Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл (22,35Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 297

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Определим касательное ускорение точки 0:

	ато	= еОЕтс	= 165,5 мм/сек2.
Точка О описывает	окружность		радиуса R + R t = 100 + 480 = 580 мм и век
тор касательного ускорения		направлен по касательной к окружности, описывае
мой точкой О. Величину	нормального		ускорения определим, поделив квадрат ско
drT			рости точки О на радиус		описыва-
drT			емой ею окружности
				40 000	мм/сек2;
			<*No =ООу	580 - = 69	мм/сек2;

направлен вектор нормального ускорения к центру окружности, описываемой точкой О.

Вектор полного абсолютного ускорения точки О направлен по диагонали прямоугольника, постро енного на этих составляющих и по модулю равен:

т,\ + а

= К"32 151 = 179,3 мм/сек2.

Зная о, є и ускорение точки О, мы могли бы найти мгновенный центр ускорений и, пользуясь им, определить ускорения остальных точек. Однако целесообразно сна-

/ чала по схеме (110'), приняв точку О за полюс, найти ускорение мгновен ного центра скоростей. Заполнив эту схему, получим (рис. 156, б).

						/drT	= er =		165,5
						у<хеТ	— 165,5
						\ z e i	v =	69
						ас = 0
			Полное абсолютное				ускорение			точ
			ки	£ M U C	равно геометрической					сум
			ме	составляющих.			Относительное
			касательное			ускорение		равно		по
			величине		и противоположно по на
			правлению			переносному			касатель
			ному, их сумма равна нулю. Отно
Рис.	156		сительное			нормальное		направлено
			по одной прямой, но в противопо
			ложную		сторону		с	переносным
нормальным ускорением. Следовательно абсолютное ускорение							точки		Я м ц с	по
величине равно	а м ц с = 400—69 = 331			мм/сек2
и направлено к точке	а м ц с = 400—69 = 331			мм/сек2			сторону. Следо
и направлено к точке	О, т. е. по	оси	ординат в отрицательную				сторону. Следо
вательно:
	а м ц с х~®>	аа!ХСу	= —331	мм/сек2.

Точка подвижной шестеренки, которая в данное мгновение является центром скоростей, описывает эпициклоиду и в заданное мгновение находится в точке возврата своей траектории. Таким образом абсолютное ускорение мгновенного

центра скоростей является абсолютным касательным ускорением. Нормальное ускорение мгновенного центра скоростей равно нулю.

Найдем теперь мгновенный центр ускорений. Определим сначала угол р.:

1,655

t , .

= ^ = + - 4 -

= 0,414.

По таблицам

определяем

|х =

22°30'.

Повернув

вектор

ускорения

а м ц

на

этот

угол против

хода часовой стрелки

(потому что є > 0), отложим в найденном направлении

отрезок

(рис. 156,

а)

о М ц С

331

^ Е ^ = y w ^ =

v r m = 7

м м '

Конец

£ м ц у этого отрезка

является

мгновенным

центром

ускорений подвиж

ной

шестеренки

в данное

мгновение. Координаты

этой

точки

в выбранной

нами

системе отсчета можно определить непосредственно

по чертежу или же

подсчитать

по общим формулам,

полученным при решении

предыдущей

задачи № 96,

а м ц с ^ - е -331-1,655

• а М Ц с у М 2 _ - 3 3 1 - 4

_ .

^ ?

* м ц у -

е 2 +

С 0 4 - -

1 8 j 4

— " h ^ . У м ц у - 8 2+

( 0 4 -

1 8 > 7 4 -

/ и ' Л

Теперь для определения ускорения точки А надо

знать

только ее расстояние

от

£ м Ц у .

Это расстояние

легко

определить по формуле

аналитической

геометрии

или

по теореме

косинуса:

АЕ2Мцу

= 76,62

+ 2002

— 2-76,6• 200-0,924 = 17 556.

Извлекая

корень, находим

АЕ^цу

— 132,5

мм.

Остается

лишь

подсчитать

по формулам

относительное

нормальное ускорение

а/ .дг=<в2 Л£ ' М Ц у = 4-132,5 = 530

мм/сек^

и отложить

его

от

точки

по направлению

Еу

тельное касательное

ускорение-

агТ

= еАЕШ1у=

1,655-132,5 = 219,3

мм/сек?

и отложить

его перпендикулярно

к АЕш1у,

сообразуясь

со знаком. Полное

отно

сительное ускорение можно определить как диагональ прямоугольника или непо

средственно

подсчитать по формуле

аг=АЕшу

| / " 8

2 +

ш 4

= 132,5

У~18,74 = 573,6

мм/сек2

и отложить вектор под углом ц. (в нашей задаче +22°30')

отрезку

Л £ м ц у .

Движение

плоской

фигуры

мы рассматривали,

как

составное,

состоящее из

переносного

поступательного

вместе с

полюсом и относительного

вращательного

вокруг полюса,

приняв

за полюс мгновенный центр ускорений. При таком усло

вии переносное ускорение и ускорение Кориолиса

равны нулю и в схеме (ПО')

остается

только одна ее

часть.

Полное

относительное

ускорение

становится

тождественным

полному

абсолютному ускорению. Но чтобы получить абсолютное

нормальное ускорение и абсолютное касательное

ускорение

точки,

мы должны

спроецировать

это

полное

ускорение

точки

на прямую,

соединяющую эту точку

с мгновенным центром скоростей (а не ускорений),

и на

прямую,

ей

перпендику

лярную, т. е. надо

спроецировать

ускорение на главную

нормаль

абсолютной

траектории

точки

и на

направление

абсолютной

скорости. Схема

(110') прини

мает вид:

у<2г = а м ц у = 0

по

абсолютной

скорости

,агТ

П °

о т

н о с

и т

е л

о й

скорости

или

против

нее

и л

П Р ° Т И В

на

мгновенный

центр

)

а ~аг(

относи-

скоростей

или от него

)

перпендикулярно

r "

тельной

скорости

Х = о

Чтобы вычислить эти проекции, найдем сначала					по теореме синусов угол
между направлениями на £ M U C		и £ M u y v = 1 2 ° 4 5		' и затем
a r = a c o s ([x +			v) = 573,6-0,817 = 468,6		мм/сек2,
aN	= a sin	+	v) = 573,6• 0,577	= 331,0	мм/сек2.
Приняв £ м ц у	за полюс,		мы достигли	того,	что абсолютное уско
рение всякой точки фигуры стало равно ее относительному						ускоре
нию. Но мы должны помнить, что нормальная					и касательная	состав

ляющие абсолютного ускорения не равны нормальной и касательной составляющим относительного ускорения. Это происходит оттого, что не тождественны между собой абсолютное и относительное дви


жения		точек.	Так, например, в рассмотренной задаче № 97 точка О
в	абсолютном		движении описывает окружность радиусом R + Rt =
=	580 мм с центром			в точке	Ог, а в относительном	движении дви
жется		вокруг	£ м ц у	по дуге	радиуса 0 £ м ц у , точка	А в абсолютном

движении описывает гипоциклоиду, а-в относительном движется по дуге окружности радиуса 132,5 мм с центром Емщ.

Понятия о мгновенном центре скоростей и мгновенном центре ускорений плоской фигуры очень удобны для вычислений, но свя занные с ними картины распределения скоростей и ускорений не

отображают полностью реальное		движение фигуры. Это происходит
потому,	что вводя эти понятия	мы рассматривали	движение лишь
в данное	мгновение, при данном положении тела,		т. е. пытались

рассматривать движение как бы в отрыве от основных условий его существования — времени и пространства. Результаты такого подхода к вопросу, конечно, не могут быть полными и объективными.

План ускорений**

Задача № 9 8 * * . Фигура движется в своей плоскости. Известно положение мгно венного центра ускорений £ м ц у и вектор ускорения одной точки А фигуры. Найти построением ускорение точки В той же фигуры. На рис. 157 заданы отре-

			Рис.	157
зок АВ, точка	£ м ц у и вектор		ад.
Решение.	Проведя	прямую	АЕкцу,	мы получим угол	\i,	который составляет
ускорения всех точек		фигуры	с прямыми, соединяющими		эти	точки с £ M U V . Под

таким же углом jx должен быть наклонен искомый вектор ад к отрезку В £ м ц у . Для определения модуля этого вектора сделаем следующее построение. Повернем


вектор ад	на угол ц	до его совпадения с отрезком / 4 £ м ц у , когда						конец поверну
того вектора будет		в точке Ах. Из точки			Ах параллельно		АВ	проведем	пря
мую А1В1	до пересечения в точке Вх		с В £ м ц у . Из подобия треугольников						АВЕму
и АхВхЕМЦу	заключаем, что отрезок		ВВХ	представляет		модуль ускорения точки В
ав = В £ м	ц у "Кег + со4 в том же масштабе,			в	котором	отрезок	ААХ	выражает мо

дуль ускорения ад = АЕЫ1Ху J^e2-f-tt>4.			Д л я получения вектора ускорения точки В
остается лишь повернуть	отрезок	ВВХ	на угол \і.
П р и м е ч а н и е .	Метод,	примененный при решении этой задачи,

является общим в кинематике плоского движения и им можно определить ускорение любой точки фигуры, если известно положе ние £ м ц у . Вариант этого метода, называемый методом плана ускорений, позволяет определить ускорения точек фигуры и при неизвестном поло

жении

Емщ,

лишь

бы были

известны ускорения двух точек фигуры,

или

ускорение

одной

точки, направление

ускорения

другой точки

и план скоростей фигуры. Построим план ускорений для отрезка

АВ.

Для

этого

отложим

от £ м ц у

направленные

отрезки

Еш)іа

= аА

и ЕтуЬ

ав.

Соединив

точки

и Ь, мы

получим треугольник

АВЕМ11у,

за

штрихованный

на чертеже

и подобный

треугольнику

АВЕКЩ.

Дей

ствительно

оба треугольника имеют

по равному

углу

(/_ АЕКЩВ

= ^/.аЕМІіуЬ),

заключенному

между

пропорциональными

сторонами,

причем

треугольник

аЬЕкау

повернут

относительно

треугольника

АВЕмпу

на угол

180° — р..

Заштрихованный

треугольник

называют

планом

ускорений

фигуры,

неизменно

связанной

с отрезком

АВ.

Существует

определенное взаимное соответствие между фигурой

и ее

планом ускорений, и всякому отрезку, соединяющему две какиелибо точки фигуры, соответствует на плане ускорений вполне опре деленный отрезок, пропорциональный ему и повернутый относи

тельно него

на угол

180°—р,.

Заметим,

что наше построение

не нарушится, если

при построе

нии заштрихованного

треугольника мы возьмем вершину не в ~ £ м ц у ,

а в любой

точке е неподвижной плоскости. Точку е называют

полю

сом плана

ускорений.

Применение плана ускорений к определению

ускорений точек фигуры показано в задаче № 99.

Задача

№ 99 **. Фигура

(рис. 158) движется

в своей плоскости. По задан

ным ускорениям точек

А к В определить

ускорения точек D и С.

Решение.

От произвольной

точки

вне

фигуры

откладываем направленные

отрезки еа = аА

и eb ~

ав.

Проводим

отрезок

ab и от его концов

две прямые: от

точки а проводим прямую

под углом

BAD, а

от точки b под углом ABD

до их

пересечения

точке d.

Дл я определения положения точки с плана ускорений надо

провести до

их пересечения

какие-либо

две из трех

следующих

прямых: 1) от

точки а прямой ab под углом

ВАС, 2) от b прямой

ab под углом

ABC или 3) от

точки d прямой ad под

углом ADC. Эти прямые

пересекаются в точке с плана

ускорений. Направленные

отрезки еа,

eb,

ее и ed

представляют векторы абсолют

ных ускорений

точек

А,

В, С и D, а

отрезки

ab,

be и т. д. соответствующие

относительные ускорения

этих

точек. Дл я получения ускорения всякой точки фи-

движение свободного тела состоит из поступательного и сферического движений

Рис. 158

гуры надо определить подобным же образом соответствующую ей точку на плане ускорений и соединить с ней полюс е (для получения вектора абсолютного уско рения) или точки плана (для получения относительного ускорения относительно соответствующей точки).

§ 35**. ПОНЯТИЕ ОБ ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА

Уравнение движения свободного тела,

в самом общем случае движение твердого тела мы представим как составное, разложив его на переносное поступательное вместе с какой-либо точкой Е, принятой

нами за полюс, и относительное сферическое вокруг полюса. Движение свободного твердого тела может быть описано шестью

			Рис.	159
уравнениями:	тремя	уравнениями		(78)	поступательного	движения
и тремя уравнениями		(96)	сферического		движения:
xB = x(t),	yE = y(t),	zs	= z(t),	г\|з = і\|>(/), Ф = Ф(0, * =		(122)

Во всякое мгновение мы представляем движение тела как посту пательное с некоторой скоростью vE (рис. 159, а) и вращение во-

—>•

круг мгновенной оси с угловой скоростью ш.

Поступательное движение тела со скоростью vE в свою очередь раз ложим на два поступательных движения, одно из которых происхо

дит	со скоростью vE, направленной по мгновенной			оси	вращения,
а другое —со скоростью vE2,			направленной перпендикулярно со.
	Эту скорость vEi поступательного движения мы представим					как па
ру угловых скоростей (рис. 159, б), момент которой равен					vE%,	а	плечо
ft =	vE	(рис. 159, е) одна из двух со, составляющих				эту	пару,
	— . Тогда
уравновесится		с угловой	скоростью, направленной	по	мгновенной
оси	вращения,	проходящей	через полюс Е, и останется		лишь		вра

щение, происходящее вокруг оси, ей параллельной и отстоящей от выбранного нами полюса на расстоянии п. Кроме того, останется

поступательное движение	тела со скоростью	vEi,	происходящее
в направлении вектора угловой скорости (рис.		159,г).
Следовательно, картина	распределения скоростей		твердого тела

в самом общем случае такова, как будто тело вращается в данное мгно

вение вокруг некоторой оси и				одновременно скользит		вдоль	нее.
Эту ось		называют	мгновенной	осью вращения—скольжения1,			или
мгновенной		винтовой	осью.
Таким образом, картина распределения скоростей в твердом теле
вполне	аналогична		динамическому		винту (см. § 15), выражающему
общий	случай приведения системы				сил, приложенной	к твердому
телу.

Движение свободного тела мы разложили на поступательное

движение, определяемое движением произвольной точки	Е,	приня
той за полюс, и сферическое движение вокруг полюса	Е и пред
ставили уравнениями движения (122).
Очевидно, что и скорость любой точки К этого тела	мы	полу

чим как скорость точки в составном движении по параллелограмму скоростей, как сумму скорости полюса и относительной скорости точки при сферическом движении тела вокруг полюса.

Аналогично и ускорение любой точки свободного твердого тела равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки при сферическом движении тела, определяемого формулами 99—101 (см. стр. 183).

1 Эта ось впервые была открыта Юлием Моцци (1766 г.).

Смотрите также файлы

Гольденберг Л.М. Импульсные и цифровые устройства учебник.pdf

Гриб В.К. Комплексная механизация прудового рыбоводства.pdf

Давыдов Л.К. Общая гидрология учебник.pdf

Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

Дудич И.И. Самодельные радиоэлектронные устройства.pdf

Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно