Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 274
Скачиваний: 2
картина распределения скоростей в теле с одной неподвижной точ кой оказалась на данное мгновение такой же, как и в теле, вра щающемся вокруг неподвижной оси.
При изучении вращения тела вокруг неподвижной оси мы усло вились о направлении вектора угловой скорости. То же условие сохраняется на сферическое движение, где вектор угловой скоро-
—>- |
|
|
|
|
точки О по мгновенной оси |
|
||||||
сти со направлен от неподвижной |
враще |
|||||||||||
ния в такую сторону, |
чтобы |
вращение |
тела |
представлялось |
проис |
|||||||
ходящим против хода |
часов, если смотреть с конца вектора со, к точ |
|||||||||||
|
|
ке |
О. Этот вектор можно переносить |
вдоль |
||||||||
|
|
оси вращения, но нельзя перемещать парал |
||||||||||
|
|
лельно оси. Глубокое отличие вектора угло |
||||||||||
|
|
вой |
скорости |
при |
сферическом |
движении |
||||||
|
|
заключается в том, что он постоянно ме |
||||||||||
|
|
няет |
свое |
направление. |
|
|
|
|||||
|
|
|
В |
связи с этим |
другое |
толкование при |
||||||
|
|
нимает |
и |
угловое |
ускорение. |
Изображая |
||||||
|
|
угловое ускорение тела при вращении во |
||||||||||
|
|
круг оси вектором, мы направляли |
его в |
|||||||||
|
|
ту или иную сторону по вектору угловой |
||||||||||
|
|
скорости. При вращении тела относительно |
||||||||||
|
|
неподвижной |
точки |
дело |
обстоит |
иначе: |
||||||
Рис. 10Э |
направление |
угловой |
скорости |
меняется. |
||||||||
|
|
Мы будем называть вектором углового уско |
||||||||||
рения тела |
вектор, характеризующий изменение в данное |
мгновение |
||||||||||
величины и |
направления угловой |
скорости тела- |
|
|
|
|||||||
|
|
|
, . |
|
Д с о |
|
d(o |
|
|
|
|
(97) |
|
|
" • Д / - 0 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
A t |
d t |
|
|
|
|
|
||||
Направление этого вектора, вообще говоря, не совпадает с мгно венной осью вращения. Пусть, например, угловая скорость тела, имеющего неподвижную точку О (рис. 109) и не показанного на
чертеже, |
в данное |
мгновение |
равна со, а |
через малый |
промежуток |
|||||
времени |
станет co1 =co-f |
Асо. |
Разделив Асо на |
At, |
мы |
получим |
||||
вектор среднего углового |
ускорения тела. Если мы будем уменьшать |
|||||||||
промежуток времени At, |
оставляя |
неизменным его начало, то вектор |
||||||||
среднего |
углового |
ускорения |
тела |
будет |
стремиться к |
своему |
пре |
|||
дельному |
значению — вектору |
углового |
ускорения |
тела. |
Этот |
век |
||||
тор е проходит через неподвижную точку О и параллелен касатель-
ной к годографу вектора со.
Аксоиды при сферическом движении. По ложение мгновенной оси в теле, имеющем одну неподвижную точку, непрерывно ме няется. Но в каждое мгновение ось имеет вполне определенное положение и всегда
проходит через неподвижную точку О. Геометрическое место мгно-
венных осей вращения, проведенных в теле, представляет собой некоторую коническую поверхность и называется подвижным аксоидом. Положение мгновенной оси вращения можно отметить и отно сительно неподвижных координат. Их геометрическое место отно сительно неподвижных координат, называемое неподвижным аксоидом, также является конической поверхностью с вершиной в той же неподвижной точке О. Оба конуса соприкасаются по мгновенной оси вращения. Сферическое движение тела можно представить как каче ние без скольжения подвижного аксоида по неподвижному1 .
Зависимость между проекци ями скоростей точек тела, их координатами и проекция ми угловой скорости выра жается формулами Эйлера
Формулы Эйлера. Как было только что показано, скорость каждой точки К тела, имеющего неподвижную точку О, перпен дикулярна к прямой КО и пропорциональ на расстоянию КО sin а точки К от мгно венной оси вращения (рис. ПО), т . е .
vk = <£>К0 sin а.
Таким образом, при сферическом движении, как и при враща тельном, скорость всякой точки тела можно рассматривать как мо мент вектора угловой скорости тела отно
сительно этой точки. Проведем из какой- |
|
^ |
h |
4 и |
|||||||||||
либо точки К тела вектор КО в |
неподвиж |
|
|
|
|
||||||||||
ную |
точку О, |
принятую |
нами |
|
за |
начало |
|
|
|
|
|||||
отсчета. Этот |
вектор |
равен |
по |
модулю, |
|
|
|
|
|||||||
но направлен противоположно |
радиусу-век |
|
|
|
|
||||||||||
тору |
г—О К точки К относительно |
начала |
|
|
|
|
|||||||||
отсчета О. Момент вектора угловой скорости |
|
|
|
|
|||||||||||
относительно точки К представим вектор |
|
Р и с по |
|
||||||||||||
ным произведением и запишем в виде |
|
|
|||||||||||||
определителя |
третьего порядка, |
как |
это |
|
|
|
|
||||||||
мы делали (см. |
17 и 17') |
в |
статике |
при определении момента |
силы |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
j |
k |
|
|
|
|
|
v = |
КО х |
со = |
со х |
г •• |
со* |
соу |
сог |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
у |
г |
|
|
Раскладывая |
этот |
определитель |
по |
элементам первой |
строки: |
||||||||||
|
v = |
і |
(<oyz — агу) |
+ |
|
/ (ыгх—a>xz) |
+ |
k (аху—(йух); |
• |
|
|||||
раскладывая скорость точки по осям координат:
v = ivx + jvy + kvz
1 Такая геометрическая интерпретация предложена Пуансо (1834 г.).
181
и сравнивая оба равенства, мы можем выразить проекции скорости точки через проекции угловой скорости тела и координаты точки:
• (£>,л |
Х- |
у |
2 |
(98) |
1 |
"у — *»г |
|
|
Эти соотношения, очень напоминающие знакомые нам выражения (23) момента силы относительно оси, отличаются от них не только тем, что вектор силы заменен вектором угловой скорости, но и знаками. Круговой заменой букв в любой из трех формул (98) можно полу чить две остальные. Эти формулы имеют применение при определе нии проекций скоростей точек тела, совершающего сферическое
движение |
|
или |
вращение |
вокруг |
неподвижной оси. В частном |
слу |
|||||||||
чае, |
если |
|
тело |
вращается |
вокруг |
оси Oz, то проекции угловой |
ско |
||||||||
рости wx |
= K>y==0, а |
сог |
= со, |
мы получаем |
формулы (89). |
|
|||||||||
|
Задача |
|
№ 67 (№ |
19.10,603 М). Тело |
движется |
вокруг неподвижной точки — |
|||||||||
начала координат. В |
некоторое мгновение |
|
угловая |
скорость |
его изображается |
||||||||||
вектором, |
проекции |
которого |
на |
координатные |
оси равны |
У З, У 5, |
У 7. |
||||||||
Найти скорость точки |
К |
тела, определяемой координатами У~\2, У20, |
У28. |
||||||||||||
|
Решение. |
Подставляя |
данные в формулы |
Эйлера, |
получим |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
а* = 0. |
vy = 0, |
у г = 0. |
|
|
|
||||
|
О т в е т . |
ii = 0. В |
этот |
момент времени |
мгновенная ось проходит через |
точки |
|||||||||
О и |
К. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
|
№ 68. |
(№ |
12. О. В. Г о л у б е в а. Теоретическая |
механика. Физмат- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
гиз, |
|
1961). Ось OA мельничного |
бегуна |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. |
111) вращается равномерно вокруг вер |
||||||
Рис.
дящей через О, с постоянной
тикальной ОСИ С уГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ COj.
Длина оси ОА=1, радиус бегуна равен г. Пренебрегая скольжением бегуна, определить вектор его угловой скорости.
Решение. Движение бегуна можно рас сматривать как вращение около неподвижной точки О. Бегун катится без скольжения, поэтому скорость точки С соприкосновения его с горизонтальной плоскостью равна нулю,
и, следовательно, |
в каждое мгновение |
ось, |
|
проходящая через точки О и С, есть |
мгно |
||
венная ось вращения. Центр бегуна (точка А) |
|||
движется |
вокруг |
вертикальной оси, прохо |
|
по величине |
скоростью |
|
|
VA =
Но точка А принадлежит бегуну, а потому ее скорость в то же время является вращательной скоростью вокруг мгновенной оси вращения ОС. Опуская из А пер пендикуляр на мгновенную ось, получаем
|
/г |
|
U4 = co/ sin а = со У /* + /•» ' |
где |
со — угловая скорость бегуна, а а —угол АОС. Из двух выражений vA нахо |
дим |
ответ. |
От в е т . СО = К»!
Формулы (98) даны Эйлером.
