикулярна
к АО. Если мы проведем через точ
ки Л и О плоскость (рис. 108, б)
перпендикулярно					к скорости		точ
ки	Л,	то	по	той	же	теореме	ско
рости точек этой плоскости дол
жны быть перпендикулярны к пря
мым, соединяющим эти точки с не
подвижной точкой О, т . е . перпен
дикулярны			плоскости.
	Рассмотрим теперь точку В и
повторим те же рассуждения. Если
мы проведем через точки В и О пло
скость В перпендикулярно к ско
рости		точки		В,	то	скорости	то
чек этой плоскости должны быть								Р и с 108
перпендикулярны					к	плоскости В.
Точки,		лежащие			на	линии	ООг

пересечения плоскостей А я В, должны иметь скорости, перпенди кулярные сразу к обеим пересекающимся плоскостям, что невозмож но. Следовательно, скорости точек этой прямой OOt в данное мгно вение равны нулю. Мы пришли к убеждению, что при движении тела с одной неподвижной точкой через эту точку всегда можно провести ось, скорости точек которой в данное мгновение равны нулю. Эту ось называют мгновенной осью вращения1.

Если в движущемся теле существует ось, скорости точек которой в данное мгновение равны нулю, то скорости других его точек дол жны быть пропорциональны их расстояниям от оси. Таким образом,

1 Открытие мгновенной оси вращения в теле, имеющем одну неподвижную точку, сделали Д'Аламбер (1749 г.) и Эйлер (1750 г.)

Смотрите также файлы

Гольденберг Л.М. Импульсные и цифровые устройства учебник.pdf

Гриб В.К. Комплексная механизация прудового рыбоводства.pdf

Давыдов Л.К. Общая гидрология учебник.pdf

Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

Дудич И.И. Самодельные радиоэлектронные устройства.pdf

Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно