Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 295
Скачиваний: 2
точка |
со скоростью, |
равной нулю (мгновенный |
центр скоростей), |
|||||||||
то, следовательно, |
он |
и |
находится в точке касания1 . |
|
|
|
||||||
|
Пусть, например, колесо катится по прямолинейному |
рельсу |
||||||||||
(рис. 145). Рассмотрим движение |
колеса |
как составное, |
состоящее |
|||||||||
из |
переносного поступательного |
движения вместе |
с осью |
колеса |
О |
|||||||
и |
относительного |
вращательного |
движения вокруг этой |
оси. |
На |
|||||||
рис. |
145, а |
изображены |
переносные скорости |
некоторых |
точек |
|||||||
колеса, а на |
рис. 145, б—вращательные |
скорости |
тех же |
точек |
от |
|||||||
носительно центра колеса. В случае качения без скольжения и без буксования вращательная скорость точек, лежащих на ободе колеса, по модулю равна скорости оси, так как при повороте колеса на один полный оборот его ось переместится на 2ш, а точки обода опишут в их относительном вращательном движении окружности той же длины. Абсолютные скорости точек колеса изображены на рис. 145, в. Эти абсолютные скорости можно получить как вращательные ско рости вокруг мгновенного центра скоростей, совпадающего с точкой касания колеса и рельса (рис. 145,г).
Мгновенный центр скоростей лежит на самой катящейся фигуре или на неизменно с ней связанной подвижной плоскости. Точку, совпадающую с мгновенным центром скоростей, но лежащую на неподвижной плоскости, по которой движется фигура, называют мгновенным центром вращений. В рассмотренном примере мгновен ный центр скоростей лежит на ободе колеса, а мгновенный центр вращений—на рельсе.
|
Задача |
№ |
90. |
(№ |
24.3,582 М). |
Зацепление, приводящее в |
быстрое |
вращение |
|||||||||||||||||||
точильный |
камень, |
устроено |
|
следующим |
образом (рис. 146, а): стержень IV по |
||||||||||||||||||||||
средством особой ручки приводится во вращение |
вокруг |
оси |
Ох |
с |
угловой ско |
||||||||||||||||||||||
ростью |
|
ш4 . |
На |
конце 0 2 |
стержня |
находится |
палец, на |
который |
свободно |
надето |
|||||||||||||||||
колесо |
/ / радиуса |
г2 . |
При |
вращении |
ручки |
палец |
заставляет |
колесо |
/ / |
катиться |
|||||||||||||||||
без скольжения по наружному неподвижному кругу |
/ / / |
радиуса |
г3. При этом |
||||||||||||||||||||||||
благодаря |
трению |
колесо |
/ / |
вращает |
без |
|
скольжения |
|
колесо |
/ |
радиуса |
г ъ сво |
|||||||||||||||
бодно |
насаженное |
|
на |
ось |
Ох |
|
и неизменно |
связанное с осью точила. По данному |
|||||||||||||||||||
радиусу |
г3 |
наружной |
неподвижной |
обоймы |
|
найти такое значение гх, |
чтобы |
выпол |
|||||||||||||||||||
нялось |
соотношение |
- ^ i - = 12, |
|
т . е . |
чтобы |
точило |
вращалось |
в |
12 |
раз |
быстрее |
||||||||||||||||
приводящей его в движение ручки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Решение. |
В |
этом |
плоском |
механизме |
|
колесо |
/ / |
катится |
без |
скольжения по |
||||||||||||||||
неподвижному |
колесу |
/ / / |
и |
мгновенный |
|
центр |
скоростей колеса |
/ / |
находится |
||||||||||||||||||
в |
точке |
их касания |
(рис. |
146, |
б). |
Палец |
0 2 |
принадлежит |
стержню IV, |
и его |
|||||||||||||||||
скорость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Та |
же |
|
точка |
0 2 |
|
принадлежит |
колесу |
/ / , |
что |
позволяет |
определить |
его |
угловую |
||||||||||||||
скорость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х+ гг
юа = = ~ т — = с о 4 - — — - .УСЬ г
' 2 |
Т1 |
1 Автором этой теоремы следует считать Декарта, показавшего (1638 г.), что касательные к траекториям точек катящегося круга перпендикулярны к прямым, соединяющим эти точки с точкой касания круга с прямой, по которой он катится, и распространившего свое доказательство на прочие катящиеся фигуры.
227 |
8* |
Теперь нетрудно определить скорость точки |
В |
касания колес |
/ и / / . |
Эта |
||||
точка |
отстоит |
от |
мгновенного центра скоростей |
на расстоянии 2г2, |
т. е. в |
два |
||
раза |
дальше, |
чем |
точка 0 3 , |
поэтому и скорость ее вдвое больше: |
|
|
||
|
|
|
vB = |
">4 Г-±^1[Л 2г2 = 2со4 |
+ |
га ). |
|
|
|
|
|
|
' 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
146 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Та |
же |
точка |
В принадлежит колесу / (рис. |
146, в) |
и для |
определения |
угло |
|||||||||||
вой скорости этого колеса надо поделить окружную скорость на его радиус: |
|
|||||||||||||||||
откуда |
щ |
2 ( r i - f - r 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это |
отношение |
должно |
равняться |
12, |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 ( ЛХ + |
А 2 |
) |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Но |
нам |
задан |
радиус |
г 3 неподвижного |
обода |
/ / / . |
|
Как |
видно |
из |
чертежа |
|||||||
(см. рис. 146, а) гя |
= г1~\-2г2. |
|
|
|
|
получим ответ. |
|
|
|
|
||||||||
Решая совместно два последних соотношения, |
|
|
|
|
||||||||||||||
О т в е т . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
№ 91. Доказать теорему: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
если |
|
скорости |
уд |
и vg двух |
точек А |
|||||||
|
|
|
|
|
|
и |
В |
плоской |
фигуры |
перпендикуляр |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ны |
|
к |
прямой |
АВ, |
соединяющей эти |
|||||||
|
|
|
|
|
|
точки, то мгновенный |
центр скоростей |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
делит |
отрезок |
Л В |
на |
части, |
пропор |
|||||||
|
|
|
|
|
|
циональные величинам скоростей внеш |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ним образом, когда скорости направ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
лены в одну сторону, или внутренним |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
образом, |
когда |
скорости |
направлены |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
в противоположные |
стороны. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
Движение |
фи |
|||||||
|
|
|
|
|
|
гуры плоское. Мгновенный центр ско |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ростей должен лежать на прямой |
АВ, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
так |
как |
скорости |
перпендикулярны к |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
прямым, соединяющим их точки при |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ложения с мгновенным центром скоро |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
стей |
(рис. |
147, |
а). |
Вращение |
фигуры |
|||||||
|
|
|
|
|
|
может |
происходить в |
данное |
мгнове |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ние |
лишь |
в |
одну сторону |
(на |
нашем |
|||||||
рисунке—по часовой стрелке), поэтому мгновенный центр скоростей должен ле
жать |
по одну сторону, от точек Л и В, если их скорости направлены |
одинаково, |
||
и между ними, если скорости противоположны |
(рис. 147, б). В обоих случаях ско |
|||
рости |
точек пропорциональны их расстояниям |
от мгновенного центра |
скоростей: |
|
|
vA = e>-AEimc |
и |
vB==(0'BEMLC, |
|
что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
О т в е т . |
|
|
|
|
|
Л F |
|
|
|
|
^ ^ м и с |
VA |
|
|
При плоском движении фигуры подвижная центроида катится без скольжения по
Центроиды**. В |
различные моменты вре- |
|
мени |
мгновенный |
центр скоростей нахо- |
д и т с я |
в различных |
точках. Геометрическое |
|
r |
г „ |
|
неподвижной |
|
|
|
место |
мгновенных |
центров скоростей, |
т. е. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
совокупность всех точек, в которых |
за |
||||||||||||
время |
движения |
находился |
мцс, называют |
центроидой. |
Покажем, |
|||||||||||||||||
что |
центроида |
является |
непрерывной линией |
и мцс всегда переме |
||||||||||||||||||
щается |
из |
|
точки, |
|
в |
которой он |
в данное |
мгновение |
находится, |
в |
||||||||||||
какую-нибудь соседнюю, смежную точку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Пусть в мгновение |
