Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 296
Скачиваний: 2
мы определим как сумму трех векторов: ускорения полюса Е, касательного ускорения точки К во вращательном движении фигуры вокруг полюса и центростремительного ускорения точки К в том же движении фигуры, т. е.
|
|
|
|
|
a = aE |
+ arT |
+ arN, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(104") |
|||||
где, |
обозначив через гх |
расстояние данной точки от полюса Е, имеем |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
агТ |
— ггх |
и arN |
— &2rx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача № 95. Электропоезд при отходе со станции движется по прямолиней |
|||||||||||||||||||||
ному |
участку |
пути с |
ускорением 3 м/сек2, |
причем |
колеса |
катятся |
без |
буксования |
|||||||||||||
и без скольжения. Найти |
|
ускорение |
мгновенного |
центра |
скоростей |
колеса |
через |
||||||||||||||
2 сек после отхода поезда, |
если |
радиус |
колеса 0,5 |
м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
Мгновенный |
центр скоростей лежит на ободе колеса |
в |
точке |
каса |
||||||||||||||||
ния |
его с рельсом. |
Движение |
колеса |
|
рассмотрим |
как составное, состоящее из |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
переносного (поступательного и прямолинейного) дви |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
жения |
вместе с |
центром |
Е |
колеса |
и |
относительного |
||||||||||
|
|
|
|
|
вращательного вокруг оси колеса (рис. 154). |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Скорость |
поезда, а следовательно, и скорость точ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ки |
Е |
через |
2 |
сек при |
равноускоренном |
движении |
||||||||||
|
|
|
|
|
равна |
v = aTt |
= |
6 м/сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Деля эту величину на расстояние точки Е от |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
мгновенного центра скоростей |
£ м ц с , находим |
угловую |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
скорость |
колеса в конце |
второй секунды: |
|
|
|
|||||||||||
ШШШШШУ/////'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
со = — = |
12 |
|
рад/сек. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Емис |
|
|
|
Определим также |
угловое |
ускорение |
колеса: |
|||||||||||||
|
Рис. 154 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 6 |
|
рад/сек2. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь мы располагаем всеми данными для определения |
ускорения |
точек |
||||||||||||||||||
колеса по формуле (104"). Ускорение мгновенного центра |
скоростей, как |
и всякой |
|||||||||||||||||||
точки 'колеса, |
выражено |
суммой |
трех |
составляющих: |
1) |
переносного ускорения |
|||||||||||||||
ае, равного ускорению полюса |
Е, |
но |
приложенного |
в |
данной |
точке |
ЕМ11С |
(вели |
|||||||||||||
чина |
ускорения задана |
3 |
м/сек2; |
если |
поезд движется |
влево, |
то |
|
и |
ускорение |
|||||||||||
направлено горизонтально влево, см. рис. 154); 2) касательного ускорения точки
при |
вращении |
колеса |
вокруг |
центра |
Е; |
эта составляющая |
равна |
8л = 6-0,5 |
= |
|||||||||
= 3 м/сек2. |
Если |
поезд |
движется |
влево, |
то |
колеса |
|
вращаются против |
вращения |
|||||||||
часовой |
стрелки |
и эта |
составляющая* |
ускорения |
в |
нижней |
точке |
колеса |
на |
|||||||||
правлена вправо |
по касательной; |
3) |
центростремительного |
ускорения, равного |
||||||||||||||
со2 / = |
144-0,5=5=72 м/сек2 |
и направленного |
к |
центру |
|
колеса. |
|
|
|
|
||||||||
Направления |
этих |
двух составляющих |
у всех |
точек обода колёса |
различны. |
|||||||||||||
В наинизшей точке абсолютное ускорение |
найдем, складывая |
три его |
|
составляю |
||||||||||||||
щие. Оно равно 72 м/сек2 |
и направлено вверх. Абсолютная скорость |
мгновенного |
||||||||||||||||
центра |
скоростей |
в данное мгновение равна нулю, |
абсолютное ускорение мгно |
|||||||||||||||
венного |
центра |
скоростей |
нулю |
не |
равно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
О т в е т , |
а = |
72 м/сек2 |
и направлено |
вверх. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Обратим внимание на то, что точка фигуры (в данном случае колеса), в которой находится мгновенный центр скоростей, не имеет скорости (УМ Ц С — 0), но имеет ускорение (Ямцс^О). Через весьма малый промежуток времени At эта же точка фигуры будет иметь некоторую скорость Ди = ам ц с Д^, перпендикулярную к прямой, соеди-
няющей |
ее |
с |
новым |
положением |
мгновенного |
центра |
скоростей, |
||||
т. е. перпендикулярную |
к |
общей |
касательной |
к |
центроидам. То же |
||||||
направление |
всегда имеет |
и а м ц с . |
|
|
ускорений |
при плос |
|||||
Ту точку фигуры, совершаю |
|
**Мгновенный центр |
|||||||||
|
ком движении. Итак, ускорения точек |
||||||||||
щей плоское движение, уско |
|
||||||||||
рение которой в данное мгно |
|
фигуры складываются из переносного уско |
|||||||||
вение равно нулю, |
называют |
|
рения в |
поступательном движении |
вместе |
||||||
мгновенным центром ускоре |
|
с полюсом |
£ и из относительного |
ускоре |
|||||||
ний |
плоской |
фигуры |
|
ния во |
вращательном |
движении |
вокруг |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
полюса Е. В поступательном движении ускорения всех точек фигуры одинаковы и равны ускорению полюса Е. Во вращательном движе нии ускорения всех точек фигуры различны между собой. Если
фигура в данное мгновение имеет |
угловую скорость со и угловое |
|
ускорение є, то ускорение |
какой-либо точки К, принадлежащей |
|
этой фигуре, по модулю равно: |
|
|
a, |
= ЕК |
+ (л* |
и составляет с отрезком ЕК, угол р., тангенс которого
: с о 3
Таким образом, различные точки К фигуры имеют при вращении фигуры различные по величине и по направлению ускорения. На всей фигуре нет двух точек с одинаковыми векторами ускорений.
