Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 290

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Корни принципа виртуальных перемещений уходят в глубокую древность. Довольно общую формулировку принципа для сил тяжести дали Торичелли (1644 г.), Иван Бернулли (1717 г.) и др. Доказатель­ ство принципа Лагранжем (1796 г.) является лишь видоизменением доказательства, которое предложил в 1783 г. Лазар Карно. Одновре­ менно с Лагранжем строгое доказательство опубликовал Фурье. Но большая заслуга Лагранжа заключается и в том, что он положил этот принцип в основу всей механики.

Вте времена еще не было определено понятие работы силы. Только

вначале X I X в. появилось точное определение понятия работы, столь необходимое для принципа виртуальных перемещений и в теореме жи­ вых сил. В отдельных механических исследованиях начали приме­

нять произведение силы на путь еще в X V I I I в. Карно (отец) уже в 1786 г. дал ему даже специальное название «момент активности», Гаспар Монж называл его «динамический эффект», англичанин Юнг употреблял слово «работа» еще в 1807 г. Но окончательное ввгдение в науку термина «работа», и притом в точном, современном нам смысле, четкое установление понятия «работа» принадлежит Понселе и Кориолпсу, развившим идеи Лазара Карно, Гаспара Монжа и отчасти Луи Навье относительно механической работы. Это большое принци­ пиальное достижение в науке было принято не сразу и оценено по достоинству лишь значительно позже.

В этом параграфе мы коснулись развития только немногих про­ блем динамики, которые входят в программу по теоретической меха­ нике втузов. Поэтому в наш краткий исторический очерк развития динамики не вошли многочисленные работы, выполненные за послед­ нее столетие отечественными и иностранными учеными. Желающим более подробно ознакомиться с историей динамики рекомендуем про­

читать

следующие труды: Г е р о н и м у с

Я. Л. «Очерки

о

работах

корифеев русской механики»

(1952

г.);

Г р и г о р ь я н

А.

Т.

«Очерки

истории механики в России»

(1961

г.); И ш л и н с к и й

А.

Ю.

«Очерки

по истории техники» (1955 г.); К о с м о д е м ь я н с к и й

А.

А.

«Очерки

по

истории

теоретической

механики

в

России»

(1948

г.);

Т ю л и -

на

И.

А.,

Р а к ч е е в Е. Н. «История

механики»

(1962

г.);

Б о г о ­

л ю б о в

А.

Н. «История механики машин» (1964).

 

 

 

 

Г Л А В А XIV

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н ЫЕ УРАВНЕНИЯ Д В И Ж Е Н И Я

Динамика имеет две основные задачи: 1) по заданному движению определить действую-

§ 38. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

Прямая и обратная задачи динамики, g динамике изучают механическое движение

J

шиє силы и 2) по заданным

в с

в я з и

с

силами,

приложенными К ДВИ-

силам

определить движение

жущимся

объектам. Следовательно,

перед

 

 

 

динамикой

стоят

две

основные

задачи:

1)

по движению материального объекта (точки, твердого тела или

системы точек) определить силы, производящие

данное

движение.

Эту задачу

называют прямой,

или первой основной

задачей

динамики;

2)

вторая задача—обратная

по отношению к первой,

поэтому ее

называют

обратной, или

второй

основной

задачей

динамики:

дани

силы, действующие на данный материальный объект; требуется определить движение этого объекта под действием данных сил.

Наиболее просты с механической стороны эти задачи для одной материальной точки, хотя и здесь встречаются большие трудности математического характера.

Пусть точка М массы т находится под действием сил, представ­

ленных в мгновение t векторами /г

1 , F2, ...

, Fn или

их равно­

действующей F. Согласно основному

закону

динамики

ускорение,

получаемое точкой М от действия сил, направлено по силе и про­ порционально ей:

ma==F.

(123)

Если решают первую основную задачу динамики точки и движение

точки определено в векторной форме, т. е. дан радиус-вектор г как некоторая векторная функция времени t:

r = r(t),

(54)

у »

то надо определить по (57) ускорение а, выражающееся второй про­ изводной от радиуса-вектора точки по времени t, и умножить его на массу т точки. Тогда мы получим следующее выражение основного закона динамики:

' rn% = F,

(125)

где правая часть даст нам искомую силу.

 

 

Если же решают вторую основную задачу

динамики точки

и

задан {.вектор силы, но требуется определить

радиус-вектор

как

функцию (54) от времени, то для решения задачи нужно интегрировать уравнение (125).

Значительно проще решать такие задачи не в векторной,

ав координатной форме.

 

Дифференциальные уравнения движения

Все основные теоремы дина-

точки в прямоугольных координатах. Пусть

мики точки могут быть выве-

движение точки М задано в прямоугольных

дены кз трех дифференци-

 

альных уравнений движения

координатах кинематическими уравнениями

материальной точки в прямо-

 

 

 

Y—yit\

u-u(t\

7—?ii\

 

(W\

угольных координатах:

 

 

 

 

Л —

л

vh

У — itVh

 

 

W ° ;

тх

= X;

my = Y; mz

--Z

Преобразуем

выражение

(123)

основного

закона

 

динамики;

 

для

этого

определим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

->

 

 

 

—»-

 

 

 

проекции

на оси координат

ускорения а и силы F.

