Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

нием течения воды у берегов, определить

расстояние

АЕ,

скорость течения, ско­

рость

лодки

относительно

воды и скорости

t>i и и3

лодки

относительно

берегов

в обоих рейсах.

Решение.

Возьмем начало

основной

системы координат в точке В,

направив

ось абсцисс перпендикулярно к берегу

по ВА, а

ось ординат — вниз

по течению

реки (для решения

задачи

пользуемся

формулами

103). Скорость

лодки

относи­

тельно

этой

системы

является

абсолютной.

Подвижная система

координат дви­

жется

поступательно

вместе

с

водой

и скорость течения

реки является

переносной

скоростью лодки.

Тогда,

имея в

виду, что

ЛС==300

ж = ВЛ , для первого

рейса

(рис. 119,6)

Vi

cos 6 = vr,

vt

sin 6 =

ve

и для

второго

рейса

(рис. 119, в)

у2

cos 6' = vr cos б,

у2

sin 6' = ve—vr

sin (

В

первом

рейсе

лодка

держала

курс

перпендикулярно

берегам

и в

относи­

тельном движении

проплыла

900 м за 5 мин = 300 сек. Следовательно, vr

= 2> м/сек.

I

YA

-

1

I

Л

г

-

а)

5)

В)

Рис.

119

За то же время ее снесло течением на

300 м, а

потому

ve

= 1

м/сек.

Подставляя эти значения в уравнения, составленные для первого рейса, и деля

второе из этих

уравнений

на

первое,

найдем

J

s

v e

1

откуда

cos б =

У

Sin б ==—тг=г

vr

6

іо

У ю

Из тех же уравнений найдем скорость лодки относительно

берегов (т. е. абсо­

лютную скорость)

в первом

рейсе:

и г = у Т о =

3,16

м/сек.

Величина

относительной

скорости лодки,

определенная

по данным первого

рейса, не изменится и во

втором,

так

как

по условию

задачи скорость лодки

относительно

воды

постоянна. Также

не изменится и переносная скорость лодки —

скорость течения реки. Подставляя найденные

значения в уравнения, составлен­

ные для второго

рейса,

получим

и2

cos б

= У ю = 2,85,

u 2 s i n 6 '

У ю = 0,05.

Из этих уравнений найдем: и2

= 2,85

м/сек

и

sin6' =

0,018.

Умножая

АВ = 900 м

на

t g 6 ' , найдем

АЕ.

О т в е т .

ve=l

м/сек;

vr

= 3 м-/сек; і\ = 3,16

м/сек;

уа «=2,85 м/сек;

Л £ = 1 6

м.

Приводим

схему

разложения

полного

абсолютного

ускорения

точки

для случая

переносного

поступательного движения. При ре­

шении задач на параллелограмм ускорений

бывает полезно написать

эту схему

и заполнять ее справа

налево:

,а.гТ

а'

\

(105)

\

Часто

определяют

абсолютное

ускорение

по

его

проекциям ах,

ау, аг

на оси

основной

системы

координат и,

получив

проекции

результирующего

вектора

а

как

алгебраические

суммы

проекций

составляющих

arT,

arN,

авТ

и aeN,

на те же оси:

a x

=

arTxJt~arArxJraeTxJtaeNx>

1

а у

~

arTy

+

arJVy

~Г"аеТу

~Ь

aeNyi

\

(106)

a z

— arTz

+

arNz

+

aeTz

+

aeNz-

J

Эти равенства являются лишь некоторым видоизменением ра­

венств

(104).

Если

переносное

движение

не поступательное,

то

абсолютное

тельство

теоремы

Кориолиса

дано в § 31.

Задача № 73. Кривошипно-кулисный механизм

приводного молота (рис. 120, а)

состоит из прямолинейной поступательно движущейся кулисы АВ,

в прорези

которой скользит звено С (камень), соединенный

шарнирно с кривошипом ОС

длины г, вращающимся с постоянной угловой скоростью

©. Найти

скорость и

ускорение

кулисы как функции угла поворота

кривошипа.

Решение.

Будем

рассматривать

движение камня

С как

составное,

состоящее

из относительного движения

по прорези

кулисы

и

переносного движения вместе

с кулисой. Дл я решения воспользуемся формулами

(103) и (104). Примем непо­

движный шарнир О за начало основной системы

координат, направив ось Ох

вправо и

ось Оу вверх (рис. 120, б). Подвижную

систему

координат

неизменно

соединим

с

кулисой,

взяв

начало

в

точке

Е

и

направив ось Ех'

по прорези

вправо, а Еу'— вверх. Движение

подвижной системы координат, как и движение

кулисы,

поступательное. Ось Ех'

передвигается к неподвижной оси Ох, а ось Еу'

скользит

по оси Оу.

Абсолютное движение камня есть круговое поступательное движение по

отношению к основной системе координат.

Для определения абсолютных скоро­

сти и ускорения

обратим внимание на то, что точка С (шарнир) принадлежит не

только камню, но и кривошипу, а потому

абсолютная скорость точки С равна cor

(см. рис. 120, б),

а ее проекции:

vx = cor cos со* и

vy = cor sin cor.

vrx=±vr,

vry

= 0.

Проекции

относительного ускорения:

аГх = ± аг>

агу — 0.

Переносное движение камня (движение

подвижной

системы отсчета относи­

тельно

основной) — возвратно-поступательное

движение кулисы вверх и вниз.

Поэтому проекции переносных скорости и

ускорения

на вертикальную ось Оу

равны модулям скорости и ускорения со знаком «+»

или «—», а на горизон­

тальную

ось Ох—равны

нулю. Имеем

vex

= 0, vey = ± ve и аех

= 0, аеу=±

ае\

Из трех движений камня нас интересует переносное движение (движение ку­

лисы). Определив проекции переносной скорости

v e x = vx—vrx,

vey

= vy—vry

и

подставив

найденные

значения,

получим

переносную

скорость из уравнений

0 = cor cos со*—vr ,

ve = (£>r sin cof.

Таким образом, переносная скорость камня

(скорость

кулисы) определена.

Для

определения переносного

ускорения

мы могли бы

продифференцировать

по

времени выражение,

полученное для переносной

скорости

(так как переносное