|
Рис. 155 |
|
|
|
Вместе с тем на самой фигуре |
или на плоскости, вращающейся |
вместе |
||
с нею, во всякое мгновение есть одна точка, |
имеющая |
любой, |
напе |
|
ред заданный нами, вектор ускорения аг. В |
частности, |
всегда |
можно |
|
найти на плоскости фигуры |
такую точку, у |
которой в |
данное мгно |
|
вение вектор ускорения в относительном вращательном движении равен и противоположен вектору ускорения в переносном посту пательном движении, а следовательно, абсолютное ускорение этой
точки равно нулю. Ее называют |
мгновенным |
центром |
ускорений |
пло |
||||||||
ской фигуры1. |
Мы будем приписывать ей индекс |
мцу. |
|
|
|
|||||||
Чтобы определить положение мгновенного центра |
ус |
орений |
£ н ц у |
|||||||||
на плоскости фигуры, |
отложим |
(рис. 155, а) |
от полюса |
Е (за полюс |
||||||||
может быть принята любая точка |
фигуры) |
отрезок |
£ £ м ц у |
опреде |
||||||||
ленной длины: |
|
рр |
|
gg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть |
этот |
отрезок составляет |
с ускорением |
аЕ |
полюса |
Е |
угол |
|||||
|
|
|
Li = |
arctg^-2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол |
\х лежит в |
пределах |
между —90° и +90°. Конечно, если |
|||||||||
є > 0, то угол ц надо отмерять |
в положительном направлении, т. е. |
|||||||||||
против хода часовой стрелки, если |
же є < 0, |
то по ходу. > Покажем, |
||||||||||
что конец этого отрезка (точка |
Емщ) |
является |
мгновенным |
центром |
||||||||
ускорений плоской фигуры. Действительно, относительное |
и |
пере |
||||||||||
носное ускорения этой точки равны |
по модулю |
|
|
|
|
|
||||||
|
аг |
= ЕЕмау |
V# + tf |
= • |
V^T^ |
= |
аЕ |
|
|
|
||
и, как видно из чертежа, противоположны по направлению. Следова тельно, абсолютное ускорение найденной нами точки в данное мгно
вение |
равно нулю: |
|
|
|
а „ ц у = 0. |
|
|
|
|
(120) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Этим простым построением можно найти Емау |
всякой |
фигуры, |
||||||||||
движущейся в своей |
плоскости. |
|
|
|
|
|
||||||
Ускорения |
точек |
плоской |
**Рассмотрим |
движение |
плоской |
фигуры |
||||||
фигуры |
относительно мгно- |
к |
а к |
составное |
приняв за полюс |
мгновен- |
||||||
венного |
центра |
ускорении |
|
|
„ |
|
> |
г |
ц |
фигуры, |
||
являются |
абсолютными |
ус- |
н |
ь ш |
Центр |
ускорении |
плоской |
|||||
|
корениями |
|
Тогда в правой |
части |
формулы |
104' (см. |
||||||
|
|
|
|
|
стр. 195), выражающей абсолютное уско |
|||||||
рение |
произвольной |
точки |
К фигуры |
как |
сумму |
ее относительного |
||||||
и переносного ускорений, отпадет второе слагаемое (ускорение
полюса) и |
величина |
абсолютного |
ускорения всякой точки |
фигуры |
|
выразится |
простой формулой: |
|
|
|
|
где |
|
a = ar |
= arT |
+ arN, |
|
агТ |
= гКЕМІіу |
и |
arN = а>2КЕмцу |
|
|
|
|
||||
или |
|
а = КЕыяуУйГ+&- |
(121) |
||
|
|
||||
1 Вполне определенная точка с абсолютным ускорением, равным в данное мгновение нулю, бывает не только при движении фигуры в ее плоскости, но и при произвольном движении тела (см., например, Г. К. С у с л о в . Теоретическая механика. Гостехиздат, 1944 г., стр. 114). Мгновенный центр скоростей сущест вует только при плоском движении.
Направление абсолютного ускорения каждой точки К этой фигуры
составляет с отрезком прямой КЕшу, |
соединяющим ее с мгновенным |
|||||
центром |
ускорений, один и |
тот же угол |
д., определяемый по тан |
|||
генсу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t g ! x = J . |
(121') |
|
Следовательно, |
картина |
распределения |
ускорений на время dt |
|||
такова, |
как будто |
бы фигура вращается в своей плоскости вокруг |
||||
£ м ц у с |
угловой |
скоростью |
« в и с |
угловым ускорением е. Это не |
||
относится к их |
нормальным и касательным составляющим, как |
|||||
показано в задаче № 97.
В виду того, что угол п. между абсолютным ускорением точки фигуры и отрезком, соединяющим эту точку с £ м ц у , для всех точек
фигуры один и тот же, надо |
сделать |
заключение, что £ м |
ц у нахо |
||||||||
дится |
на пересечении прямых, проведенных под углом u. = arctg^2 |
||||||||||
к |
ускорениям точек фигуры (рис. 155, б). Если известны ускорения |
||||||||||
двух |
точек |
фигуры |
и угол р,, то надо от этих точек |
под углом II |
|||||||
к |
их ускорениям провести прямые до их пересечения в точке £ м ц у . |
||||||||||
В |
задаче № 96 дан аналитический способ определения £ м ц у . |
|
|||||||||
|
Задача № 96. Определить координаты мгновенного |
центра ускорений |
плоской |
||||||||
фигуры, |
если |
известны ее угловая скорость, угловое |
ускорение, а также |
коорди |
|||||||
наты |
хЕ |
и уЕ |
И проекции ускорений |
а Е х и аЕу |
одной |
из точек |
Е этой |
фигуры. |
|||
|
Решение. |
Проекции |
ускорений |
каждой точки |
К |
связаны |
е координатами |
||||
хх |
— х—хЕ |
и у\—у—уЕ |
ЭТОЙ точки соотношениями |
119 (см. стр. 235). Ускорение |
|||||||
мгновенного |
центра ускорений равно нулю, поэтому, заменяя |
в 119 х и у на |
|||||||||
* м ц у |
и Умцу и |
подставляя |
нули вместо ах и ау, |
получим: |
|
|
|||||
|
|
|
|
аЕх — ( { / м ц у — У Е ) е — ( * м ц у — х Е ) ( і > 2 = 0 , |
|
|
|||||
|
|
|
|
а-Еу + ( х к щ — хЕ)е — |
(умау—уЕ)ау2=0. |
|
|
||||
Умножая первое из этих равенств на со2, а второе на —г и складывая, найдем * М Ц у , а умножая первое равенство на + е , а второе на со2 и складывая, найдем ординату.
О т в е т .
|
|
|
ая*<о2 —аЕуг |
|
|
_аЕхг-\-аЕуа,2 |
|
| |
|
|||
|
|
|
* м ц у — |
8 а _ | _ ю 4 |
г % . г / м ц у — |
е 2 + с о * |
тУЕ- |
|
||||
Задача |
ЛЬ 97**. |
В планетарном |
механизме |
шестеренка |
радиуса |
#==100 мм |
||||||
(рис. |
156, а) катится |
против хода часовой стрелки по неподвижной шестеренке |
||||||||||
радиуса |
/?г |
= 480 лш, |
имея |
в данное |
мгновение |
угловую скорость & = 2 сек~1 и |
||||||
угловое |
ускорение є = 1,655 се/с - 2 . Найти |
построением |
мгновенный |
центр уско |
||||||||
рений, |
его координаты |
(по формулам, |
выведенным в задаче № 96), найти полное, |
|||||||||
нормальное |
и касательное |
ускорения |
центра шестеренки О, мгновенного центра |
|||||||||
скоростей |
^„ц с и диаметрально |
противоположной |
точки |
А. Определить абсолют |
||||||||
ное нормальное и абсолютное касательное ускорения точки |
А. |
|
||||||||||
Решение. |
Мгновенный центр |
скоростей |
находится в точке E w z |
касания шес |
||||||||
терен. Окружность подвижной шестерни является подвижной центроидой, а окруж
ность неподвижной |
шестерни — неподвижной центроидой. Построим оси координат |
|||
с началом в £ м ц с , |
направив ось абсцисс влево, |
т. е. в ту сторону, куда перед |
||
вигается точка касания центроид при'качении |
подвижной |
центроиды |
по непод |
|
вижной. Ось ординат направим вниз (правая система). - |
|
|
||
Скорость центра О подвижной шестеренки |
определим |
по угловой |
скорости |
|
фигуры и по расстоянию точки О от мгновенного центра скоростей |
|
|||
vо = шО ^мцс = 200 мм/сек.
