Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 288

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

точки взаимодействуют между собой по

закону

равенства

действия

и противодействия. Таким

образом,

под системой материальных

то­

чек мы понимаем мысленно выделенную

совокупность

материальных

частиц

или

тел,

взаимодействующих

друг с другом по закону

ра­

венства действия и противодействия1 . Систему

материальных точек

иногда

коротко

называют

материальной

системой, или

механической

системой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число п

точек в

системе может быть любым целым числом, боль­

шим единицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„

„

 

 

 

Классификация сил. В динамике,

как

и в

Силы, действующие в мате-

v

^

 

м

'

 

 

риальной

системе,

подраз-

статике, приступая к решению каждой за-

деляют

на

внутренние

и

дачи, мы должны в первую очередь опре-

внешние или на активные и

делить материальную точку, или абсолютно

реакции

связей

 

твердое тело,

или материальную

систему,

движение которой надо исследовать в этой задаче. В очень многих

случаях вторым

вопросом

при

постановке

задачи бывает вопрос о

том, какие силы

действуют

на

эту точку,

тело или систему точек.

Силы, действующие на точки материальной системы, часто раз­ деляют на две категории: внешние и внутренние силы.

Внешними

силами

системы материальных

точек

называют силы,

действующие

на точки

этой

системы со стороны других материаль­

ных объектов,

не входящих

в состав этой системы. Внешние силы

обозначают Fe

 

(буква е является начальной буквой латинского слова

exterior—внешний) и их

проекции

Xе, Ye,

Ze.

 

Внутренними

силами

системы

называют

силы

взаимодействия

между точками

этой системы. Для

обозначения внутренних сил и их

проекций к соответствующим буквам приписывают сверху и справа

букву і (от латинского interior—внутренний),

например

F',

Xі.

 

Одна и та

же сила может быть

внешней

или внутренней

в

за­

висимости от

того,

какие тела мы

включили

в систему

материаль­

ных

точек. Так, например, давление пара на

поршень паровой

ма­

шины

является внешней силой по отношению к поршню и внутренней

силой

по отношению

ко всей паровой машине. Другой

пример: ве­

лосипедист давит ногой на педаль велосипеда; если за материальную систему принят велосипед, то сила эта внешняя, если же за систему принят велосипед вместе с велосипедистом, то та же сила — внут­ ренняя.

Такое подразделение сил системы на внешние и внутренние по­ лезно в том отношении, что в некоторых общих теоремах динамики (см. § 42 тг 44) оказалось возможным исключить внутренние силы и получить зависимости движения только от внешних сил.

Если точки системы свободны, т. е. если движения точек системы не ограничены связями, то силы системы обычно подразделяют на

внешние и

внутренние. В

тех

же случаях, когда точки системы не-

1 Предложение

рассматривать

любую часть

материи как систему материаль­

ных точек сделано

Босковичем

(1758 г.) и очень

удобно для вычислений. Но, аб­

страгируясь

от

размеров тел,

не следует забывать, что пространство есть форма

существования

материи.

 

 

 

свободны, т. е. их движения ограничены связями, иногда оказывается более целесообразным разделять силы системы на две категории по совершенно иному признаку — на активные силы и реакции свя­ зей.

Понятие реакции

связей

хорошо знакомо нам из курса статики.

Этим же понятием

мы будем

 

пользоваться и в динамике, с тем лишь

добавлением,

что в динамике

реакции

связей

зависят

от движения

системы. Мы будем

обозначать реакцию

связей и ее проекции

Fr,

Xr, Yr,

Zr.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все прочие силы системы, кроме реакций, будем называть ак­

тивными

силами и отмечать

индексом

a: Fa,

Xа.

 

 

Всякая сила является активной или реакцией связи по своей

природе, независимо от того, какие

точки мы включили в данную

материальную

систему. Так, давление

ноги на

педаль

является

ак­

тивной силой,

а давление педали на ногу — реакцией, независимо от

того, принят

за систему один

велосипед

или велосипед с велосипе­

дистом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§37. НЕКОТОРЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

ОРАЗВИТИИ ДИНАМИКИ

 

 

Возникновение динамики.

Как уже было

Научные

принципы класси-

сказано

в общем

очерке

развития теоре-

ческой механики заложены

т и ч е с К о й

механики

(см. § 2), динамика воз-

Галилеем

и сформулированы

 

v-ігтт

 

<-

Ньютоном

никла

в X V I I в. в связи с потребностями

 

быстро

развивающейся

промышленности,

судоходства, а также в связи с возникновением

артиллерии.

Развивая работы Галилея и отчасти Гюйгенса,

англичанин Исаак

Ньютон создал основы

теоретической механики

и опубликовал их

в своем сочинении «Математические начала натуральной философии». Во введении к этой книге, обыкновенно называемой «Начала», сфор­ мулированы аксиомы, или законы движения, которые легли в осно­ вание всей механики, называемой теперь механикой Галилея — Нью­ тона, или классической механикой.

Галилей первый (1638 г.) обнародовал закон инерциального дви­ жения тел. Этот закон Галилея Ньютон (1686 г.) сформулировал в более общей форме, приведенной нами в § 3 и 36, и назвал первым законом механики.

Галилей открыл (1589 г.) законы падения тел на Землю. Ньютон пришел к общему понятию движения-с переменной скоростью. К этому он присоединил очень трудное и важное для динамики понятие массы. Соотношение между изменением движения и силой сформулировано им во втором законе.

Следующий важнейший принцип, лишь слабые и неясные выска­ зывания которого намечались до Ньютона, был сформулирован им под именем третьего закона в форме, приведенной нами в § 3.

 

 

 

Спор о mv и mv2. Как только начала соз-

«Мы находим, что механи-

Даваться динамика, сейчас же появилась

ческое

движение действи-

потребность в определенной мере для из-

тельно обладает двоякой ме-

мерення движения. Такие меры уже наме-

рой, но убеждаемся также,

ч а л и с ь в работах

Галилея. Декарт

признал

что каждая из этих мер

 

1

 

 

^

1

г

 

имеет силу для весьма опре-

произведение массы движущегося тела на

деленно ограниченного круга

его скорость mv единственной мерой ме-

явлений»

(Энгельс)J

ханического движения, назвав эту меру

 

 

 

количеством движения. Декарт, как изве­

стно,

сделал

гениальную

догадку о сохранении движения (1644 г.).

Он считал, что-сохраняется

именно mv,

правда,

не

отличая

четко

массы

от веса.

 

 

 

 

 

 

 

 

Напротив, Гюйгенс в своих работах пользовался,

и очень успешно,

произведением массы на квадрат скорости.

 

 

 

 

 

Этим открытием Гюйгенса

и утверждением

Паскаля,

что

одно

и то же — поднять сто фунтов

воды на один дюйм или один фунт на

сто дюймов,

воспользовался Лейбниц, написав,

что декартова

мера

mv противоречит декартову закону сохранения движения. Лейбниц доказывал, что сохраняется mv2, а не mv. Тот факт, что ти2 не со­ храняется при ударе неупруг.их тел (см. § 48), Лейбниц объяснил поглощением движения частицами ударяющихся тел. «Это не про­ тиворечит,— писал он,— нерушимой истине сохранения силы в при­ роде. То, что поглощается частицами, не потеряно для общей силы участвующих в движении тел»2 . Лейбниц назвал (1695 г.) эту меру mv2 «живой силой».

Сторонники Декарта выступили в его защиту. Лейбница осно­ вательно поддержал Иван Бернулли, опубликовавший в 1724 г. со­ чинение «Дискуссия о законах передачи движения», удостоенное премии Парижской академии наук по конкурсу, объявленному на эту тему. «.. Загорелся знаменитый, длившийся много лет спор, в котором принял участие в первом своем сочинении «Мысли о пра­ вильной оценке живых сил» (1746 г.) также и Кант, хотя он неясно разбирался в этом вопросе»,— пишет Энгельс3 .

Дебют великого философа был не очень удачен, о чем опубли­ ковал ядовитое четверостишие Лессинг4 . Эпиграмма вызвана не только слабостью выступления Канта, но и остротой дискуссии, которая расколола ученый мир на два враждебных лагеря.

Приблизительно в это время (1758 г.) М. В. Ломоносов читал свою диссертацию, в начале которой он говорил и об этой дискус­ сии: «Самые первые начала механики, даже физики, еще находятся в периоде обсуждений, и наиболее выдающиеся ученые этого столе­

тия

не могут прийти к соглашению

о них. Самым блестящим

при-

1

К. М а р к с

и Ф. Э н г е л ь с . Соч.,

т. 20, Госполитиздат, 1961, стр. 418.

2

Л е й б н и ц .

Краткое доказательство

удивительной ошибки Декарта

и дру­

гих относительно закона природы, по которому бог, как эти авторы думают, ста­

рается всегда сохранить в

природе одно и то

же

количество движения,

но

кото­

рый

совершенно разрушает механику,

1686.

 

 

 

 

3

К. М а р к с и Ф.

Э н г е л ь с .

Соч., т.

20.

Госполитиздат, 1961,

стр.

409.

4 «Кант берет на себя трудную задачу просвещения мира. Он измеряет живые силы, но не знает меры своих собственных сил». ( Л е с с и н г . Собр. соч., т. I-, стр. 57).

257 9 т 784

мером этого есть величина сил движения, которая согласно одним увеличивается в простом, по другим — в двойном отношении скорости».

Сторонниками меры mv были Денн Папен (один из изобретателей паровой машины), Маклорен, Кларк (английский философ, перево­ дивший Ньютона и Декарта), английский математик Валлис, Яков Бернулли, Вариньон, Мариотт, Мерсенн, французский физик Орту де Меран, Вольтер и многие другие, тогда как друг Вольтера мар­ киза дю Шатле, переведшая Ньютона на французский язык, Лопиталь, Кёниг, Иван Бернулли, академик С.-Петербургской академии Даниил Бернулли, распространивший понятие живых сил на жидкость, Яков Герман, немецкий философ Вольф и многие другие защищали меру то1. Голландский математик и физик Гравезанд вначале был на стороне Декарта, но потом перешел на сторону Лейбница.

Свои соображения высказал и Д'Аламбер (1743 г.), после чего этот великий спор затих, но не потому, что Д'Аламбер убедил спо­ ривших, а потому, что спор утомил противников и не видно было ему конца. Ведь спорили о том, чем измеряется механическое движение, что сохраняется в природе — mv"- или то. Вот почему Ньютон, вообще

отрицавший закон сохранения движения, вовсе не принял

участия

в споре. Но во времена Декарта и Лейбница еще не знали,

что ме­

ханическое движение может переходить в другие виды движения,

хотя,

как видно и из приведенной нами цитаты Лейбница, эти мысли

уже начали

зарождаться. Более

определенно о немеханических фор­

мах движения высказывался М. В. Ломоносов (1744, 1745).

 

После

того как (в X I X веке), по предложению Кориолиса, «живой

 

 

 

 

mv'1

 

 

силой» стали

называть

, постепенно начала выявляться

связь

между изменением живой силы н работой.

 

Четкое

толкование

понятий

обеих мер движения мы находим в

«Диалектике

природы» Ф. Энгельса. Материальное тело обладает

двумя

мерами механического движения:

 

1)

живая

сила, или кинетическая энергия, характеризует

способ­

ность

механического движения

данного тела превращаться в потен­

циальную

энергию или другие

виды движения;

 

2) количество движения характеризует способность механического движения данного тела передаваться другим материальным телам

ввиде механического же движения.

Вкаждом движущемся теле обе меры механического движения существуют одновременно и не противоречат одна другой. Мы под­

робно остановимся на этом вопросе

в главах, посвященных

теоремам

о количестве движения и теоремам

о кинетической энергии.

 

Принцип

Д'Аламбера и принцип виртуаль-

В задачах динамики несво-

ных перемещений. В кратких исторических

бодных точек и материаль-

сведениях

о проблемах динамики

коснемся

Г и е ^ т п г Г и ^ п Ж :

истории двух принципов динамики: прин-

бера и принцип виртуальных

Ч ™ 3 Д Аламбера и принципа виртуальных

перемещений, укоренившиеся

Перемещений.

 

 

в механике в XVIH и XIX вв.

В основном законе

динамики

Ньютон

 

установил

зависимость

между силой, дей-

ствующей на точку, и изменением движения, дав тем самым пути реше­ ния задач динамики свободной материальной точки. Здесь возникают трудности только математического характера.

Но оставалась не исследованной динамика несвободных систем, т. е. таких систем, на точки которых наложены связи. Быстрое раз­ витие промышленности и торговли выдвигало все новые требования к теоретической механике; понадобились методы, которые давали бы наибольший практический выход и, в частности, имели бы большее применение к машинам, т. е. как раз в области динамики несвобод­ ных систем.

Многие крупные ученые проявляли большое остроумие и наход­ чивость, решая различные частные задачи по движению твердого тела и по движению несвободных точек. Однако необходимо было найти общий метод, который дал бы возможность аналитически выразить действие связей, указать общие принципы решения подобных задач.

Честь создания таких методов выпала на долю Д'Аламбера 1 и Лагранжа.

Д'Аламбер предложил для решения всех задач динамики новый принцип. «Данное правило, — писал он позже в Энциклопедии, — при­ водит все задачи, относящиеся к движению тел, к более простой за­ даче о равновесии»,

Здесь у Д'Аламбера были свои предшественники (Гюйгенс,Яков Бернулли, Яков Герман). «Однако только Д'Аламбер подошел к этому

принципу с более общей точки зрения

и придал ему всю ту простоту

и плодотворность, на которые только

он был способен»2 . Поэтому

этот принцип называют принципом Д'Аламбера.

Д'Аламбер усматривал достоинство

своего метода и в том, что в

нем не были применены такие понятия, как сила: «метафизика этих

понятий

никогда

не

станет

ясной».

Но в формулировку

принципа

Д'Аламбера

позднее

были введены понятия, не только силы, но и так

называемых

сил

инерции,

и

была

придана

та форма, которая при­

ведена нами в § 50.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пять лет спустя после смерти Д'Аламбера, в 1788 г.,

в Париже

была издана

«Аналитическая

механика» Лагранжа;

второе,

значи­

тельно

дополненное

издание

вышло

в 1811 — 1815 гг. Это

одно из

лучших

сочинений по механике, обогатившее

ее новыми

могучими

методами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В основу статики был положен «принцип виртуальных

перемеще­

ний», который теперь

можно

сформулировать

так:

при

равновесии

системы сумма работ всех активных сил на всяком виртуальном пере­

мещении (см. § 4) равна

нулю. Тот же принцип в соединении

с прин­

ципом Д'Аламбера был

положен в

основу динамики (см. §

51).

1

Д' А л а ы б е р. Динамика. Трактат,

в котором законы равновесия и движения

тел сводятся к возможно

меньшему числу и доказываются новым способом и в ко­

тором

излагается

общее

правило для нахождения движения нескольких тел, дей­

ствующих друг

на друга произвольным образом. Перевод с французского проф.

В. П. Егоршина,

Гостехиздат,

1950.

 

 

 

2

Л а г р а н ж. Аналитическая механика,

т. I , перевод под ред. Л. Г.

Лойцян-

ского

и А. И. Лурье. ГОНТН

Н К Т П СССР,

1938, стр. 176.

 

259

 

9*

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы