Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 281

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

определятся соотношениями

 

 

х = х'

COS ф—у' sin ф, \

 

у = х'

sin ф + г/' совф, >

(107)

 

 

z = z'.

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти равенства (107) отличаются от уже

известных

нам

равенств

(88) тем,

что здесь

координаты

х', у'

и

г'

переменны,

тогда

как

в равенствах (88) они были постоянны.

М

J

 

 

 

 

 

Если

мы мысленно

остановим

точку

в

ее

относительном

дви­

жении, т. е. будем считать ее координаты

х',

у'

и г'

постоянными,

но сохраним переносное вращение, то, дифференцируя

равенства

(88)

по времени, найдем знакомые нам выражения (89) проекций враща­

тельной скорости, которая в данном случае

явится переносной

скоростью

точки М:

 

 

 

 

 

vex

= — (х'зіпф + //'созф)ф = —уа>, \

Проекции

vey

= (х' cos ф—у'

sin ф) ф =

-j-xco,

> переносной

vez

= 0.

 

 

 

 

скорости

Дифференцируя вторично, найдем

проекции

переносного ускоре­

 

J

 

ния, которые выражаются

также

известными

нам формулами (95):

аех

= — {х' sin ф + у' cos ф) ф — (х' cos ф —

 

 

 

— у'

sin ф) фа

=

— уг—Х(о2,

Проекции

аеу

=

(х' cos ф — y's'm<p)(p —

 

(x'smy-}-

 

 

 

переносного

 

 

-\-у' cos ф) ф2

= л:є — г/со2,

ускорения

а„, =

0.

 

 

 

 

 

Чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносное, т. е. будем считать ф постоянной, а х', у' и г' — пере­ менными. Дифференцируя при таких условиях (107) по времени, определим проекции относительной скорости:

у,А. = л-'созф —г/'віпф,

\

Проекции

vry = х' sin ф + у' cos ф,

> относительной

IV, = z'.

J

скорости

Заметим попутно, что, возводя каждое из этих равенств в квад­ рат, складывая и извлекая квадратный корень, мы определили бы величину относительной скорости (рис. 122). Если же мы возведем в квадрат и сложим лишь два первых равенства, то, извлекая ко­ рень, мы получим, очевидно, величину проекции относительной скорости на плоскость хОу:

Vr^rx+V}g=

О, Sin у,.

Напомним, что вектор угловой скорости со направлен по оси вращения, а потому угол уг есть угол между векторами относитель-

ной и угловой скоростей, и последнее равенство можно записать так:

 

 

Vv2rx-\-v%

= vrs\n

(«во,).

 

 

 

Это соотношение скоро нам понадобится.

 

 

 

Чтобы получить

проекции

относительного ускорения,

надо

про­

 

 

 

 

дифференцировать по времени

выраже­

 

 

 

 

ния, полученные для проекций относи­

 

 

 

 

тельной скорости, по-прежнему считая ср

 

 

 

 

постоянной. Имеем

 

 

 

 

 

 

arx

= x' coscp—у' sincp, \ Проекции

 

 

 

 

ary

= х' sin ср + у' cos ф, > относительного

 

 

 

а„

= z \

 

Ускорения

 

 

 

 

 

 

Чтобы

определить

Jпроекции

абсо­

 

 

 

 

лютной скорости точки М, надо продиф­

 

 

 

 

ференцировать уравнения (107) по вре-

р и с

^ 2

 

 

мени, считая все величины переменными.

 

 

 

 

Имеем

 

 

 

 

 

vx = х' cos ф—у' sin ф — (х' эшф4 - у' COS ф) ф,

Проекции

 

vy — х' sin ф + у' cos-ф + (х' cos ф—у' sin ф) ф,

абсолютной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скорости

 

или

 

•vex\ vv^vry

+ vey; vt = vr-g + ve

 

( Ю З )

 

 

 

Мы получили теорему параллелограмма скоростей, которая, сле­

довательно, остается

в

силе

и

при вращательном

переносном

дви­

жении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы определить проекции абсолютного ускорения,

возьмем

вторые производные, опять-таки

считая

все величины переменными.

Имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ах= (х' cos ф—у' sin ф) — (х' sin ф-j-у'

совф) ф —

 

 

 

— (х' sin ф + г/' соэф) ср — (х' cos ф—у' sin ф) ф2 —

 

 

 

— (х' Sin ф + у' СОЯф) ф,

 

 

 

 

Проекции

 

йу — (х' sin ф + г/' со5ф) + (х'созф—у'

зіпф)ф +

абсолютного

4- (х' cos ф—у' sin ф) ф — (х' sin ф + у' COS ф) ф2 +

ускорения

 

 

 

 

-f- (х' cos ф—у' sin ф) ф,

 

 

 

 

 

 

 

аг = г',

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax = arx

+ a,x—2(x'

sin q> +

cos ф) ф = а,ж +

а м — 2 о г у ш ,

 

av = ar j , + ae ; ( 4- 2 (*' cos ф—у' sin ф) ср = агу -\- аеу 4- 2vrxv>,

Таким образом, в выражениях проекций абсолютного ускорения, вдобавок к проекциям относительного и переносного ускорений,

появляется еще одно слагаемое, выражающее проекции добавочного ускорения ас:

aCx

= — 2wry,

\

 

aCy

= +

2wrx,

I

<108)

аСг

= 0.

 

)

 

Это добавочное ускорение называют ускорением Кориолиса. Определим величину ускорения Кориолиса:

,2

ас = Vctcx + асу = 2(iVv2rx + v\

или, заменив корень полученным выше значением, находим

оконча­

тельно

 

ас — 2®vrs'm (a>vr).

(109)

Мы вывели формулу (109) в предположении, что переносное дви­ жение вращательное. Она остается без изменений и при всяком ином непоступательном переносном движении.

Итак, если переносное движение непоступательное, то абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех составляющих: отно­ сительного ускорения, переносного ускорения и ускорения Кориолиса:

а--=аг-\-ае-{-ас.

(НО)

В случае, если переносное движение непоступательное, необхо­ димо дополнить ускорением Кориолиса и схему (105), которая при­ нимает следующий вид:

- /агТ

\-"

ас

Пользоваться этой схемой при решении задач надо так же, как и схе­

мой (105), заполняя ее справа и геометрически складывая составляющие.

Ускорение

Кориолиса суще-

При каком

движении

бывает

ускорение

Кориолиса?

В выражение (109)

ускорения

ствует только при составном

К о р И о л и с а

входят множителями относи-

движении,

если переносное

ґ

м

 

 

движение непоступательное тельная скорость точки, угловая скорость подвижной системы отсчета и синус угла между векторами этих скоростей. Но относительная скорость бывает

только при составном движении. Поэтому и ускорение Кориолиса может быть только при составном движении. Если нет относитель­ ной скорости точки, т. е. если vr — 0, то не может быть и ускоре­ ния Кориолиса. Однако ускорение Кориолиса бывает не при всяком составном движении точки. Так, если переносное движение поступа­ тельное и со = 0, то нет и ускорения Кориолиса. Из формулы (109) видно, что и в составном движении точки, и при переносном вра-

щательном

движении

ускорение

 

Кориолиса

 

 

равно нулю, если относительная скорость

 

 

параллельна

оси

вращения. Так,

 

например,

 

 

корабль, плывущий по меридиану, имеет

 

 

ускорение Кориолиса, если рассматривать его

 

 

движение как составное из относительного

 

 

движения

корабля

и

переносного

движения

 

 

Земли. Это ускорение

равно удвоенному

про­

 

 

изведению скорости корабля на угловую ско­

 

 

рость Земли и на синус географической ши­

 

 

роты (рис. 123) и равнялось нулю

в то время,

 

 

когда

корабль

пересекал

экватор

и

его

от­

 

 

носительная скорость

была параллельна

век­

 

 

тору

угловой

 

скорости

Земли.

Физическая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причина

 

ускорения

 

 

Физическая

причина

ускоре­

 

Кориолиса.

Поста­

 

 

ния Кориолиса

заключается

 

раемся уяснить фи­

 

 

в изменении вектора

пере­

 

зические

причины,

 

 

носной

скорости

от

относи­

 

 

 

 

вызывающие

уско­

 

 

тельного движения и вектора

 

 

 

относительной

скорости

от

 

рение

Кориолиса,

 

 

переносного

движения

 

 

для

чего

предста­

 

 

молинейных отрезка 0ХАХ

 

вим

себе

два

пря­

 

 

 

и

0 2 Л 2

 

(рис.

124),

Рис. 123

по которым движутся

точки

Вх

и

 

В2.

Штри­

через

промежуток

хами

отмечены

положения

этих отрезков

и точек

времени Д^. Первый

из

отрезков

 

движется поступательно, второй

вращается

вокруг

 

02.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кориолиса:

Существуют две физические причины ускорения

1.

Переносная

 

скорость

точки

 

Вх

 

не

зависит

от положения ее

на отрезке 0гАх,

так

как,

по

свойству

поступательного

движения,

скорости

всех

точек

прямой

 

 

 

 

 

 

 

 

0ХАХ

между собой равны. На­

 

 

 

 

 

 

 

 

против, величина

 

переносной

 

 

 

 

 

 

 

 

скорости

точки

 

В 2

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

(л-ОгВ2

и

всецело

 

зависит

от

 

 

 

 

 

 

 

 

ееположения. Переносная

скорость

точки В2

меняется

 

 

от ее относительного движе­

 

 

ния.

Чем

быстрее

движется

 

 

точка

В2

по

прямой 0 2 Л 2 и

*v

а ^

чем

быстрее

вращается

эта

прямая, тем значительнее

из­

 

 

меняется

переносная

ско-

Р и с -

1 2 4

рость

точки В2.

Таким обра­

 

мгновение

(т. е. ускорение

зом,

изменение

скорости

точки в данное

точки), вызванное указанной причиной,

пропорционально

величине

относительной и угловой скоростей. В этом заключается

один из

факторов, порождающих

ускорение

Кориолиса.

Вх не

 

2.

Направление относительной

скорости точки

меняется,

Смотрите также файлы