Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

a)

S)

б)

Рис.

127

Скорости

и ускорения точки

изображены на рис. 127, б, а ускорения запи­

саны по схеме

(ПО'):

/ a r T

= Q

at-—ае(

\

а г д г = 2со2г cos б

\ j

c = 2<o2r

О т в е т .

а— чи2 г.

Задача № 77. В ручке молочного

сепаратора по ее длине просверлен

цилинд­

рический канал, закрытый с одной стороны металлической

пластинкой

(звонком)

(рис. 128).

В канале

помещен

металлический

шарик. Если вращать ручку

с не­

достаточной

скоростью

(менее

45

об/мин),

то

шарик

ударится о звонок и

даст

соответствующий

сигнал. Определить

ускорение Кориолиса сигнального

шарика,

если ручка

сепаратора наклонена к своей оси

вращения под углом

75°,

рабочий

вращает ручку,

делая

45 об/мин,

а

шарик

движется

по

каналу по закону

%'' =

= 220sin(p + 357e-?

мм.

Решение.

Вектор

угловой

скорости

ручки направлен по оси вращения, а от­

носительная

скорость

шарика —вдоль

канала,

составляя с

ним угол

75°. Ускоре-

ниє Кориолиса определяем по формуле

(105).

Угловая скорость <в =

= 1, 5я.

Синус 75° берем из таблиц или подсчитываем

как sin ( 4 5 ° + 30°) = 0,966.

Чтобы определить относительную скорость, надо продифференцировать по

времени уравнение движения, в котором ф = щ< =

\,5nt:

dx'

vr~—~=330я

cos ф — 535

ле-'t.

О т в е т . Ускорение

Кориолиса равно 9420 cos ф— 15300е~? мм/сек2 и направ­

лено перпендикулярно к

ручке и к ее оси.

В случае поступательного

движения

тела все точки имеют оди­

наковые

скорости,

и движение любой из точек

тела

вполне

характе­

ризует

движение

всех остальных.

Если

телу

сообщено

не одно,

а одновременно два или несколько

поступательных движений, то

все его

точки продолжают

находиться

в

совершенно идентичных

условиях, параллелограммы

скоростей

всех точек

одинаковы, так

же как и параллелограммы ускорений,

и тело

совершает

поступа­

тельное

движение.

Сложение угловых скоростей. Пусть неко-

Угловые

скорости

склады-

торое

твердое тело (рис. 129)

вращается

вают по правилам геометри-

с

у г л о в о й

скоростью

со,, вокруг

ОСИ OR,

чесного

сложен ия

в то время как эта ось поворачивается

вокруг оси ОЕ с угловой

скоростью сое. Представим эти

угловые

скорости

в

виде

векторов

OA и ОБ, отложенных по осям, и пост­

роим на них параллелограмм ОАСВ.

Легко показать, что

скорости

точек

тела, лежащих на диагонали ОС, равны

нулю. В самом

деле, точка С обладает двумя

скоростями: относительной

vr*= ыгСМ,

направ­

ив ленной

перпендикулярно к чертежу на читателя,

•

и переносной ve

— aeCN, направленной в противо-

\ ч V _

положную

сторону. Но (£>rCM = ti>eCN, так как

рость точки 0,

находящейся на пересечении осей

OR

и ОЕ. Отсюда

заключаем,

что

мгновенная

ось

вращения

совпадает

с

диагональю

парал-

Р и с

1

2 д

лелограмма

угловых

скоростей.

скорость со тела

Определим

теперь

угловую

при

составном

вращении

вокруг

этой

оси ОС.

Для этого

удобно

взять

точку

А.

Скорость точки А в относитель­

ном движении тела вокруг оси

OR равна

нулю,

а

в

переносном

вращении

вокруг

оси ОЕ равна

aeAL. Но aeAL

выражает

площадь

параллелограмма

ОАСВ

и может быть представлена как произведение

ОС-АК,

где АК—расстояние

точки

тела

от

мгновенной

оси враще­

ного

на

слагаемых

угловых скоростях

как -на сторонах:

со = cog +

сог

(111)

Результирующая угловая скорость эквивалентна двум слагаемым

угловым скоростям,

одновременно приложенным к телу.

Таким об­

разом,

угловые скорости складывают как векторы1 и при сложении

их можно

менять местами: сое +сог = сог-(-сог.

сложению

Обращаем внимание читателей,

что

это относится к

угловых скоростей, но не конечных вращений. Сложение

вращений

происходит не по правилам векторного

исчисления, а по

правилам

ния

двух

конечных

поворотов

зависит

от их последовательности и

их

нельзя

менять местами.

состоит из полого шара / / (рис. 130, а), в ко­

Задача № 78. Шаровая дробилка

тором находятся тяжелые

дробящие

шарики и дробимое

вещество. Шар / /

сидит

на оси CD, на которой заклинено коническое

зубчатое

колесо

К радиуса

г. Ось

CD

сидит в подшипниках

в раме / ,

составляющей одно

целое

с осью

АВ

и при­

водящейся

во

вращение

рукояткой

с

угловой

скоростью ше . Колесо

К сцеплено

с неподвижным

колесом L радиуса R.

Определить абсолютную

угловую скорость

Решение.

Рабочая камера

дробилки

имеет одновременно две угловые ско­

рости:

переносная

направлена

по

оси АВ и

равна

ае;

относительная угловая

скорость направлена по оси CD и величина ее неизвестна. Скорость зуба Е под­

вижной

шестеренки

К,

находящегося

в

данное мгновение

в соприкосновении

с неподвижной

шестеренкой L ,

равна нулю, а потому мгновен­

ная

ось вращения

проходит че­

рез

центр

О

и

эту

точку

(рис. 130, б). Отсюда мы мо­

жем

определить

относительную

угловую скорость:

со.

Квадрат

абсолютной

угло­

о)

б)

вой скорости определим по тео­

реме

косинусов:

Рис.

130

с о 2 = col-f со? — 2ше(ог

cos

а =

со| ( 1 + ^ - — 2 —

cosa

О т в е т .

и = 3

y~r2 + R2

— 2rR

cos

a .

Решение. Движение

колеса / /

будем рассматривать как

составное,

состоящее

из

двух

вращательных:

переносного с

угловой скоростью

ше вокруг оси О про­

тив

хода

часов

и относительного

вокруг оси

А, тоже против хода часов. Мгно­

венная ось вращения должна быть

им

параллельна и проходить через

точку

ка­

сания

подвижной

шестеренки / / и неподвижной

шестеренки /, т. е. в середине

OA.

Ответ

получается

непосредственно

из

закона

сложения параллельных

векторов.

Рис.

131

Рис.

132

Задача

№

80. Диск

с центром А (рис. 132), катящийся с угловой

скоростью

« i = —50 сек-1

внутри

неподвижного

диска

с центром О, приводится

в движе­

ние кривошипом OA, равномерно вращающимся с угловой скоростью со2 =

25

сек-1.

Определить угловую скорость диска относительно кривошипа.

Решение.

Величина

абсолютной угловой

скорости

диска со= — 50

сек-1

яв­

ляется алгебраической суммой величин

относительной

угловой

скорости

со,., с ко-