Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 286

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Умножая на т полученные значения проекций ускорения, определим в нью­ тонах проекции силы:

откуда

 

Л' — —tnk-x\ У---г.—тРу;

Я - О ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F = YХЧ-УЧ-^

« mk* \rx-+y-

~mk-r.

 

 

 

 

 

 

 

Направляющие

косинусы

силы найдем

по (6):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

х

„

Y

 

у

 

Z

 

 

 

 

 

 

cos ар = -р- = — — ;

cosfV = -^r = —

- ;

cos у / . - = - ^ - = 0.

 

 

 

 

О т в е т . Сила

постоянна

по

величине и

перпендикулярна

к

оси

Oz.

 

 

 

Задача № 102. Из орудия, стоящего

на

берегу на высоте

30

м над

уровнем

выпущен

снаряд

массы

т кг со скоростью 1000

м/сек

под

углом

 

 

 

 

 

 

 

30°

к плоскости

горизонта и под

 

 

 

 

 

 

 

углом 60° к линии берега. Пре­

 

 

 

 

 

 

 

небрегая сопротивлением

возду­

 

 

 

 

 

 

 

ха,

определить

точку,

в

кото­

 

 

 

 

 

 

 

рой

упадет снаряд.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Единственной

си­

 

 

 

 

 

 

 

лой,

действующей на снаряд

во

 

 

 

 

 

 

 

время полета,

является

его

вес

 

 

 

 

 

 

 

G

mg. По дайной силе и по

 

 

 

 

 

 

 

начальным данным

(местополо­

 

 

 

 

 

 

 

жение орудия и начальная ско­

 

 

 

 

 

 

 

рость снаряда)

 

надо определить

 

 

 

 

 

 

 

движение снаряда и место его

 

 

 

 

 

 

 

падения в море. Задача отно­

 

 

 

 

 

 

 

сится к обратным задачам

дина­

 

З ис.

160

 

 

 

 

мики. Для се

решения

надо

со­

 

 

 

 

 

 

 

ставить и проинтегрировать диф­

 

 

 

 

 

 

 

ференциальные

 

уравнения

дви­

жения снаряда. Задачу будем решать в

единицах

СИ.

Построим

систему

коорди­

нат, взяв за начало точку О, находящуюся иод орудием на уровне моря. Ось Ох

направим горизонтально, перпендикулярно к берегу в сторону

моря,

ось Оу —

вдоль берега, а ось

Oz — вертикально вверх.

 

 

Для составления

дифференциальных уравнений движения надо

знать

проекции

действующей силы на оси координат. На снаряд после вылета его из орудия действовала только одна сила тяжести G-~mg, направленная по вертикали вниз. Проекции действующей силы:

Х = 0; К = 0; Z = —G.

Дифференциальные уравнения движения снаряда напишем в виде (127):

dVx

л

d V y

f\

dv7

-G.

dt

 

dt

 

l~dt

 

 

 

Сокращаем на m, разделяем переменные:

dvx-—0; dVy-=Q; dv^ — —gdt,

откуда, интегрируя, находим:

 

tV=Ci; vy = C2;

vzT~-—gt^-Cs.

Чтобы определить постоянные интеграции, подставим вместо t нуль, а вместо

проекций скорости— их начальные значения vux, vuy и у о г , соответствующие мгно­ вению t — 0. Получим

Ci — vox; С2~и()у;

С

Таким образом, три первые постоянные интеграции в нашей задаче равны проекциям начальной скорости снаряда. Чтобы определить числовые значения этих проекций, надо знать направляющие косинусы начальной скорости. Снаряд

был выпущен иод углом 30° к плоскости горизонта, следовательно, угол yVt 0 начальной скорости с вертикалью равен 60°. Угол P„ i f t . по условию задачи, тоже равен 60°, cos av п определим из равенства единице суммы квадратов направляю­ щих косинусов:

cos - a.Vt о== 1 —cos- Р „ і 0 — cos - yVy „ = — ; cos aVf 0 = - y - .

