Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Напротив, уравнение (112"') не связано с полюсом Е, поэтому вращение фигуры (угол поворота ср, угловая скорость со, угловое ускорение г) не должно зависеть от выбора полюса.

Поясним это примером. Пусть находящаяся в плоском движении фигура—треугольник ABC (рис. 138)—в начальное мгновение за­ нимает положение Л0 В0 С0 , а через некоторое время — положение А1В1С1. Это положение фигуры ABC в ее плоскости будем рассмат­ ривать как результат составного движения — переносного поступа­ тельного, определяемого движением полюса, и относительного вра­ щательного вокруг полюса. Если за полюс мы примем точку Л0 , то

х

Рис. 138 Рис. 139

мы убедимся, что в результате такого переносного движения она займет положение АХВ'С. Если же за полюс мы приняли бы другую точку, например точку С, то переносное движение привело бы тре­

фигуры от выбора полюса. Пусть произвольная плоская фигура дви­ жется в своей плоскости относительно основной системы координат хОу (рис. 139). Сначала выберем за полюс точку Е и построим си­ стему координат х'Еу', которая будет двигаться вместе с фигурой. Переносное поступательное движение будет характеризоваться дви­ жением точки Е, а относительное вращательное движение — измене­ нием угла ф между осями Ох и Ех'. Затем повторим то же самое движение фигуры, но за полюс выберем какую-либо другую точку,

полюса, относительные движения, скорости и ускорения точек фигуры

Последние члены правых частей выражают согласно формулам Эйлера (79) проекции вращательной скорости точки К при враще­ нии фигуры вокруг' полюса.

Следовательно, вектор абсолютной скорости любой точки К пло­ ской фигуры равен геометрической сумме двух векторов: J) пере­ носной скорости в поступательном движении, равной скорости какойлибо точки Е, неизменно связанной с фигурой и принятой за полюс, и 2) относительной скорости во вращательном движении фигуры вокруг полюса Е. Теорему параллелограмма скоростей для любой точки К, плоской фигуры запишем так:

Выясним, как зависят скорости точек плоской фигуры от выбора полюса. Абсолютные скорости точек, очевидно, не могут зависеть от выбора полюса: они существуют объективно и обусловлены только физическими причинами. Переносные скорости всех точек равны ско-

рости полюса, а следовательно, зависят от полюса. Относительные скорости точек фигуры равны произведению угловой скорости (не зависящей от полюса) фигуры на их расстояния of полюса.

Так, например, на рис. 140, а изображены абсолютные скорости точек Л, В, С, D, F некоторой плоской фигуры, движущейся в своей плоскости. Эти скорости зависят только от движения фигуры и,

получим параллелограммы скоростей, представленные на рис. 140, б. Если же примем за полюс точку Л, то получим параллелограммы скоростей, изображенные на рис. 140, в. Диагонали параллелограм­ мов (абсолютные скорости) не зависят от тех составляющих скоро­ стей, на которые мы их разлагаем. На каждом из рисунков пере­ носные скорости точек плоской фигуры одинаковы и равны скорости полюса. Относительные скорости точек фигуры различны. Они равны

произведению угловой скорости со на расстояние точки от полюса и направлены перпендикулярно к отрезку прямой, соединяющему точку с полюсом.

Мгновенный центр скоростей. Пусть какаялибо, плоская фигура движется относи­ тельно своей плоскости, принятой нами за неподвижную. Будем считать, что эта фи­ гура имеет неограниченные размеры, или, что то же, соединим фигуру неизменно

с подвижной плоскостью, которая движется вместе с этой фигурой в той же неподвижной плоскости. Возьмем на фигуре две произволь­

Аналогично равны нулю проекции на BE скоростей всех точек, составляющих прямую BE. Следовательно, скорости точек, состав­ ляющих прямые АЕ и BE, перпендикулярны этим прямым.

Скорость точки Е равна нулю, потому что равны нулю ее проек­ ции на две пересекающиеся прямые АЕ и BE. Назовем эту точку

мгновенным центром скоростей и припишем ей индекс мцс:

В каждое мгновение на подвижной плоскости фигуры может быть