Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 287
Скачиваний: 2
так как, по свойству поступательного движения, прямая OxAt пе редвигается параллельно самой себе. Напротив, направление относи
тельной |
скорости |
точки |
В2 |
непрерывно |
изменяется |
по |
|
мере |
|||
вращения |
0 2 Л 2 . |
Даже |
при |
прямолинейном |
относительном |
дви |
|||||
жении |
направление относительной |
скорости |
изменяется |
(вслед |
|||||||
ствие |
переносного |
вращения). Изменение |
вектора скорости |
|
точки |
||||||
в данное мгновение (ускорение), вызванное этой причиной, |
тоже |
||||||||||
пропорционально |
величине |
относительной |
и |
угловой |
скоростей. |
||||||
В этом заключается другой |
фактор, |
порождающий ускорение |
Корио |
||||||||
лиса. Ускорение Кориолиса как бы поворачивает вектор относитель
ной |
скорости в направлении |
переносного вращения. По этой причине |
|||||||||||
его |
иногда |
называют поворотным |
ускорением1. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Направление |
ускорения |
Кориолиса. |
При |
|||||
Вектор ускорения |
Кориолиса |
выводе формулы ускорения Кориолиса мы |
|||||||||||
перпендикулярен |
векторам |
убедились, что проекция |
этого ускорения |
||||||||||
угловой |
и |
относительной |
|
г\ |
|
|
|
г\ |
|
|
|
||
|
|
скоростей |
н а ' |
®z |
равна |
нулю. |
Отсюда |
следует, |
что |
||||
|
|
|
|
|
вектор |
ускорения Кориолиса |
лежит в пло |
||||||
скости, |
перпендикулярной |
к |
оси |
вращения, |
или, |
иными словами, |
|||||||
к вектору |
угловой скорости, который направлен по оси вращения |
Oz. |
|||||||||||
Уточним теперь направление ускорения Кориолиса в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, и обозначим углы, составляемые им
с осью Ох я Оу, через а с и Р с . Направляющими косинусами |
являются: |
|||||||
|
а С х |
|
|
2 o x v y |
, |
|
|
|
cosac = — = — -х |
: |
|
|
|
||||
|
aCy |
|
|
2a>vrx |
. |
|
|
|
COS pV = — = + ъ |
: |
|
|
|
||||
Углы, составляемые |
относительной |
скоростью |
точки |
с теми |
же |
|||
осями, обозначим через |
аг и |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos аг |
= |
—, |
|
|
|
|
|
|
COS 6 |
= |
— . |
|
|
|
|
|
|
r r |
|
vr |
ускорения |
Кориолиса с |
на |
||
Сравнивая направляющие косинусы |
||||||||
правляющими косинусами относительной скорости, находим, что удовлетворяется известное из аналитической геометрии условие пер пендикулярности двух направлений—сумма произведений соответст
вующих направляющих |
косинусов равна нулю: |
|
|
cos ас |
cos c v + cos р с cos pr = О, |
следовательно, |
ускорение Кориолиса' перпендикулярно не только |
|
к угловой, но |
и к относительной скорости точки М. |
|
Отсюда вытекает следующее правило: для определения направ ления ускорения Кориолиса надо спроецировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную Oz (оси вращения), и затем повернуть эту проекцию вокруг оси вращения на 90° в сторону пе реносного вращения. Следовательно, если переносное вращение про. исходит в положительном направлении, то проекцию vrxy относитель ной скорости надо повернуть на 90° против хода стрелки часов,
1 Термин «поворотное ускорение» предложен О. И. Сомовым (1872 г.).
а если переносное вращение происходит в отрицательном направ лении, то по ходу стрелки. Это определяется самой сущностью поворотного ускорения, поворачивающего вектор относительной ско рости в направлении переносного вращения. К тому же результату мы пришли бы, сравнивая знаки направляющих косинусов ускоре ния Кориолиса и относительной скорости.
Таким образом, ускорение Кориолиса по величине и направле нию можно выразить удвоенным векторным произведением угловой скорости и относительной скорости:
а с = 2(©хїГ,). |
(109') |
Если относительное движение точки происходит в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения, то угол между век торами угловой и относительной скоростей равен 90°, его синус равен единице и выражение ускорения Кориолиса упрощается:
ac = 2wvr. |
(109") |
В этом частном, но очень распространенном в технике |
случае |
для определения направления ускорения Кориолиса не нужно прое цировать вектор относительной скорости точки, а достаточно повер
нуть его на |
90° в плоскости движения точки в сторону переносного |
||||
вращения. Поясним это следующей задачей. |
|
|
|
||
Задача № 74. Стержень OA вращается вокруг оси, перпендикулярной |
к |
пло |
|||
скости чертежа (рис. 125) в точке О. Вдоль стержня движется ползун |
В. |
Ука |
|||
зать направление ускорения Кориолиса. |
|
|
|
||
Решение. |
Ускорение Кориолиса |
всегда перпендикулярно к |
угловой скорости |
||
к оси вращения) и к относительной |
скорости. Следовательно, |
ускорение |
Корио- |
||
OJ |
В) |
в) |
г) |
|
Рис. |
125 |
|
лиса лежит в плоскости чертежа и перпендикулярно к стержню. Четыре возмож ных случая изображены на рис. 125, а, 6, в, г.
Задача № 75. Прямая трубка |
(рис. 126) равномерно вращается с угловой |
||||||
скоростью ю = я рад/сек вокруг |
оси |
Ог, перпендикулярной |
к плоскости чертежа |
||||
в точке О. Шарик М совершает |
гармонические |
колебания вдоль трубки по закону |
|||||
х' == ОМ = A sin nt. |
Определить |
ускорение шарика при ^ = 4 сек. |
|||||
Решение. |
Будем |
рассматривать |
движение |
шарика |
как |
составное, состоящее |
|
из движения |
относительно трубки |
и движения вместе |
с трубкой (рис. 126, а). |
||||
Для решения |
задачи |
воспользуемся |
схемой (ПО') (см. стр. 206). |
||||
Чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносное вращение трубки. Уравнение относительного движения шарика есть
|
|
х'— |
A sin |
nt. |
|
|
Относительная |
скорость |
|
|
|
|
|
|
|
vr = x' == An cos |
nt. |
|||
В относительном движении |
шарик |
имеет |
касательное ускорение |
|||
|
агТ |
= х' = — A n 2 |
sin |
nt. |
||
Относительное |
движение в |
данном |
случае |
прямолинейное, поэтому относи |
||
тельное нормальное |
ускорение |
аг^ = 0. |
|
|
трубки. Мысленно остановим |
|
Переносное движение обусловлено |
вращением |
|||||
шарик, предоставив трубке вращаться. Напишем уравнение равномерного враще ния трубки, положив ф 0 = 0:
|
|
(f = nt. |
' |
. Переносной |
скоростью |
шарика является |
вращательная скорость той точки |
среды (трубки), |
в которой |
в это мгновение находится шарик: |
|
|
|
ve — cor = An sin |
nt, |
причем в этом выражении время t соответствует тому мгновению, в которое
мысленно остановлен шарик, а потому |
t здесь нельзя |
рассматривать |
как пере |
|||
менную величину. |
|
|
|
|
|
|
Переносное |
вращение равномерное, |
и |
переносное |
касательное |
ускорение |
|
равно нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
аеТ |
= гг = |
0. |
|
|
|
Переносное |
центростремительное |
ускорение |
|
|
||
|
aeN— ю2*" = An2 |
s'mnt, |
|
|
||
где t имеет заданное значение, соответствующее данному мгновению, в которое мысленно остановлено относительное движение.
Кроме этих составляющих абсолютного ускорения, имеется ускорение Кориолиса, так как переносное движение вращательное:
ас = 2шг = 2An2 cos nt.
Эти составляющие абсолютного ускорения вносим в схему (ПО'):
агТ = ~ An2 sin nt
/ |
/ f l * r = 0 |
аае(
\ |
<*eN— An2 |
s i n n t |
\ г с |
= 2 Л я 2 cos |
nt |
В мгновение t = 4 сек имеем:
/0,7- = 0
|
|
|
|
/ |
\ | г Л г = 0 |
|
|
|
||
|
|
|
/ |
|
/ает |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
° г |
|
а / |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
X / V = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
а с = 2Лзх2 |
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
абсолютное |
ускорение |
в это |
мгновение состоит из |
ускорения |
||||
Кориолиса |
а = ас — |
2Ап2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
При t = A сек точка |
М |
совпадала |
с точкой |
О (х' = A sin 4я = 0) и |
имела |
от |
||||
носительную скорость |
-j-An, |
направленную в |
положительном направлении |
Ох'. |
||||||
Чтобы определить направление ускорения Кориолиса, надо повернуть вектор отно
сительной скорости на |
90° в сторону вращения |
трубки, т. е. против |
хода |
часо |
||
вой |
стрелки. |
|
|
|
|
|
|
При |
t = A сек.угол |
поворота трубки ср = 4я |
и ось Ох' совпадала |
с осью Ох. |
|
Следовательно, в это мгновение ускорение Кориолиса направлено по |
положитель |
|||||
ной |
оси |
Оу. |
|
|
|
|
|
Если |
мы не станем |
рассматривать движение |
шарика как составное, а |
изучим |
|
его непосредственно по отношению к основной системе отсчета, то получим,
разумеется, тот |
же |
результат. |
|
|
|
|
|
||
Составим |
уравнения |
движения |
шарика |
в |
основной системе координат |
||||
(рис. 126, б): |
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = |
A |
sin nt |
cos nt = - g - |
sin |
2nt, |
|
|
|
|
i / = |
A |
sin |
nt |
sin nt = A |
sin2 |
nt. |
Дифференцируя |
эти |
уравнения |
по времени, |
найдем проекции скорости: |
|||||
vx = x= An cos 2nt, Vy = y= An sin 2nt.
Дифференцируя по времени второй раз, найдем проекции ускорения:
|
ах — х —— |
2An2 |
sin 2nt, |
ау |
= у — 2An2 |
соз 2лг. |
|
|
||||
При { = |
4 сек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ах |
= х = |
0, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ау |
— у = |
|
2Ап2. |
|
|
|
|
|
Мы получили те |
же значения |
ускорения |
точки, |
не |
пользуясь |
ускорением |
||||||
Кориолиса. Из этого |
примера видно, |
что |
ускорение Кориолиса бывает |
лишь |
при |
|||||||
составном |
движении |
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
определения траектории шарика в основной системе отсчета исключим |
|||||||||||
время из |
уравнений |
движения. Из |
второго |
уравнения |
находим s i n 2 n / = |
- j - , |
под- |
|||||
ставляєм |
в первое уравнение |
и возводим |
в квадрат (рис. 126, в): |
|
|
|||||||
|
|
|
|
х2 = |
Ау—у2. |
|
|
|
|
|||
|
А |
Это уравнение окружности с центром в точке я = 0, у=-\-~ |
. Чтобы убе |
диться, достаточно перенести в эту точку начало основной системы координат,
іА
положив у = #1 + - j - . тогда уравнение траектории примет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
уравнение движения шарика |
М по этой окружности: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx= |
Ал cos 2nt dt; |
dy = |
An sin 2nt dt; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и, интегрируя, |
|
|
ds = |
Vidx^ |
+ |
idy)2 |
= Ал dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
s = |
Ant + C — |
Ant. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, |
шарик |
движется |
по |
своей траектории |
равномерно |
со |
скоростью |
||||||||||||||||||
и = Л я ; |
при < = 4 сек он находится |
в наинизшей точке |
окружности, |
а нормальное |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Vі |
Л 2 я 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ускорение |
— = - ^ g - = 2 A n . 2 |
направлено |
вертикально |
вверх. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Резюмируя, убеждаемся, что движение шарика |
(как и движение всякого |
тела) |
|||||||||||||||||||||||
можно представить различными способами и ускорение |
шарика |
в заданное |
мгно |
||||||||||||||||||||||
вение |
(/ = 4 сек) можно выразить различными |
формулами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Можно представить его как составное, состоящее из колебаний шарика вдоль |
|||||||||||||||||||||||||
трубки и одновременного вращения трубки. Тогда |
ускорение 2 Л я 2 |
шарика |
в за |
||||||||||||||||||||||
данное мгновение является |
ускорением |
Кориолиса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Можно представить то же движение шарика уравнениями в декартовых коор |
|||||||||||||||||||||||||
динатах, |
а ускорение |
2Ля'2 — проекциями |
на оси координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Можно, |
наконец, |
это движение |
шарика |
определить |
как равномерное |
движение |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
D*= An |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со скоростью |
по окружности |
радиуса |
/ " = = " ? г и |
ускорение |
2 Л я 2 |
предста- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вить как нормальное ускорение —р- • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Различные способы лишь выражают объективно существующее движение и |
|||||||||||||||||||||||||
позволяют |
определить |
его |
характеристики. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
О т в е т . а = 2 Л л 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача № 76. Окружность радиуса г равномерно вращается по ходу |
стрелки |
||||||||||||||||||||||||
часов |
с угловой |
скоростью |
со |
|
вокруг |
оси, перпендикулярной |
к |
ней в |
одной |
из |
|||||||||||||||
ее точек |
С (рис. 127, а). По окружности |
движется точка М со скоростью |
vr |
= wr, |
|||||||||||||||||||||
обходя окружность против вращения часовой стрелки. Определить |
ускорение |
||||||||||||||||||||||||
точки |
М. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Движение точки |
|
будем |
рассматривать как составное, |
состоящее |
из |
|||||||||||||||||||
относительного |
равномерного |
движения |
по окружности и переносного |
равномер |
|||||||||||||||||||||
ного |
вращения самой |
окружности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Напишем схему (110') и будем заполнять ее справа |
(см. стр. 208). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Чтобы определить относительное движение точки |
М, |
мысленно |
остановим |
||||||||||||||||||||||
вращение окружности. Относительная скорость равна |
и г = сол и направлена |
по |
|||||||||||||||||||||||
касательной к окружности. Относительное касательное |
ускорение |
arf |
= 0, |
а отно |
|||||||||||||||||||||
сительное нормальное |
направлено |
к центру 0 |
окружности и |
равно |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
агм |
= — = со2г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Чтобы |
определить переносное движение, мысленно закрепим точку М на |
окруж |
|||||||||||||||||||||||
ности. Проведем |
хорду МС (рис. 127, б) и обозначим через |
6 |
угол, |
составляемый |
|||||||||||||||||||||
ею с диаметром, проходящим через С. |
Так |
как окружность |
вращается |
равно |
|||||||||||||||||||||
мерно, то а е т=>0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ав1у |
— и>гСМ = co22r cos б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и направлено по хорде МС к точке С.