Теперь нетрудно определить и проекции начальной скорости:

 

 

 

 

с ; О і А . = 50ОУ"2; и „ і

У = 500;

і>„і г ==500.

 

 

 

 

Мы получили

числовые значения постоянных интеграции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

500 V 2 =

707;

С 2

=

500; С,, = 500.

 

 

 

 

Подставляя эти значения постоянных в

уравнения

и выражая

проекции

ско­

ростей по (63), получим

 

три новых

дифференциальных

уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

4^

 

= 707;

- $ . = 500;

 

#

= 5 0 0 - £ / .

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

dt

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделив переменные

 

и проинтегрировав,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

х =

707/ + С 4 ;

 

у = 500/ +

С 5 ;

г =

500/ -

~

+ С „ .

 

 

 

Для определения

С 4 ,

С 5

 

и

С в

подставим

и в

эти

уравнения

вместо

/ его

частное значение 0, а вместо х,

у

и z — их

частные значения А'0, у0

и

г 0 :

 

При выбранной ііами системе координат имеем

 

л - 0 ~ 0 ;

у0~0;

г„ = +

30л<,

следовательно, С 4

= 0;

С 5

— 0;

 

С в

 

- +30 .

 

полученные

после

второго

интегриро­

Подставляя эти значения в уравнения,

вания, найдем кинематические

уравнения

движения снаряда:

 

 

 

 

 

 

 

 

л: =

 

707/;

 

у = 500/;

г =

3 0 + 5 0 0 / - ^ .

 

 

 

 

Чтобы

определить положение

точки,

в

которой

снаряд

упадет

в море,

надо

знать

продолжительность

 

полета

снаряда.

Для этого приравняем нулю аппли­

кату

г, так

как в

мгновение,

когда

снаряд

коснется

 

моря,

он будет

находиться

в плоскости

хОу.

Из

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4,905** — 500/ — 30 = 0

находим два значения: /=101,6 сек и / = —0,06 « к . Второе значение отбрасываем а первое подставляем в кинематические уравнения движения. Находим ответ.

О т в е т . х = 7 1 8 3 1 м---71,8 км; (/ = 50 800 м—-50,8 км;

г = 0.

 

Из этого примера

видно, что движение

точки

зависит

не только

от действующих сил,

но и от начальных

данных.

Если

бы началь­

ная скорость или начальные координаты

были иными, то и движе­

ние снаряда отличалось бы от полученного. Оно по-прежнему было

бы равномерным по горизонтали и равнопеременным по вертикали;

траекторией снаряда оставалась

бы парабола, но она была бы иной

и иначе

расположенной; иной

была

бы и точка попадания. Полу­

ченные

значения постоянных С\, С2 ,

С6 определены для данной

задачи, и при этих значениях постоянных может быть только одно найденное нами решение. Эти постоянные величины вовсе не яв­ ляются произвольными. Постоянные интеграции, являясь первона­ чальными значениями переменных, придают решению какой-либо задачи механики всю ту общность, какую она способна иметь.

Вариации постоянных интеграции**. Пусть движение какой-либо

точки М массы т происходит под действием силы F. Составив и проинтегрировав дифференциальные уравнения движения точки, определим постоянные интеграции Cj, С„, . .., С6 . Тогда, подставляя в полученные уравнения частные значения времени t, мы можем определить положение точки М во всякое данное мгновение. Пусть, например, в мгновение tt координаты точки М равны xlt y l t zt . Если мы дадим постоянным интеграции бесконечно малые прираще­

ния 6Cl t 6С2 , . . . произвольного знака и произвольной величины,

называемые вариациями, то положение точки М в то

же

мгновение tlt

но при измененных постоянных интеграции C1JrbC1,

 

Сг + 6С2 ,

будет иным. Точка М при неизменившемся времени получит беско­ нечно малое отклонение, координаты ее получат некоторые бесконечно

малые приращения

6xj,

8уг,

бг1 (

называемые вариациями

координат

точки,

при

движении, определяемом величинами Сг , С2 , . . .

