Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Ускорение точки пропорци-

Основной закон

динамики.

Из

принципа

инерции следует, что всякое изменение ско-

онально приложенной движу-

рости происходит

только от

действия сил,

щей силе и происходит по на-

r

г

г>

правлению той прямой, по

приложенных к данному телу.

Соотноше-

которой эта сила действует,

ние между силой и ускорением

установлено

в

основном законе

динамики.

Ньютон писал, что изменение скорости «всегда происходит

по тому

же направлению,

как и производящая его сила», независимо от того,

находилось тело

в покое

или в движении и действует

сила по ско­

рости, против скорости или же под углом

к ней. Хотя

Ньютон на­

пропорциональное силе

и направленное по силе. Математически этот

закон можно

записать

в

виде

такой формулы:

F = ma.

(123)

Если на материальную

точку

действует

несколько сил, то дей­

ствие каждой

из сил не зависит

от действия

остальных

и каждая

из сил сообщает точке такое

ускорение, какое

она ей сообщила бы,

если бы действовала

одна,

а

под действием

нескольких

сил точка

действующей R=

^Fk:

^ F

k

= ma.

(123')

ft=i

В этом заключается принцип

независимости действия

сил.

пропорциональности

между

силой и ускорением,

а

имеет

большой

физический смысл,

к

пояснению

которого мы сейчас

переходим.

Масса1 . Всякая материальная

частица

Массой

материальной

ча-

стремится сохранить свое состояние покоя

стицы

называют

меру

ее

и л и

прямолинейного и равномерного дви-

инерции,

численно

выража-

г

^

r

г

ющуюся

отношением

моду- ж е н

и я -

Свойство материальных тел сохра-

лей силы,

действующей

на

нять механическое движение при отсут-

частицу,

и

вызванного

ею

ствии механического взаимодействия их с

ускорения.

другими телами, присущую материи не-

уничтожаемость

движения

называют

инерцией2.

Это же

свойство

инерции

побуждает

различные, тела

при одинаковых

механических

взаимодействиях

изменять

механическое движение постепенно и раз­

лично

для каждого

тела.

Камень

притягивается

Землей и

притяги­

отношению

величин силы,

приложенной

к

материальной

частице,

и ускорения,

полученного ею в

инерциальной

системе отсчета:

т

= 4 -

(124)

В частности, все свободно

падающие

на

Землю

тела

получают

под действием силы тяжести G ускорения g свободно

падающих тел 3 :

8

(124')

1

Понятие «масса» в теоретической механике дано Ньютоном (1686 г.).

2

Термин «инерция» предложил Д'Аламбер (1743 г.).

3

Ускорение свободно падающего

тела £ = 9 , 8 1

м/сек2 (точнее, 9,80665

м/сек2)

иногда называют «ускорением силы тяжести», или «ускорением свободного

падения».

Эти названия

неправильны, так

как

ускорением

обладают падающие

тела,

а не

«сила

тяжести»

и не «свободное

падение».

Все

тела, находящиеся

в одном

и том же месте

Земли,

падают

на

Землю с одинаковым

ускорением g, из чего

следует,

что веса

тел,

находящиеся в одном

и том же месте

Земли,

пропорциональны

их

массам и не зависят от

формы

т е л 1 .

Однако

еще

во

времена

Ньютона точные эксперименты доказали,

что ускорение

падающего

тела

и вес его на экваторе меньше, чем в наших широтах, хотя масса

остается

прежней. Поэтому Ньютон четко разграничил понятия массы

и веса.

Открытие Ньютоном

закона

всемирного

тяготения

придало

Существуют две системы ме­

что

в механике приняты

две системы

еди­

ниц:

техническая

и физическая. Эти две

ханических

единиц:

1) тех­

ническая,

в которой

за ос­

системы отличаются друг от друга по своей

новные

приняты

единицы

основе2 .

длины,

силы

и времени, и

Техническая

система

единиц

построена

2)

физическая,

в которой

на понятиях длины L , силы F и времени Т.

за

основные

приняты еди­

ницы длины,

массы

и вре­

За основные единицы принимают: длины —

мени.

метр

(м),

силы — килограмм-сила

(кГ),

времени — секунда (сек),

но с равным

пра­

вом применяют также единицы, являющиеся

кратными

и дольными

основных. При решении

задач

не имеет

принципиального

значения,

какие

именно

размеры

единиц L , F и Т приняты в той или

иной

задаче,

это зависит от нашего

выбора,

и нужно выбирать

такие

еди­

ницы,

в которых

практически

проще

можно

провести

необходимые

миллиметров

под

нагрузкой

в несколько

тонн,

то,

по-видимому,

в данном случае выгодно принять миллиметр

за единицу длины и

тонну-силу

за единицу

силы,

выражать же их в сантиметрах

и в

граммах или в метрах

и килограммах

вряд

ли целесообразно. Ско­

рость

света

измеряют километрами в секунду,

скорость

звука—мет­

рами

в секунду,

а

скорость

осадки зданий—миллиметрами

в год.

В каждой задаче каждую из единиц мы вправе выбирать основ­

ной,

кратной или

дольной

независимо

от выбора

двух

других. Но

коль

скоро эти единицы нами

приняты при решении данной

задачи,

мы не должны

допускать

при ее решении

никаких

других

единиц

1

Строгое доказательство этого впервые дал Фурье.

2

Подробно о теории размерностей см. Л.

И. С е д о в .

Методы теории

раз­

мерностей и теории

подобия

в механике. Гостехиздат,

1944 и

последующие

изд.

которые

мы выбрали для L , F , Т. Так, приняв в задаче за единицы

длины,

силы и времени метр, грамм-силу

и секунду,

мы

обязаны

принять

ускорение свободно

падающего тела g = 9,81

м/сек2

и было

бы ошибкой принять в этой

задаче g = 981

см/сек2.

изводной: [т]— L ' ^ 1

! 2 .

Например,

размерность

единицы массы

в технической системе единиц может

быть Г -сек2/см,

если мы выра­

жаем в этой задаче длину

в см, силу — в Г,

время — в сек.

Неудобство этой

системы состоит

в том,

что единица силы яв­

шара

(например,

килограмм — вес

одного литра воды

в Париже при

4° С,

или сила,

с которой

Земля

притягивает

массу

в

1 кг на ши­

роте 45° на уровне моря при нормальном

давлении).

От этого

неудобства можно

избавиться,

как показал

еще

Гаусс,

если

в качестве

основных

принять

единицы

длины

L ,

массы М и

времени Т и вывести

единицу

силы

как

производную

из этих ос­

новных.

Система механических единиц, называемая физической,

принимает

за основные,

кратные

и дольные

такие же единицы

длины

(метр,

сантиметр и пр.), такие же единицы

времени

(секунда,

минута, час

и пр.), но принимает

массу, а

не силу, за основную

единицу

(кило­

грамм, а также

кратные

и дольные

килограмм-массы).

В

этой си­

мерность

[ F ] = L 1

M 1 T -

2 , например

г-см/сек2.

В СССР

в качестве

государственного стандарта принята Между­

народная система единиц (СИ) (5/

от

Le systeme international

a"uni­

tes), в которой за основные приняты

единицы длины, массы

и вре­

мени. Таким

образом,

в области

механики СИ относится к системе

единиц,

которую

мы

назвали физической системой. В качестве ос­

ницы: метр (м),

килограмм-масса

(кг)

и

секунда

(сек).

С

целью

уточнения метр

измерен не в долях земного меридиана, как это было

при его установлении, а длиной

волны

излучения

атЪма

криптона,

секунда определена

как 1/31556925,9747

часть

тропического

года 1 ,

а килограмм—как

масса прототипа килограмма, хранящегося в Меж­

дународном бюро мер и весов в Париже.

Единица силы в СИ является производной. Ньютоном

называют

силу, сообщающую

массе

в

1 кг

ускорение,

равное

1 м/сек2.

Размер

этой единицы силы 1 кг-м/сек2.*

Таким образом,

1 н =

100 ООО дин=

1/9,81 к Г = 1 0 2 Г

и

1

= 9,81

н.

Задача № 100.

Автомобиль

весом

G — 1000 кГ во время разгона

движется по

прямолинейному

горизонтальному

пути

согласно закону

x =

Q,\tz, где t — время,

считаемое от начала

движения

и выраженное в секундах,

а х—путь,

пройденный