Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 279

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

есть проекция относительной скорости на

ось

Ox;

afN — отно­

сительное

нормальное

ускорение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переносные

скорость и ускорение.

Чтобы

Переносными

скоростью

и

определить переносное движение точки М,

ускорением

точки

называют

прекратим мысленно ее относительное дви-

абсолютные

скорость

и уско-

ж е н и е

 

закрепив ее

относительно коорди-

рение

той точки

подвижной

 

 

'

г

 

в том положении, Ko­

системы отсчета,

с

которой

натных осей х Еу г

fi данное мгновение совпа-

торое

она

 

занимает

в данное

мгновение,

дает

движущаяся

точка

 

Таким образом, мы будем считать, что

x'Ey'z',

 

 

 

 

 

точка М неизменно скреплена с осями

но оси продолжают двигаться

 

относительно основной системы

координат

хОуг

вместе

с точкой М. Тогда скорость и ускорение

точки

М относительно

основных

осей

координат

явятся

скоростью

и ускорением точки М в ее переносном движении. Итак:

 

 

переносной

скоростью

точки М называют абсолютную скорость

той точки

подвижной

системы

отсчета, с которой в данное

мгно­

вение

совпадает

движущаяся

точка

М;

 

 

 

 

переносным ускорением точки М называют абсолютное ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка М.

Мы

будем

обозначать

переносную скорость точки буквой v с ин­

дексом

е

(от

французского

слова entrainer—увлекать

за

собой),

а переносное

ускорение—буквой

а с тем же индексом. Для

обозна­

чения

проекций

переносных

скорости и ускорения

на

какую-либо

ось будем

ставить рядом с индексом е индекс, соответствующий оси.

D

я

 

„

скорости

Параллелограмм скоростей. Ознакомившись

Вектор

абсолютной

v

 

r

г

 

 

 

равен сумме

векторов отно-

с понятиями относительной и переносной

сительной

и

переносной

скоростей точки, найдем зависимость между

 

скоростей:

 

этими скоростями и абсолютной скоростью,

 

 

 

 

 

т.

е.

скоростью

точки

по

отношению

v ~

r е

к основной системе

отсчета.

Пусть

подвижная

система координат

x'Ey'z'

(рис. 116) движется

поступательно. В таком случае оси Ех',

Еу' и Ez' будут оставаться

параллельными своему начальному направлению. Для простоты выкладок пусть эти оси направлены параллельно осям основной системы координат. Тогда во все время движения будем иметь:

Ех'ЦОх; Еу'ЦОу; Ez'\\Oz.

Рассмотрим сначала относительное движение точки М и для этого остановим мысленно движение подвижной системы отсчета.

Напишем уравнения движения точки М относительно подвижной

системы отсчета:

 

 

 

x'^x'(t),

y'*=y'(t),

z' = z'(t).

(102)

Продифференцировав по времени и обозначая, как обычно, точкой

производные по времени,

найдем

проекции

относительной скорости

на подвижные оси координат:

 

 

VrX'

Vry>

=У'\

Vrz'^Z'.

Так как оси подвижной системы координат параллельны соот­ ветствующим осям основной системы, то проекции относительной

скорости

на оси Ех',

Еу' и Ег'

соответственно

равны проекциям

на параллельные

им оси Ох, Оу и Ог основной

системы

отсчета:

 

 

 

 

 

V г х

-— X , Vry —- у

, "Ог2 — Z

 

 

 

 

Зная

проекции

относительной

скорости,

легко

найдем

по фор­

мулам

(64) и

(62) величину

и направление

полной

относительной

скорости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы определить переносное движение, мысленно остановим

движение точки относительно подвижной системы координат,

но пре­

доставим самой подвижной системе x'Ey'z'

продолжать движение.

Напишем

по (77) уравнения

пере-

7

 

^

 

носного

поступательного движения:

 

 

 

М

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xE

= x(t),

yE = y(t),

zE = z(t).

 

 

 

 

 

 

Продифференцировав равенства (77),

 

 

 

 

получим проекции

переносной

скорости

 

 

 

 

точки

М, которые

при поступательном

 

X

 

 

движении системы равны проекциям ско­

 

 

 

рости

точки

Е:

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

*>еу=Ув>

 

 

 

 

 

 

 

 

Величину

 

и

направление

вектора

 

Рис.116

 

полной переносной скорости точки М

 

 

 

 

 

 

легко

найти

по формулам (64) и

(62).

 

 

 

 

Для определения абсолютной скорости точки

М найдем

сначала

ее координаты

х, у и z. Применив

формулу

преобразования

начала

координатных

осей при сохранении

направления

осей, получим

 

 

 

 

х = х' + хв, у=у'

+ уБ, z=z'

+ zE.

 

 

Точка М находится в составном движении, следовательно, х, у и z изменяются с течением времени, причем первые члены правых частей этих равенств изменяются согласно (102), а вторые—согласно (77). Продифференцировав по времени, получим проекции абсолютной скорости точки М:

vx=x' + xE, vy=y'

+ yE,

vz = z' + zB

 

или

 

 

 

 

vx = vrx + vex, vy = vry-i-vey,

vz=vr2

+ vez.

(103)

Эти равенства показывают,

что проекция

абсолютной

скорости

на какую-либо ось равна сумме проекций относительной и переносной

скоростей

на ту же ось. Следовательно, вектор абсолютной скорости

точки равен сумме векторов относительной

скорости и переносной

скорости

той же точки:

 

 

v — vr-\-ve.

(103')

Поэтому доказанную теорему называют теоремой

 

параллелограмма

скоростей.

 

 

 

 

 

Равенства

(103) и (103') выражают связь между тремя скоростями

(абсолютной,

относительной

и переносной) одной

и

той же точки

и позволяют

определить любую из этих скоростей,

если

известны

 

 

две другие.Они доказа­

 

 

ны в предположении, что

 

 

переносное движение по­

 

 

ступательное,

но спра­

 

 

ведливы

при всяком пе­

 

 

реносном движении, как

 

 

это будет показано в § 31.

 

 

Из равенств (103) не­

 

 

посредственно получаем:

 

 

1) проекция

относи­

 

 

тельной

скорости точки

 

 

на какую-либо ось равна

 

 

разности проекций абсо­

 

 

лютной и переносной ско­

 

 

ростей

той же точки на

 

Рис. 117

Т У же ось;

 

 

 

2) проекция

перенос­

 

 

ной скорости

точки на

какую-либо ось равна разности проекций абсолютной и относи­

тельной скоростей

той

же

точки

на

ту же ось.

Из векторного

равенства

(103)

получаем

 

vr

= v—ve=v

+

(—ve).

Отсюда вытекает следующее правило: чтобы найти относительную

скорость точки, надо сложить

вектор абсолютной скорости точки

с вектором, равным по модулю,

но обратным по направлению век­

тору ее переносной скорости. Аналогично, чтобы найти переносную

скорость

точки, надо сложить

вектор

абсолютной

скорости точки

с вектором,

равным

по модулю,

но обратным по направлению

век­

тору ее относительной скорости.

 

 

 

 

 

 

Задача

№

70 (А. И. Н е к р а с о в .

Курс теоретической механики в векторном

изложении,

ч.

2. ГИТТЛ, 1933). Вертикально

падают дождевые капли со

ско­

ростью 2 м/сек.

Пешеход идет справа налево со скоростью

1,5

м/сек.

Найти

ско­

рость дождя

по отношению к, пешеходу

(рис. 117, а).

 

 

 

 

Решение. В данной

задаче за основную систему отсчета

примем

Землю. Под­

вижная система отсчета связана с пешеходом. Вертикальная скорость дождя

является

абсолютной

скоростью

(у = 2 м/сек);

переносной скоростью

ve является

скорость

подвижной

 

системы отсчета, т. е. скорость человека, направленная

влево

и равная

1,5

м/сек.

Чтобы

найти

вектор относительной

скорости, сложим

вектор

абсолютной

скорости

(рис.

117,6)

с

вектором,

который

по величине

равен

пере­

носной скорости, а

по направлению

противоположен ей, т. е. направлен

слева

направо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vr— у Т + 2 , 2 5 = 2,5

м/сек.

 

 

 

Вектор относительной скорости составляет с вертикалью угол а, тангенс которого равен

 

 

 

t g a = l £ = 0 , 7 5 .

О т в е т . vr

==2,5

м/сек; а =

37°.

Задача № 71 (№ 22.11, 432

М). Корабль плывет на юг со скоростью 42,3 км/ч.

Второй корабль

идет

курсом на

юго-восток со скоростью 30 км/ч. Найти величину

инаправление скорости второго корабля,

определяемую

наблюдателем,

находящимся

 

-у

Восток

на

палубе первого корабля. При вычислении

 

принять

42,3 = 30 У

Т.

 

 

 

 

 

 

Решение.

Задача

аналогична

предыду­

 

 

 

щей, но решать ее будем не в векторной, а в

 

 

 

координатной форме, для чего перепишем (103)

 

 

 

в

следующем виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

Построим

основную систему

координат,

Юг

 

 

связанную с Землей, направив ось Ох на юг,

Рис.

118

 

а

ось Оу—кг

восток

(рис. 118). Подвиж­

 

 

 

 

ную систему

отсчета

свяжем

с первым ко­

 

 

 

раблем, так как относительно

первого корабля надо определить скорость

второго.

Проекции

абсолютной скорости второго корабля

на оси основной

системы

таковы:

 

 

 

 

и* =

30 cos 4 5 ° = 15

УТ,

 

 

 

 

 

 

vy

=

30 sin 45° = 15 V 2.

 

 

Переносным движением мы называем движение подвижной системы отсчета по отношению к'основной. Поэтому в данной задаче переносной скоростью является скорость первого корабля. Ее проекции следующие:

ьех=+ЭйУ~2, vey = 0.

Подставляя эти значения в написанные выше уравнения, найдем проекции относительной скорости:

vrx = 15 УТ— 30 У 2"=— 15 У~2, vry = 15 У~2. По проекциям находим модуль:

 

 

vr = + V vix-{-v2y=

ЗО км/ч

 

 

 

 

и направляющие косинусы относительной скорости:

 

 

 

 

cos а = •

— 15 У~2

У~2

а

vry

 

is

y

j

ЗО

 

C O S p = - i - =

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, относительная скорость

второго корабля

составляет углы по 45°

с положительным

направлением оси

и с отрицательным

направлением оси Ох,

т. е. направлена

на северо-восток.

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т .

y r =

30 км/ч и направлена на

северо-восток.

м,

и берега ее' парал­

Задача

№ 72.

Ширина АВ реки

(рис.

119,а)

равна

900

лельны. Моторная лодка, выйдя из пункта В, держала курс перпендикулярно

берегам и достигла

противоположного

берега

через

5

мин, но не в пункте А,

находящемся

против

В,

а

в

пункте

С,

лежащем

на

300 м ниже по течению.

Во втором рейсе та же моторная лодка, выйдя из того

же пункта В, взяла курс

под углом б к ВА

(начальное

направление на

пункт

D, лежащий на 300 м выше

пункта А по течению)

и сохраняла

свое направление

(угол 6), но подошла к пра­

вому берегу

в пункте

Е,

лежащем

ниже

А.

 

 

 

193

 

 

 

7

№ 784

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы