Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 294
Скачиваний: 2
т. е. величины скоростей точек фигуры пропорциональны расстоя ниям этих точек от мгновенного центра скоростей. Этот вывод можно сделать и из условий неизменяемости фигуры. В самом деле, если фигура движется в своей плоскости, а скорость одной из точек фи гуры равна нулю = 0), ТО скорости всех прочих точек должны быть пропорциональны расстоянию от мцс.
Таким образом, скорости точек плоской фигуры удовлетворяют обоим признакам враоїательньїх скоростей: они перпендикулярны и
пропорциональны отрезкам, |
соединяющим эти точки с мгновенным |
центром скоростей. |
|
Предыдущую пропорцию мы можем переписать так: |
|
VА |
_ VB |
AF |
RF |
где со—угловая скорость фигуры. Точки А и В взяты произвольно, поэтому полученный результат относится ко всем точкам фигуры.
Если сделанные нами построения не умещаются на площади дви жущейся фигуры, то это не ограничивает общности доказательств, так как эти построения могут быть сделаны не на фигуре, а на не изменно связанной с фигурой воображаемой подвижной плоскости.
Мгновенный центр скоростей играет важную роль в теории пло ского движения. Ознакомимся с некоторыми методами, позволяющими
найти |
эту |
точку на |
|
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
I . Положение мгновенного центра можно определить аналитически. |
|||||||||||
Задача № 84*. Определить |
координаты |
мгновенного |
центра скоростей, |
если |
|||||||
известны уравнения (112) движения плоской фигуры. |
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
Уравнения |
(114) |
выражают проекции скорости любой точки, коор |
||||||||
динаты |
которой хну. |
Скорость мгновенного центра скоростей равна нулю, обо |
|||||||||
значив |
его |
координаты |
|
через |
х м ц с и y w |
a c , |
подставим в |
уравнения |
(114) |
вместо |
|
скорости точки нуль, а вместо |
координат |
точки — координаты мгновенного |
центра |
||||||||
скоростей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°Ях — ( W — УЕ) М = 0 - |
vEy + (*мцс — Х Е ) |
<0 = 0, |
|
|
|
||||
откуда |
непосредственно |
получим координаты мгновенного центра скоростей. |
|
||||||||
|
|
|
|
Vjgy |
|
|
VEx |
|
|
|
|
О т в ет . * м ц с = х я — — ; |
г/„цс = < / я + ~ - |
|
|
(118) |
|||||||
В. этих |
равенствах |
хЕ |
и ув—координаты |
любой точки |
фигуры, a |
vEx |
и vEy |
— |
|||
проекции абсолютной скорости |
той же точки. |
|
|
|
|
||||||
И. Если известны угловая скорость со фигуры и линейная ско рость vK какой-либо одной точки К фигуры, то положение мгновен ного центра скоростей можно определить, рассматривая скорость vK как вращательную скорость вокруг мгновенного центра скоростей EMliC. Мы найдем эту точку £ м ц с , отложив от точки К перпендикулярно
к |
скорости |
vK отрезок КЕтс = ^~. |
|
В самом деле, вращательная скорость точки перпендикулярна |
|
к |
отрезку |
прямой, соединяющей эту точку с центром, а длина этого |
отрезка равна отношению вращательной скорости точки к угловой скорости. Прямой угол между направлением скорости vK и перпен-
дикуляром КЕ„ЦС должен быть положительным при вращении против часовой стрелки и отрицательным, если фигура вращается по часо вой стрелке (см. § 24).
Задача |
№ 85. Диск |
радиуса |
г = 20 |
см (см. рис. 137, стр. 217), |
катящийся |
|||
с угловой скоростью со = —50 сек*1 |
внутри неподвижного обода радиуса R = |
60 см, |
||||||
приводится |
в движение |
кривошипом |
OA, |
вращающимся |
равномерно |
вокруг |
Цен |
|
тра О неподвижного обода с угловой |
скоростью ы 0 = 25 |
сек*1. Найти |
мгновенный |
|||||
центр скоростей диска. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Известна угловая скорость диска и может быть определена скорость хотя бы одной из его точек. Такой точкой является палец А кривошипа OA. Точка А принадлежит не только диску, но и кривошипу, а потому ее скорость перпендикулярна к кривошипу и по модулю равна
|
|
|
vA = ОАщ = (R —- г) <и0 |
= 10 |
м/сек. |
|
|
|
||||
|
Рассматривая скорость точки А как |
вращательную |
скорость |
точки диска |
||||||||
вокруг его мгновенного центра скоростей, |
отложим перпендикулярно к ее скоро |
|||||||||||
сти |
отрезок |
Л £ м ц |
с = — = = — ж = 20 |
см. |
Диск |
вращается |
по часовой |
стрелке, и, |
||||
чтобы определить, |
в какую |
сторону |
надо |
восставить |
перпендикуляр |
к |
скорости |
|||||
vA, |
мы должны |
повернуть |
вектор |
vA |
на |
90° |
по |
вращению часовой |
стрелки. |
|||
|
О т в е т . |
Мгновенный центр находится |
в точке касания диска и неподвижного |
|||||||||
обода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям
I I I . Распределение |
скоростей |
точек |
|
фигуры |
таково, как |
будто фигура |
вра- |
щ а е т с я |
в данное |
мгновение вокруг |
|
|
|
г, |
^J |
точек фигуры мгновенного центра скоростей. Враща тельные скорости точек перпендикуляр ны к радиусам траекторий этих Точек, а все радиусы пересекаются
в центре. Поэтому, чтобы найти мгновенный центр скоростей, доста точно восставить перпендикуляры к направлениям скоростей какихлибо точек фигуры. Точка их пересечения является мгновенным1 центром скоростей. Перпендикуляры к направлениям скоростей точек надо восставлять, разумеется, в этих точках, так как скорость есть вектор закрепленный.
АВ |
Задача |
№ |
86. |
|
Стержни |
(рис. |
142, |
a) |
OtA |
и |
0„В, |
соединенные |
со стержнем |
|||||||||||||
посредством |
шарниров |
Л и |
В, |
|
могут вращаться вокруг неподвижных то.чек |
|||||||||||||||||||||
Oj |
и 0 2 , |
оставаясь |
в одной плоскости (шарнирный четырехзвенник). Даны: длина |
|||||||||||||||||||||||
кривошипа |
ОхА |
и |
его |
угловая скорость |
o^; |
длина |
коромысла 0 2 В |
и |
углы (pj и |
|||||||||||||||||
ф2 , которые шатун |
АВ |
|
образует |
с |
кривошипом |
и |
с |
коромыслом |
при |
данном |
||||||||||||||||
положении |
механизма. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Найти построением ту точку D шатуна, |
скорость'которой в данное |
мгновение |
|||||||||||||||||||||||
направлена |
вдоль |
шатуна, |
определить |
величину |
этой |
скорости |
и |
угловую ско |
||||||||||||||||||
рость |
со2 |
коромысла |
0 2 В |
как |
функции углов |
ф х |
и |
ф 2 . |
|
|
|
|
и |
станину |
||||||||||||
|
Решение. |
Механизм |
состоит из четырех твердых звеньев (включая |
|||||||||||||||||||||||
Ох02); |
естественно, |
что угловые скорости различных звеньев могут быть различны. |
||||||||||||||||||||||||
|
Шарнир А принадлежит кривошипу ОхА |
(рис. 142, |
б), его скорость |
перпен |
||||||||||||||||||||||
дикулярна |
к |
6\Л |
и |
по |
модулю |
равна |
vA |
= {£>l01A. |
Шарнир |
В |
принадлежит |
|||||||||||||||
коромыслу |
0 2 В , |
и |
потому |
его скорость |
vg (неизвестная |
по |
величине) |
направлена |
||||||||||||||||||
перпендикулярно |
к |
0 2 |
В . |
|
и В принадлежат шатуну АВ, |
а |
следовательно, |
их ско |
||||||||||||||||||
|
' Но те же точки |
А |
|
|||||||||||||||||||||||
рости |
vA |
и vg |
можно |
рассматривать |
как |
вращательные |
скорости |
вокруг |
мгновен |
|||||||||||||||||
ного |
центра |
скоростей |
шатуна АВ. |
Перпендикуляры, |
восставленные |
в |
точках |
|||||||||||||||||||
А |
и В к направлениям их скоростей, пересекаются |
в точке £ м ц с (рис. |
142, в), |
где, |
следовательно, и находится мгновенный центр |
скоростей. Скорость |
каждой |
точки шатуна перпендикулярна к отрезку прямой, соединяющему эту точку с мгновенным центром скоростей, и пропорциональна длине этого отрезка. Чтобы
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
. |
S) |
|
|
|
д) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
142 |
|
|
|
|
|
найти |
точку D, |
скорость |
которой |
направлена вдоль |
АВ, |
опустим перпендикуляр |
|||||||||
£ M U C D |
|
из точки |
Емас |
на |
эту |
прямую. Величина |
скорости |
vD~(oEmcD, |
где со — |
||||||
угловая |
скорость звена |
АВ, |
определить |
которую |
можно |
по известной |
скорости |
||||||||
шарнира |
А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Ф _ _ |
|
VA |
_ С 0 і - О 1 Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МНС |
^-^мцс |
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
это значение |
со в |
предыдущее равенство, |
найдем |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vD |
= |
vA- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'" - 'мцс |
|
|
|
|
|
но |
из |
прямоугольного |
треугольника |
АйЕшс |
имеем |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
•^"" с |
= s i n (180° — ф х ) = |
sin фі, |
|
|
||||||
а |
потому |
|
Л £ м ц с |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Vj)=vA-s\n ф х .
Чтобы |
определить угловую скорость |
коромысла |
ОгВ, |
найдем |
модуль |
скорости |
|||||||||||||||||
точки В, |
принадлежащей |
шатуну: |
|
|
|
|
BF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мцс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vB |
= a-BEmc |
= (o1-01A -jp |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л і : м ц с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угловую скорость со2 коромысла определим по скорости vB, |
так |
как |
точка |
В |
|||||||||||||||||||
принадлежит и коромыслу: |
|
|
|
„ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя теорему синусов, получим ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
О т в е т . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О, А |
БІпф, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
ОгВ |
sin |
ф 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
№ |
87 |
(№ 186. |
И. |
И. |
А р т о б о л е в с к и й , |
В. |
А. |
|
З и н о в ь е в |
и |
||||||||||||
Б . В. |
Э д е л ь ш т е й н . |
Сборник |
|
задач |
по теории |
механизмов и машин. Гостех- |
|||||||||||||||||
издат, 1947). Найти мгновенный |
|
центр |
скоростей |
звена |
BD |
(рис. 143, |
а) для |
||||||||||||||||
случая, |
|
когда: |
1) |
ф!=>45°; |
2) |
ф 1 2 |
= |
90°; |
3) ф ^ О 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
В этом |
плоском |
механизме |
звено |
BD |
продето в качающуюся |
шайбу |
||||||||||||||||
С и, двигаясь в плоскости чертежа, |
постоянно |
проходит |
через |
неподвижную |
|||||||||||||||||||
точку |
С. |
Следовательно, |
скорость |
той |
точки |
звена |
BD, |
которая |
в |
данное |
мгно |
||||||||||||
вение совпадает с точкой С, направлена вдоль звена BD. Точка |
В |
(палец кри |
|||||||||||||||||||||
вошипа) |
описывает |
окружность |
с |
центром |
в |
точке Л, |
и |
ее |
скорость |
всегда |
|||||||||||||
перпендикулярна |
к |
АВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.Рассмотрим первое заданное поло
жение |
механизма и |
нанесем |
на |
чертеж |
||
(рис. |
143, б) |
скорости |
точки |
В |
и |
точки |
звена |
BD, |
совпадающей при |
данном |
поло |
||
жении механизма с точкой С. Восставляя
перпендикуляры |
к скоростям |
в |
точках |
В |
|||||||
и С, |
найдем |
в точке |
их |
пересечения |
мгно |
||||||
венный центр |
скоростей звена |
В. |
|
|
|
|
|||||
2. |
При |
ф 1 2 = |
90° |
(рис. 143, |
в) |
перпен |
|||||
дикуляры, |
восставленные |
в точках |
В |
и |
С |
||||||
к направлениям скоростей, становятся па раллельными между собой и мгновенный центр скоростей уходит в бесконечность. При данном положении механизма распре деление скоростей точек звена BD не со ответствует такому, какое бывает при вра щательном движении, угловая скорость зве на равна нулю, линейные скорости всех то чек звена одинаковы.
3. Третье заданное положение механиз ма изображено на рис. 143, г. Как и в пре дыдущих случаях, восставляем перпенди куляры к скоростям точки В и к прямой ВС. Перпендикуляры пересекаются в точке С, следовательно, при данном положении меха низма мгновенный центр скоростей звена BD находится в точке С. Скорость той точки звена, которая совпадает с точкой С, в данное мгновение равна нулю. Рассматри ваемое положение звена называется «край ним положением» (или «мертвым положе нием»). Картина распределения скоростей точек звена BD в данном положении такова, как будто оно вращается вокруг точки С.