постоян­

ных

интеграции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача

№

103

(26.16,

652

М).

Движение

точки

весом

2

Г выражается

 

урав­

нениями

x = 3cos2nt

см;

у = 4 sin лі

см,

где

і выражено

в секундах.

Определить

проекции

силы,

действующей

на

точку,

в

зависимости

от

ее

координат.

 

 

 

 

Решение,

Задача

относится

к

прямым

задачам

динамики:

по

данному

 

движе­

нию точки надо определить действующую силу. Для ее решения

продифференци­

руем

дважды

кинематические

уравнения

движения

точки

и,

умножив

на

от

най­

денные х

и у,

 

получим

X

и

Y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие дано

в

технической

системе

единиц,

и

в

этой

задаче

примем

L

в см,

F в Г и Т в

сек.

Кинематические

уравнения

движения

известны.

Дифференцируя

дважды,

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = — 4 л 2 3 cos

2nt = —

4п2х;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у = —4л;3 sin nt

= —

л-у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножая

массу

т =Но-г Г-см-1

-сек1

на проекции

ускорения,

найдем

 

проек-

ции силы в граммах. Чтсбы перевести их в ньютоны,

надо умножить

число

 

грам­

мов

на 0,00981.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим теперь эту же задачу в физической системе

единиц. Принимать за

основные единицы метр, килограмм и

секунду

в

этой

задаче

нецелесообразно.

Выразим

L

в см,

М

в г

и Т

в сек.

 

G = 2f.

 

 

 

 

 

 

 

 

т — 2 г.

 

В условии

задачи

дан

вес

 

точки

Следовательно, ее масса

Умножая

проекции ускорения на массу,

выраженную

в

граммах,

получим

проек­

ции

силы

в

динах: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х = — 8л2х

= — 78,88*

[дин];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y = —2n2y

= —\9,72y

[дин].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы

выразить

их

в

ньютонах,

надо

число

дин

поделить на

100

000.

 

 

 

 

О т в е т .

Х = —0,08Л: Г = —78,88д- дин =

—0,0007888л: н;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y = —0, Щ

Г = — 19,72у дин = —0,0001 Шу

н.

 

 

 

 

 

 

Обратим внимание на одно обстоятельство, которое' легко усмот­ реть в только что решенной задаче. Определяя силу по заданному движению материальной точки, мы нашли, что движение произве­ дено силой, являющейся функцией координат точки. Но мы могли бы выразить силу и как функцию времени. В самом деле, продиф-

ференцировав дважды кинематические уравнения движения и умножив вторые производные на гп, найдем

Х = — \2тя2cos2л/;

К =—4mTt2 sinn/.

Так одно и то же

движение

может совершаться под действием

различно выраженной

силы.

 

Из этого же примера видно,

что если точка движется в одной

плоскости, то, приняв эту плоскость за плоскость хОу, можно опи­

сать движение

точки

 

системой

пер-

 

 

 

вых

двух

дифференциальных

урав­

 

 

 

нений движения (126'); третье же

 

 

 

дифференциальное

уравнение

стано­

 

 

R

вится

лишним.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача

№ 104. Найти

плоскую траекто­

j

•У'

У |

рию точки

М

массы

т,

 

притягиваемой _ к

Ууа

х

 

неподвижному

центру

О

с силой,

пропор­

0

а

1

циональной расстоянию г и равной

k2mr,

 

 

 

при следующих

начальных

данных:

 

 

 

 

/о =

0; дс„--=а; у0

= 0; и о

х = 0;

voy

=

vn.

 

 

 

Решение.

