Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 298
Скачиваний: 2
времени следящая точка передвигается по подвижной и неподвижной центроидам на одинаковые расстояния, т. е., что при движении плоской фигуры подвижная центроида катится по неподвижной без скольжения.
|
Задача |
№ |
|
92. |
Эллипсограф |
(рис. |
149) |
состоит из линейки АВ длиной /, |
пол |
|||||||||
зуны А и В которой |
|
скользят в |
|
пазах крестовины. При движении линейки точки |
||||||||||||||
ее |
описывают |
эллипсы. Указать |
|
другой |
меха |
|
|
|
|
|||||||||
низм, |
в |
котором |
отрезок |
АВ — 1 |
совершает |
|
|
|
|
|||||||||
точно |
такое же |
движение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение. |
Движение линейки |
АВ |
плоское, |
|
|
|
|
||||||||||
а следовательно, оно может быть осуществлено |
|
|
|
|
||||||||||||||
качением |
подвижной |
|
центроиды |
|
по |
неподвиж |
|
|
|
|
||||||||
ной. Примем прорези крестовины за оси основ |
|
|
|
|
||||||||||||||
ной системы координат хОу. Подвижную систе |
|
|
|
|
||||||||||||||
му |
координат |
х'Еу' |
свяжем с линейкой, взяв за |
|
|
|
|
|||||||||||
начало ее середину Е. Мгновенный центр скоро |
|
|
|
|
||||||||||||||
стей |
находится |
на |
пересечении |
перпендикуля |
|
|
|
|
||||||||||
ров, |
восставленных |
к |
скоростям |
точек А |
и В |
|
|
|
|
|||||||||
(см. задачу |
№ |
|
89), |
'и, |
как |
видно |
из |
чертежа, |
|
|
|
|
||||||
находится |
на |
р а с с т о я н и и ' 0 £ м ц с |
= / от точки О |
|
|
|
|
|||||||||||
и на расстоянии £ £ м ц |
с |
= — от середины линей |
Рис. |
149 |
|
|
||||||||||||
ки, причем эти расстояния сохраняются |
при |
|
|
|||||||||||||||
всяком |
положении |
|
линейки. |
Следовательно, подвижная |
центроида, |
т. е. |
гео |
|||||||||||
метрическое место |
^„ц,. относительно |
подвижной системы |
х'Еу', |
есть |
окружность |
-У = тг
I
радиуса — с центром в Е, а геометрическое место £ м ц с относительно основной
системы хОу есть окружность
Х* + у2 = Р
радиуса / с центром в О.
Если мы сделаем две зубчатые шестерни с внутренним зацеплением радиусов /
ии заставим меньшую из них бегать внутри неподвижной большей, то ее
диаметр будет совершать такое же движение, какое совершает линейка АВ эллипсо графа. Такой механизм называют кругами Лагира. На этом примере читатель убедится, как знание теории может помочь при конструировании машин.
О т в е т . Круги Лагира.
План скоростей **. На рисунке 150, а изо бражена фигура, находящаяся в плоском движении и скорости vA и vB двух ее про извольных точек А к В. Напомним, что
проекции скоростей этих точек на прямую АВ равны между собой. От какой-либо точки О, не принадлежащей этой фигуре (рис. 150, б),
отложим направленные отрезки Oa = vA и Ob = vB, проведем прямую, параллельную отрезку АВ и спроецируем их на эту прямую. По основ ной теореме кинематики твердого тела в треугольнике ОаЬ сторона аЪ перпендикулярна направлению АВ. Воспользуемся этим обстоятель ством для графического построения, называемого планом скоростей и позволяющего определить скорости всех точек фигуры, если из вестна скорость одной точки А (рис. 150, б), и хотя бы только на правление скорости другой точки В.