t |
мцс находился |
где-либо |
в точке А, а через |
|||||||||||||||||
промежуток |
времени |
At |
переместился |
в |
точку |
В. |
В |
мгновение |
||||||||||||||
ti = t-\~At |
точка А |
уже не является |
мгновенным |
центром |
скоростей |
|||||||||||||||||
и имеет скорость |
vA |
— a>-AB, |
направленную |
перпендикулярно к |
АВ. |
|||||||||||||||||
Если промежуток |
времени Д^ мал, то |
скорость, |
приобретенная |
точ |
||||||||||||||||||
кой |
А к моменту |
t-\-At, |
тоже должна |
быть мала, |
|
потому что скоро |
||||||||||||||||
сти |
точек |
фигуры |
не могут |
изменяться |
скачками. При At, стремя |
|||||||||||||||||
щемся |
к нулю, скорость |
v точки |
А тоже стремится к нулю, а так |
|||||||||||||||||||
как |
угловая |
скорость |
со фигуры |
|
нулю |
не равна, |
то, следовательно, |
|||||||||||||||
к нулю |
стремится |
АВ, |
т. е. мгновенный |
центр |
скоростей |
во время |
||||||||||||||||
движения |
фигуры |
перемещается |
непрерывно. |
Если |
мы отметим |
|||||||||||||||||
все |
точки |
фигуры, |
которые |
были |
или будут |
мгновенными |
центрами |
|||||||||||||||
скоростей, то получим некоторую непрерывную кривую. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Положения |
мгновенных центров скоростей |
можно отметить |
и на |
||||||||||||||||||
подвижной |
|
плоскости |
х'Еу', |
неизменно |
связанной |
с фигурой, |
и на |
|||||||||||||||
неподвижной |
плоскости |
хОу. |
Геометрическое |
|
место |
мгновенных |
||||||||||||||||
центров скоростей на подвижной плоскости называют подвижной центроидой. Геометрическое место мгновенных центров скоростей на неподвижной плоскости (мгновенных центров вращений) называют неподвижной центроидой. В рассмотренном выше примере качения колеса по рельсу подвижной центроидой является обоД колеса, а неподвижной центроидой —рельс.
Покажем, что при всяком плоском движении подвижная центро ида катится без скольжения по неподвижной.
Предположим, что кроме точек фигуры имеется одна геометри ческая точка, назовем ее следящей точкой, которая не принадлежит этой плоской фигуре и движется относительно нее, совпадая в каж дое мгновение с мгновенным центром скоростей. Скорость следящей точки в ее движении по центроиде называют сменной скоростью мгновенного центра скоростей. Следовательно, под сменной скоростью мгновенного центра скоростей понимают ту скорость, с которой пе-
редается от мгновенного центра скоростей смежной по центроиде точке основное его свойство—иметь в данное мгновение скорость, равную нулю.
Во время движения фигуры следящая точка перемещается и отно сительно неподвижных координат и в самой движущейся фигуре. Ее движение относительно неподвижных координат хОу есть абсо лютное движение по неподвижной центроиде. Ее движение по движущейся фигуре есть относительное движение, движение по под вижной центроиде. Пусть (рис. 148, а) кривая ЕЕ изображает неподвижную центроиду, а кривая Е^ЕХ—подвижную. Предположим,
Рис. 148
что обе центроиды в мгновенном центре скоростей пересекаются.
В таком случае вектор абсолютной сменной скорости и должен быть направлен по касательной к неподвижной центроиде, а вектор
относительной сменной скорости иг по касательной к подвижной центроиде. По закону параллелограмма скоростей
и = иг-\-ие.
Переносной скоростью называют абсолютную скорость той точки среды (в данном случае фигуры), с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка. В данном случае переносная скорость следящей точки есть скорость мгновенного центра скоростей. Сле довательно
ие = 0 |
и и = |
иг. |
Мы доказали, что сменная |
скорость |
следящей точки по непод |
вижной центроиде геометрически равна ее сменной скорости по подвижной центроиде. Это означает, что обе центроиды в мгновенном
центре |
скоростей имеют общую касательную, т. е. не пересекаются, |
||
а лишь |
соприкасаются |
в этой точке. Наше предположение о пере |
|
сечении |
центроид оказалось |
неправильным и рис. 148, а должен |
|
быть заменен рисунком |
148, |
б. Из равенства абсолютной и относи |
|
тельной |
сменных скоростей следует, что за одни и те же промежутки |
||