Задача

относится

к

обратным

 

 

 

задачам динамики:

по заданной

силе

опре­

 

 

 

делить

движение. Точка М описывает плос-

Рис. 161

 

 

кую

траекторию, и нам понадобятся

только

 

 

 

два

уравнения

движения.

 

 

М имела

координаты х и у и находи­

 

Если в какое-либо мгновение / точка

лась

от центра

на расстоянии ОМ =

У Xі

-+- у'- (рис. 161), то проекции си ты на

оси

координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х = — k2mr

cos а =

• k2mr

— =

• k2mx;

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

Y = —k2mr

cos р-= — k2mr

—

—k"-my.

 

 

Дифференциальными уравнениями движения точки являются:

 

 

 

m-£-~

— k-mx;

m-r--

•k2 my.

 

 

 

dt

 

 

dt

 

 

 

 

Сократим на m и умножим

первое из уравнений

на vxdt—dx,

а второе — на

vv dt =•= dy:

 

 

 

 

 

 

 

vx dvx = — k3x dx; vv dvy = — k2y dy.

Интегрируем и умножаем на 2:

vl=

— k*x3

+ Cu

4^-k2y2-\-C2.

Для определения постоянных

интеграции

С х

и С 2 подставляем в эти уравне­

ния вместо переменных величин их начальные

значения:

 

0 = — A ^ - b - C i ; t ' o - + C 2 .

Значения постоянных

вносим

в уравнения,

одновременно выражая их и vv

по (63):

 

 

 

 

= fe*(aa — * a ) ;

-.к2

 

к2

Извлекаем квадратные корни, разделяем переменные и интегрируем:

Г

у

d x

=k

Crf/ + c:n ; arcsin — = ftr + C3 ;

J

u-

- • х-

J

 

 

a

 

 

 

d y

- k

[dt

+ C,\

arcsin ^ = - ^ + C4 .

1/

( f

У - * 4

 

 

 

 

 

Для определения

постоянных

интеграции

С а и С 4

подставляем в эти уравне­

ния вместо переменных

величин t,

х

и у

их начальные

значения:

Следовательно,

 

 

arcsin 1—:С3;

arcsin О — С 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти значения постоянных интеграции вносим в уравнения:

х

 

д

&

arcsin— = kt-\--=-;

arcsin — y — kt,

a

1

2

u0

откуда

— = cosW; — y=sinkt.

Мы получили кинематические уравнения движения (58) точки в декартовых координатах. Чтобы определить траекторию, надо из них исключить время. Возводя в квадрат и складывая, получаем уравнение траектории

У2 - = 1 .

О т в е т . Эллипс с полуосями а и

1k

Веще более частном случае, когда сила имеет постоянное на­ правление, а начальная скорость направлена по силе или равна нулю, движение точки прямолинейно. Направив ось Ох по этой траектории, мы обойдемся первым из уравнений (126), которое и нужно интегрировать, чт^обы получить закон (58') искомого движе­ ния точки. При этом нельзя забывать, что под X мы понимаем не силу, а ее проекцию .Fcosa, которая в данном случае по величине равна модулю силы. Если а = 0, то сила направлена в сторонуположительной оси Ох, и тогда Х > 0 . Если же а = л, то сила

направлена

в

сторону

 

отрицательного

 

направления

оси Ох,

тогда

X < 0. Более

подробно

такой

случай рассмотрен в § 39.

 

 

 

 

 

 

 

Падение в сопротивляющейся

среде

Задача №

105. Определить для

мгновения

t

скорость тяжелого тела,

падаю­

щего без начальной скорости

и испытывающего

сопротивление,

пропорциональ­

ное квадрату

скорости:

R^rngk^v2.

 

 

 

 

 

Решение.

Предположим, что тело начинает падать из начального положения О,

и направим вниз

из точки

 

О ось Ох. Так как

 

движение прямолинейное,

то для

его определения

достаточно

первого

уравнения

(126). На падающее тело действуют

Смотрите также файлы