Направляющие

косинусы (67) ускорения являются вместе

с тем и направляющими

косинусами

силы,

так

как направление

ускорения

совпадает с на­

правлением

силы. Умножая

величины

(123) на cosa = ^ ,

 

получим:

mar

= F cos а.

 

 

а~2х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для

Но согласно (65) ах =

. Подставляем это значение и, пользуясь

проекции силы на ось абсцисс

(и аналогично

для проекций на

оси

у и г)

знакомым

нам по статике

обозначением,

получим

 

 

 

 

 

 

 

d*y

 

\/

 

 

 

 

 

 

 

 

(126)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dlz

 

„

 

 

 

 

 

 

 

 

или, если обозначать

вторые производные

по времени двумя

точками,

 

 

 

 

 

тх = Х, ту = Y,

mz — Z.

 

 

(126')

 

Система

трех дифференциальных уравнений

(126) второго порядка

эквивалентна системе шести дифференциальных уравнений

первого

порядка:

 

 

dvx

 

 

dvy

 

 

 

dvz

 

 

\

 

 

 

 

 

 

= Х,

= Y,

 

= Z\

 

 

 

 

 

т—т-

m~-

 

m-rr

 

I

 

(\27)

 

 

 

 

dt

 

'

dt

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

'

 

 

du

 

 

 

 

dz

I

 

 

 

 

 

V* =

W

 

vy =

4t>

 

v ' =

-df

)

 

 

 

Уравнения (126) или (127) называют дифференциальными урав­ нениями движения материальной точки в прямоугольных коорди­ натах.

Из уравнений движения мы выведем все теоремы динамики. Они дают возможность решить и обе основные задачи динамики точки. В прямой задаче, когда кинематические уравнения движения (58) даны, решение сводится к дифференцированию этих уравнений: умножив на массу вторую производную от координаты по времени, получим проекцию силы. В обратной задаче, когда заданы проекции силы X, Y и Z, а нужно определить координаты точки х, у я г как

функции времени (58), решение сводится к интегрированию трех совместных дифференциальных уравнений, где независимым пере­ менным является время.

Три совместных дифференциальных уравнения (126) второго по­ рядка определяют координаты х, у и г в функции времени /. Если

движущаяся

точка

М совершенно свободна,

то приложенные к ней

силы могут

быть

функциями

ее

координат

х, у и z, проекций ее

скорости х, у и г

и времени

/:

 

 

 

 

F=F(x,

у,

2, х, у, г, О-

Проинтегрировать их в общем виде невозможно, но при некото­ рых видах функции F эти интегралы могут быть получены. В очень

• многих случаях вычисления возможно проводить на интегрирующих

При

интегрировании

диффе­

Постоянные

интегрирования. Общие

инте­

гралы

дифференциальных

уравнений

дви­

ренциальных

уравнений дви­

жения

материальной точки содержат шесть

жения

материальной

точки

появляется

шесть

постоян­

постоянных

интеграции:

Сх , С2 ,

С3 . С4 ,

ных

интеграции,

которые

С6 ,

Св . Эти постоянные

величины

отнюдь

при

решении

каждой

задачи

не

являются

произвольными, и в

каждой

должны

быть определены

из

 

начальных условий

 

частной

задаче, при решении которой при­

 

 

 

 

 

 

ходится

интегрировать дифференциальные

уравнения

движения,

постоянные

интеграции должны быть

опреде­

лены из начальных условий. Если заданы положение и скорость

движущейся

точки для какого-либо мгновения / ~ - / 0 (/„ может быть

равным

или

не равным

нулю), то

нужно

определить

постоянные

Cj,

С2 , Cs ,

С4 , Съ н С6

таким

образом,

чтобы при / — /„координаты

х,

у

и

z

получили

заданные

значения

хп,

у„ и гп и

производные

.V, у

и 2 — заданные

значения

v„x, vay

и

vQz.

 

 

Допускают,

что данным начальным условиям соответствует только

одно движение,

конечно, при заданной массе

т и силе F. В спра­

ведливости этого положения мы убедимся на

всех примерах, кото­

рые будем рассматривать, хотя это положение

имеет и математиче­

ское доказательство. Поэтому, если мы нашли

какое-либо движение

точки М, удовлетворяющее уравнениям (126) и начальным данным,

то,

следовательно,

мы определили

именно то

движение,

которое

искали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 101. Точка массы т кг движется

по

винтовой

линии согласно

ки­

нематическим

уравнениям

движения:

x=rcosk(,

 

y = rsmkt,

г — ut,

где х,

у, г

и г

выражены

в метрах,

а г —в

секундах;

известно, что г, k и и

постоянны.

Определить величину

и направление

силы

в

функции

расстояния.

 

 

 

Решение.

Задача

заключается

в

определении

силы по заданному

движению,

т. е. является

 

прямой

задачей динамики.

Условие

выражено

в физической системе

единиц (СИ). При решении будем выражать длину в метрах,

массу — в

килограм­

мах

и время — в секундах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим

по (126)

проекции

силы

на

координатные

оси, для чего сначала

дважды продифференцируем

заданные

текущие

координаты

точек:

 

 

 

 

 

х=*—rk-

cos kt\

 

у = —rk'2 s\nkt;

i = Q .

 

 

 

Смотрите также файлы