|
О т в е т . |
|
1) на |
пересечении |
линии |
АВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и |
перпендикуляра, |
восставленного в точке С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
к |
линии |
ВС; 2) в бесконечности |
в направле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
нии |
АВ; |
3) |
в |
точке |
С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
№ |
88. Прямая движется в плоскости. Показать, что величина скоро |
|||||||||||||||||
сти той |
точки |
прямой, |
которая |
ближе |
всех |
отстоит |
от мгновенного центра скоро |
|||||||||||||
стей, равна проекции скорости |
любой |
другой точки |
прямой |
на |
эту |
же |
прямую, |
|||||||||||||
(рис. |
144). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. |
|
Дано: прямая, мгновенный центр скоростей |
£ м |
ц с |
и угловая ско |
||||||||||||||
рость ш этой прямой. Опустив из точки £ м ц с |
перпендикуляр |
на данную |
прямую, |
|||||||||||||||||
определим точку D (см. рис. 144) прямой, находящуюся на кратчайшем рассто |
||||||||||||||||||||
янии |
от |
мгновенного |
центра скоростей. |
Скорость точки |
D равна vD = |
a-EMlxcD |
||||||||||||||
и направлена |
перпендикулярно |
к £ м ц с О , |
т. е. по данной |
прямой. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
СщС |
|
|
|
|
Возьмём на той же прямой какую-либо |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
другую |
точку |
А. |
Скорость |
точки |
А |
перпен |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дикулярна |
к |
АЕ |
мцс |
и |
равна |
УЛ = <Й-£М Ц С Л. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно |
из |
чертежа, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иF |
|
D1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
Л - |
|
м ц с ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" cos |
а |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м ц с " " |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а потому, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ c o s a = c o - £ M 4 C D = ii£,. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
Рис. 144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
225 |
|
|
|
|
8 № Ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как точку А мы выбрали на прямой совершенно произвольно, то, сле довательно, полученное равенство справедливо для всякой точки прямой.
|
О т в е т . |
Проекции скоростей всех |
точек |
прямой |
на эту прямую равны |
между |
||||||||||||||||||||
собой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
№ |
89. |
Линейка |
эллипсографа |
А В |
(см. рис. 89 на стр. 139) совершает |
|||||||||||||||||||
карданово |
движение, |
причем ползун |
А |
линейки |
движется |
по |
оси |
Оу, |
а |
пол |
||||||||||||||||
зун |
В — по |
оси Ох. При каком положении |
линейки |
скорость |
ползуна |
А |
вдвое |
|||||||||||||||||||
больше |
скорости ползуна |
В? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение. |
Эту |
задачу, |
уже |
решенную нами |
ранее |
(см. |
№ |
43 |
на |
стр. 139, |
|||||||||||||||
№ |
57 |
на |
стр. |
160), |
можно |
просто |
решить, |
|
пользуясь |
мгновенным |
|
центром |
||||||||||||||
скоростей. Восставим перпендикуляры в точках А к В к направлениям |
их |
|||||||||||||||||||||||||
скоростей. |
|
Перпендикуляры |
пересекутся |
в |
точке |
£ м |
ц с |
— мгновенном |
|
центре |
||||||||||||||||
скоростей |
линейки |
(эти |
построения |
на |
рис. 88 |
не |
сделаны). Величины |
скоростей |
||||||||||||||||||
точек |
линейки |
пропорциональны |
расстоянию |
этих точек |
от |
точки £ м ц |
с . |
|
Чтобы |
|||||||||||||||||
выполнялось условие |
1)^ = |
208, |
точка |
А |
должна |
отстоять |
от |
точки |
E m |
z |
вдвое |
|||||||||||||||
дальше, чем точка |
В, |
а так как 0АЕМ11СВ |
|
является |
прямоугольником, |
то |
|
хд==2уА. |
||||||||||||||||||
|
О т в е т . |
Хд = |
2уд. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
IV. При решении задач бывает полезно |
||||||||
' |
|
|
. . |
иметь |
, |
в виду, |
что если |
какая-либо пло- |
||||
|
При качении плоской фигуры |
|
|
|
•" |
|
по |
|
„ |
|||
|
по неподвижной кривой, ле- |
с к |
а я |
фигура |
катится |
другой плоской |
||||||
|
жащей в плоскости |
фигуры, |
фигуре, лежащей с ней в одной плоскости |
|||||||||
|
мгновенный |
центр |
скоростей |
(например, подвижная |
шестеренка катится |
|||||||
|
находится |
в точке |
касания |
п о |
неподвижной), то |
скорость |
точки ка |
|||||
|
|
|
|
тящейся фигуры, находящейся в данное |
||||||||
|
мгновение в соприкосновении с неподвижной фигурой, должна быть |
|||||||||||
|
равна нулю, если, конечно, |
качение |
не |
сопровождается |
проскаль- |
|||||||