Построим план скоростей (рис. 150, г), приняв произвольную точку О за полюс плана скоростей, т. е. за центр плоского пучка абсо
лютных скоростей точек фигуры. Отложим от полюса луч Оа, |
равный |
|||||
в некотором масштабе скорости vA, |
проведем |
через |
полюс |
прямую, |
||
параллельную направлению скорости точки |
В, |
а из точки а |
до пере |
|||
сечения с ней — отрезок ab перпендикулярно |
направлению АВ, |
прове |
||||
денному на фигуре (см. рис. 150, в). |
Направленный |
отрезок |
Ob из |
|||
ображает в том же масштабе вектор |
скорости |
точки |
В. |
|
|
|
Пусть скорость точки К фигуры |
не известна ни по величине, ни |
|||||
по направлению. Соединим точку К с точками А и В фигуры, |
скорости |
Рис. 150
которых известны (см. рис. 150, б). На плане скоростей (см. рис. 150, г) проведем от точки а линию, перпендикулярную направлению АК на
фигуре. По только что доказанному, конец направленного отрезка Ok, изображающего скорость точки К, должен лежать на этом перпен дикуляре.
Проведем от точки b плана скоростей прямую, перпендикулярную направлению ВК на фигуре, и повторим наши рассуждения: конец направленного отрезка Ok должен лежать и на этом перпендикуляре. Следовательно, точка k плана скоростей лежит на пересечении пер
пендикуляров, восставленных из точек а и b к |
направлениям |
АК |
и ВК, а отрезок Ok плана скоростей изображает |
скорость точки |
К |
фигуры. |
|
|
Отсюда можно вывести следующий графический метод определе ния скоростей точек фигуры при плоском движении (см. рис. 150, в, г).
Если известна скорость одной точки А фигуры и направление скорости другой точки В, то для определения скорости всякой точ ки К фигуры надо:
1) от произвольной точки О (полюса плана скоростей) |
отложить |
направленный отрезок Оа, изображающий скорости точки |
А; |
2) через полюс О провести направление, параллельное |
направле |
нию скорости точки В; |
|
3) от точки а плана скоростей |
провести прямую, |
перпендикуляр |
||||||||||||
ную отрезку |
АВ, соединяющему точки Л и В фигуры, |
до |
пересечения |
|||||||||||
в точке Ь с указанным в |
п. 2 направлением. Отрезок Ob изобразит |
|||||||||||||
скорость |
точки |
В; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) от точки а плана скоростей |
провести направление, перпенди |
|||||||||||||
кулярное |
отрезку |
АК |
на фигуре, |
а от точки b плана |
скоростей про |
|||||||||
вести |
направление, |
перпендикулярное |
отрезку |
ВК на фигуре до их |
||||||||||
пересечения |
в |
точке |
k. |
Отрезок |
Ok |
изобразит скорость точки К) |
||||||||
5) |
многоугольник |
|
abk ... |
плана скоростей |
подобен |
многоуголь |
||||||||
нику |
АВК • • • фигуры |
и повернут относительно него на 90°, так как |
||||||||||||
стороны их взаимно |
перпендикулярны. |
|
|
|
||||||||||
Поскольку отрезки Оа, Ob, Ok |
|
соединяющие полюс О с верши |
||||||||||||
нами a, b, k, ... |
плана скоростей, |
изображают |
абсолютные скорости |
|||||||||||
точек |
А, |
В, |
К, |
• • . , |
очевидно, |
что отрезки ab, ak, bk, ... |
изображают |
|||||||
в том же масштабе относительные скорости этих точек. |
|
|||||||||||||
Таким |
образом, |
план |
скоростей |
плоской |
фигуры |
представляет |
собой плоский пучок, лучи которого изображают абсолютные скорости точек плоской фигуры, а отрезки, соединяющие концы лучей,—от носительные скорости соответствующих точек. План скоростей можно
построить не только для неизменяемой фигуры, но и для целого ме |
|||||||||||
ханизма, как это показано |
при решении задачи № 93. |
|
|
||||||||
Задача № 93. ** Определить |
скорости |
точек |
А, |
В и D механизма, |
изображен |
||||||
ного на рис. 151, а, в положении |
ф = 30° и при следующих |
данных: ш = 20 |
сек-1, |
||||||||
ОЛ = 50 мм, |
ОС = 200 мм, |
ЛВ = 250 мм, В£> = 200 |
мм. |
|
|
|
|||||
Решение. |
Прежде |
чем |
строить план |
скоростей, |
нужно |
точно в масштабе по |
|||||
строить план |
механизма |
при заданном положении. От точки О' |
(рис. 151, б) |
||||||||
откладываем |
перпендикулярно |
к |
OA |
в |
масштабе, |
отрезок |
0'а = ид = |
||||
= 20-50= 1000 мм/сек. |
На |
нашем |
рисунке |
принят |
масштаб: |
1000 мм/сек = 25 |
мм. |
||||
Скорость точки звена |
АВ, |
совпадающей при данном положении механизма с точ |
|||||||||
кой С, направлена по |
АВ. |
Поэтому от полю:а О' отложим |
параллельно АВ |
на |
а
О'
В
Рис. 151
правление-этой скорости, а от точки а проведем перпендикуляр к этому направ лению. В пересечении получим точку с. Отрезок acb плана скоростей подобен от резку АСВ механизма. Точку b плана находим по подобию, сохраняя те же пропорции.
Проводим от точки а направление перпендикулярно к AD, а от точки Ь — направление перпендикулярно к BD и в пересечении находим точку d.
Полученная на плане фигура acbd подобна фигуре ACBD механизма. Скорости точек механизма по величине и направлению изображаются отрезками, соединяю
щими полюс |
плана О' |
с соответствующими точками плана скоростей. |
О т в е т . |
vA =1000 |
мм/сек, 1>£ = 450 мм/сек, У д = 1040 мм/сек. |
Задача № 94. Скорость точки А фигуры, движущейся в своей плоскости, из
ображена |
в |
заданном |
масштабе |
вектором |
vA |
(рис. 152, а). |
Указано |
направление |
||||||||||
скорости точки В. Определить.графически скорости точек В я С. |
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
Задачу решим |
тремя способами. Все |
эти три способа |
графические и |
||||||||||||||
результат |
зависит |
от |
точности |
выполнения |
чертежей. |
|
|
|
|
|
||||||||
1-й способ |
(по основной |
теореме кинематики |
твердого |
тела). |
Проведем |
пря |
||||||||||||
мую |
АВ |
через |
точки |
А |
и |
В |
(рис. 152, б) и |
спроецируем |
на |
нее |
вектор |
ско |
||||||
рости |
VA- |
От |
точки В по |
этой |
прямой |
отложим |
отрезок, |
равный |
проекции на |
|||||||||
нее юд и от конца этого отрезка восставим перпендикуляр |
до пересечения с |
нап |
||||||||||||||||
равлением скорости точки В. |
Вектор скорости точки В определен. . |
|
|
|||||||||||||||
Проведем |
прямую |
через |
точку А и С. Спроецируем на нее vA, |
отложим от |
||||||||||||||
точки |
С отрезок, |
равный |
этой |
проекции, и от конца его восставим |
перпендикуляр |
|||||||||||||
к АС. |
Проведем |
прямую |
через |
точки В |
и С, |
спроецируем |
на |
нее |
vg, отложим |
|
|
|
Рис. |
152 |
|
|
|
от точки С отрезок, равный |
этой проекции |
и от его конца |
восставим перпендику |
||||
ляр к ВС. Проводим вектор |
vc от точки |
С |
до |
пересечения |
перпендикуляров. |
||
2-й способ (по |
плану |
скоростей) **. От |
произвольной |
точки О отложим на |
|||
правленный отрезок |
OO = |
VA |
(рис. 152, в). От |
той же точки О проведем прямую, |
параллельную вектору скорости точки В. |
До пересечения с этой прямой в какой-то |
|||
точке Ь проведем от точки а отрезок ab |
перпендикулярно |
АВ. |
Вектор |
скорости |
точки В представлен отрезком Ob. |
|
|
|
|
От точки а проведем прямую, перпендикулярную АВ, |
а от |
точки |
Ь, перпен |
дикулярную ВС. Эти прямые пересекутся в какой-то точке с. Отрезок Ос по ве
личине и |
направлению |
представляет |
скорость точки С. |
|
|
|
||||||
3-й способ (по мгновенному |
центру скоростей). От точек А и В восставим |
|||||||||||
перпендикуляры |
к направлениям |
скоростей до их пересечения в мгновенном |
центре |
|||||||||
скоростей |
£ М ц С . |
Соединим |
£ м ц с |
с |
концом |
а вектора |
вд. Тангенс |
угла |
6 |
между |
||
отрезками |
£ m U C А |
и Е„ас |
а, |
соединяющими |
£ м ц с с |
началом Л и с |
концом |
а век |
||||
тора скорости какой-либо точки |
Л |
фигуры, |
равен |
в |
принятом масштабе |
угловой |
||||||
скорости |
фигуры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t „ * |
|
А а |
|
°А |
_ ю Л £ м ц с |
|
|
|
||
|
|
а |
AF |
|
Д р |
— ~AF |
|
ш* |
|
|
|
|
|
|
|
л і - м ц с |
|
л 1 - м ц с |
л с ы ц с |
|
|
|
Проведя отрезок EMllcb |
|
под |
углом б к отрезку ЕМ1ХСВ |
|
до |
пересе- |
|||||||||||||||||
чения с заданным направлением вектора скорости vB, |
|
определим |
|||||||||||||||||||||
скорость vB = Bb. |
|
|
скорости всякой точки С фигуры надо провести |
||||||||||||||||||||
Для |
определения |
||||||||||||||||||||||
отрезок |
ЕМЦСС |
и |
под |
углом |
8 к |
нему |
отрезок |
Емцсс |
до |
пересечения |
|||||||||||||
в точке |
|
с с |
перпендикуляром, |
|
восставленным в точке С к |
отрезку |
|||||||||||||||||
£ М Ц С С . |
Вектор |
скорости |
vc |
= Cc. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ускорение точек фигуры при плоском |
||||||||||||
Ускорение |
любой |
точки |
фи |
движении*. Чтобы определить ускорение |
|||||||||||||||||||
гуры, |
совершающей |
|
плос |
точки |
К |
плоской |
фигуры, надо |
продиф |
|||||||||||||||
кое |
движение, |
равно |
геомет |
ференцировать |
равенства (114), |
выражаю |
|||||||||||||||||
рической |
|
сумме |
ускорения |
||||||||||||||||||||
полюса |
и |
ускорений |
|
точки |
щие |
скорость |
этой |
точки. Введем |
обозна |
||||||||||||||
при |
вращении |
фигуры |
отно |
чения: |
хх |
= х—хв |
и У і = у—ув |
|
и |
пёрепи- |
|||||||||||||
|
|
сительно |
полюса |
|
|
шем |
эти равенства в следующем виде: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Дифференцируя, имеем |
|
У |
= |
|
УЕ+ХІЧ- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = xB—y1<p — yJy, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
= |
|
|
УЕ+ХІЧ>+Х\^- |
|
|
|
|
|
|
|||
По формулам Эйлера |
(см. |
89) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-УіЧ> и |
у1 = х1ц>. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя, |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а* •-•аЕх—ухг- |
|
|
|
|
|
|
|
|
(119) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ау^йЕу |
+ |
|
|
х ^ — у ^ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
В правых частях этих равенств согласно (95) вторые члены |
||||||||||||||||||||||
выражают проекции |
касательного, |
а |
третьи — проекции |
центростре |
|||||||||||||||||||
мительного |
ускорения точки |
К. во вращательном |
движении |
фигуры |
|||||||||||||||||||
относительно полюса Е. Они отли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
чаются от известных нам равенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(95) |
|
только |
тем, |
что в данном слу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
чае |
ось вращения |
|
проходит |
не че |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
рез начало координат О, а |
через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
полюс |
Е |
(рис. |
153). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Эти |
равенства |
|
показывают, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
проекции на какую-либо неподвиж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ную |
ось |
ускорения |
каждой |
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
К фигуры |
равны |
алгебраической |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
сумме |
проекций |
на |
эту |
ось трех |
|
|
|
|
р и с |
^ |
|
|
|
||||||||||
его |
составляющих: ускорения |
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
люса |
Е, |
касательного |
ускорения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
точки К во вращении фигуры вокруг |
полюса |
Е и |
центростремитель |
||||||||||||||||||||
ного |
ускорения точки К в том же движении фигуры. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Если вместо алгебраической суммы проекций мы пожелаем взять |
||||||||||||||||||||||
геометрическую |
сумму |
ускорений, |
то |
вектор |
ускорения |
точки К |