Ускорение всякой точки тела, совершающего сферическое движение, состоит из вра-
щательного и осестремительного ускорении
Чтобы |
К |
получить ускорение |
какой-либо |
||
Т О чки |
|
тела, |
находящегося в сфериче- |
||
|
|
Движении, |
, , |
т г |
|
с к о м |
|
продифференцируем по |
|||
времени |
вектор |
ЄЄ СКОрОСТИ |
V — СОХ Г. |
||
и ^ м е е |
м . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-*• |
dv |
da> |
-*- , |
* |
dr |
|
|
|
|
И ЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а—гхг |
+ |
ыхи. |
|
|
|
(99) |
||
|
Таким образом, ускорение каждой точки К тела, имеющего одну |
||||||||||||||
неподвижную |
точку |
О, состоит из векторной суммы двух |
ускорений: |
||||||||||||
вращательного |
ускорения |
а в р = гхг |
и |
осестремительного |
ускорения |
||||||||||
аос |
= сохо. В общем случае оба эти ускоре |
|
|
|
|
||||||||||
ния не перпендикулярны друг другу, что |
|
|
|
|
|||||||||||
необходимо учесть при их суммировании |
|
|
|
|
|||||||||||
(рис. 112, а). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
а = а в р |
+ ї с . |
|
|
(99') |
|
|
|
|
|||
|
Эту |
формулу |
называют |
формулой |
|
|
|
|
|||||||
Ривальса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Чтобы |
лучше |
уяснить |
чему |
равны' и |
|
|
|
|
||||||
как |
направлены |
эти ускорения, |
обратимся |
|
|
|
|
||||||||
к |
чертежу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Вращательное ускорение (рис. 112, б) |
|
|
|
|
||||||||||
выражается векторным произведением угло- |
|
р и с Ц2 |
|||||||||||||
вого |
ускорения |
є |
и |
радиуса |
вектора |
|
|
|
|
||||||
ОК — г- Следовательно, оно направлено |
перпендикулярно |
плоскости, |
|||||||||||||
образованной |
этими |
векторами, |
и |
по |
модулю |
равно |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
aB p ==ersin(er)=eA1 , |
|
|
(100) |
|||||
где ht—длина |
перпендикуляра, опущенного |
из точки |
К на прямую, |
||||||||||||
по |
|
которой |
направлено |
угловое ускорение є. |
Из |
формулы (100) |
|||||||||
в |
частности следует, |
что эта прямая |
обязательно должна |
проходить |
|||||||||||
через неподвижную точку О, потому что в противном случае точка О имела бы неравное нулю вращательное ускорение, т. е. стала бы подвижной.
Осестремительное ускорение по модулю равно
ao c = COD sin (coy),
но этот синус равен единице, так как векторы угловой и враща тельной скорости взаимно перпендикулярны. Модуль же вектора, вращательной скорости v = ah, где h—длина перпендикуляра, опу щенного из точки К на мгновенную ось вращения, а потому
йо с = /гсо2. |
(101) |
Направлено осестремительное ускорение перпендикулярно векторам угловой скорости тела и вращательной скорости точки К, т. е. по прямой h от точки К. к мгновенной оси вращения.
Задача № 69. Найти скорость и ускорение точки |
В конического катка, |
равно |
|
мерно |
катящегося без скольжения по горизонтальной |
конической кольцевой |
опоре |
(рис. |
113). Диаметр катка ВС = 30 см, СМ = 20 |
см, скорость центра |
катка |
і>Л=40 см/сек |
и направлена перпендикулярно |
плоскости |
чертежа на читателя. |
||||||||||||||
Решение. |
Мгновенная |
ось проходит |
через |
неподвижную точку |
О и точку С, |
||||||||||||
скорость которой в данное мгновение равна нулю, потому |
что каток катится |
без |
|||||||||||||||
скольжения. Вектор угловой |
скорости со направлен |
по мгновенной |
оси. Модуль |
||||||||||||||
его определим, разделив скорость точки А на |
расстояние АК от мгновенной оси. |
||||||||||||||||
Из треугольника О АС |
|
находим ОС2 — ОАг-\-АС'г |
= 625. |
Тогда |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ОС = |
25 см, |
sina = : 7 = = 0,6, |
c o s a = ^ |
= |
0,8. |
|
|
|
|
||||||
Имея |
эти данные, |
находим |
угловую |
скорость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
40 |
|
сек-1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'20-0,6 = |
3,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы |
найти скорость |
точки В, надо |
угловую скорость помножить на расстоя- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ние |
точки В |
|
от мгновенной |
оси |
/г = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= OB sin2a =25-2-0,6-0,8 =2 4 |
см.Ско |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
рость точки В перпендикулярна плос |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
кости чертежа, |
направлена на читате |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ля |
и по модулю |
равна 79,2 |
см/сек. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
|
теперь |
вектор |
углового |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ускорения. Каток катится равномерно, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
величина |
угловой |
скорости |
не изме |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
няется, но меняется ее |
направление, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и конец вектора |
угловой |
скорости |
опи |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
сывает годограф — окружность радиуса |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
со sin |
— |
|
. Угловая |
скорость |
щ, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
с которой поворачивается вектор угло |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
вой скорости |
|
со, равна угловой |
скоро |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
сти, с которой поворачивается |
ось OA |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
во |
время |
движения |
катка: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш 1 = |
О Л = 2 0 = 2 Ш С |
• |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор углового ускорения ра- |
|||||||||
|
|
Рис. |
|
113 |
|
|
вен скорости |
|
годографа |
вектора угло- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
• вой скорости. Он направлен |
|
перпен |
||||||||
дикулярно |
плоскости |
чертежа на читателя, но приложен |
в неподвижной точке О: |
||||||||||||||
|
|
е = |
со1со sin ( - j — a ) =3,3-2-0,8 = |
5,28 |
|
сек-2. |
|
|
|
|
|
||||||
Чтобы определить вращательное ускорение точки В, надо помножить угловое |
|||||||||||||||||
ускорение |
е на длину |
|
перпендикуляра hx |
= 5 0 = 25 см: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
а в р |
= 5,28-25= 132 |
см/сек1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
