Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 285
Скачиваний: 2
две |
силы: |
1) постоянная |
сила |
G = mg, |
направленная |
в |
положительную |
сторону |
|||||||||||
оси |
Ох, и 2) |
переменная |
сила |
R=mgk2v2, |
|
являющаяся |
функцией скорости; она |
||||||||||||
возрастает |
пропорционально |
квадрату |
скорости |
и |
направлена |
против скорости, |
|||||||||||||
а следовательно, |
против |
положительного |
|
направления |
оси Ох. |
Имеем |
|
||||||||||||
|
|
|
|
m-~=X^mg |
|
— mgk1-t-, |
где vx |
— — = v. |
|
|
|||||||||
|
Перепишем это уравнение, |
сократив |
|
его на |
т: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
^ = g ( l - * V ) . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Из этого |
уравнения |
видно, |
что |
падение |
не |
может |
быть |
равноускоренным, |
||||||||||
что по мере возрастания скорости сила |
сопротивления |
увеличивается, |
правая |
||||||||||||||||
часть уравнения уменьшается и ускорение стремится к нулю. |
|
|
|||||||||||||||||
|
Разделим |
переменные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
- |
,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(\ + |
kv)(\—kv) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Чтобы |
взять |
интеграл, |
перемножим |
|
соответственно левые и правые части |
|||||||||||||
этого уравнения |
и следующего |
выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
fe[(l-f-to)+(l— |
|
|
|
kv)]=2k. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Проинтегрируем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
In (\-\-ko)'—\n |
(\—kv) |
= 2kgt + |
C. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Постоянную |
интеграции |
С определим |
|
по начальным |
данным: при ( = 0 имеем |
|||||||||||||
[i0 = |
0, а следовательно, |
С = |
0. |
логарифм |
|
частного, |
поэтому |
|
|
||||||||||
|
Разность |
логарифмов есть |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
n r |
a |
= |
|
2 ^ |
, |
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
|
|
|
|
|
|
1 — kv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - f kv = |
(1 — kv) e2ltgt |
= e2kSt |
— kve2*&\ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e°-bet— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Это уравнение позволяет определить |
скорость падающего тела во всякое дан |
|||||||||||||||||
ное мгновение (. Оно уточняет |
известную |
формулу |
v = gt, так |
как здесь |
учтено |
||||||||||||||
и сопротивление |
воздуха. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
e^gt—l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : |
11 = -—— |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
£(1 -f-eJ *£f) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальные |
|
уравнения |
движения |
||||||||||||||||
п |
|
ТОЧКИ |
МОЖНО |
материальной |
|
точки |
|
в |
форме |
Эйлера. |
|||||||||||||||||
Движение |
г, |
|
г |
|
|
|
|
|
мы |
изучали |
1 |
три |
|
|
*\, |
||||||||||||
описать в проекциях |
на |
оси |
в |
кинематике |
|
способа |
|||||||||||||||||||||
естественного |
трехгранника |
определения |
|
движения |
точки: |
1) вектор- |
|||||||||||||||||||||
|
двумя |
уравнениями: |
|
|
ный, |
2) |
|
в |
прямоугольных |
|
координатах, |
||||||||||||||||
|
„ |
dv |
. |
|
|
|
3) естественный. |
Соответственно |
и |
в |
ди- |
||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
намике |
мы |
|
можем |
|
определить |
движение |
|||||||||||||
|
т^_V=р |
|
|
|
' |
|
точки |
по |
заданным |
силам |
(или силы |
по |
|||||||||||||||
|
|
р |
|
N |
|
|
|
заданному |
движению) |
векторным |
уравне |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
нием |
(125), |
в проекциях |
на |
прямоуголь |
|||||||||||||||
ные оси — уравнениями |
(126), |
а |
также |
естественными |
уравнениями |
||||||||||||||||||||||
движения. Из многих форм уравнений |
|
движения эти три применяют |
|||||||||||||||||||||||||
наиболее |
часто. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Проецируя |
ускорение |
на |
оси |
естественного |
трехгранника, |
мы |
||||||||||||||||||||
нашли (см. § 23), что |
проекции |
ускорения |
|
на касательную аТ, |
на |
||||||||||||||||||||||
главную |
нормаль |
aN |
и на |
бинормаль |
аь |
выражаются |
следующими |
||||||||||||||||||||
формулами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
у3 |
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aT~~~df'' |
|
aN |
— |
~'* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и |
вместо |
трех |
составляющих |
полное |
|
ускорение |
имеет только две. |
||||||||||||||||||||
Но сила |
всегда направлена |
по |
ускорению |
точки, |
а |
следовательно, |
|||||||||||||||||||||
проецируя силу на оси естественного |
трехгранника, |
мы |
и |
здесь |
|||||||||||||||||||||||
получим |
только |
две |
составляющие |
(FT—на |
|
|
касательную |
и FN |
— |
||||||||||||||||||
на главную нормаль) и определим движение точки только |
двумя |
||||||||||||||||||||||||||
уравнениями 1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
~ |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 2 8 > |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
m T |
|
= FN. |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задача № 106. Горнолыжник в конце склона развил скорость |
54 км/ч, |
после |
||||||||||||||||||||||||
чего свободно скользил по горизонтальному |
прямолинейному |
участку |
пути. Опре |
||||||||||||||||||||||||
делить длину |
и время |
свободного |
скольжения, |
если |
коэффициент |
трения лыж по |
|||||||||||||||||||||
снегу / ' = 0,051. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. |
В |
задаче |
примем |
единицы |
|
СИ; |
тогда |
|
вес |
лыжника, |
выраженный |
|||||||||||||||
в |
ньютонах, G = 9,81-m, |
где m — его |
масса |
в кг. |
Задача |
является |
обратной зада |
||||||||||||||||||||
чей динамики, |
так" как требуется определить движение |
по заданной |
силе F T p |
= |
/'G\ |
||||||||||||||||||||||
Достаточно одного первого из уравнений (128), |
потому что движение |
прямоли |
|||||||||||||||||||||||||
нейное. Проекция |
силы |
имеет |
отрицательный |
знак, так |
как сила |
трения направ |
|||||||||||||||||||||
лена против |
скорости, |
а скорость |
направлена |
в |
положительном |
направлении |
|||||||||||||||||||||
(в |
сторону |
возрастания |
расстояния): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
,п - ^ - = —0,051т-9,81. dt
Сокращаем на m и разделяем переменные:
dv= — 0,051-9,81 dt = — 0 , 5 0 Л .
Интегрируем:
и==—O.SOf-l-d.
1 Эти уравнения называют дифференциальными уравнениями движения мате риальной точки в форме Эйлера. Они даны Эйлером в 1736 г.
Чтобы определить постоянную Cj, |
подставим |
вместо / нуль, а вместо v—началь- |
54-1000 |
, |
|
ное значение скорости 3600 * ~ |
м /с е к : |
|
15 = —0,50-0 + |
Q . |
|
Подставляя это значение C t в уравнение, полученное после интегрирования, и заменяя v по (53), получим новое дифференциальное уравнение:
|
|
|
|
|
|
|
|
-+S -=-15 — 0,50/. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделим переменные |
и |
проинтегрируем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
^ , |
5 / |
- |
^ + С , |
|
|
|
|
|
|
|
В начальное |
мгновение |
лыжник |
не |
прошел |
еще никакого расстояния |
по |
гори |
|||||||||||
зонтальному |
участку, |
а |
потому С 2 |
= 0. Время |
скольжения |
до остановки |
опреде- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
лим, |
положив |
в уравнении, |
полученном |
для скорости, - ^ - = 0 : |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15—0,50/ = 0, |
откуда / = 30. |
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя это значение / в последнее уравнение, найдем длину |
свободного |
|||||||||||||||||
скольжения. |
Время скольжения 30 сек, |
|
225 м. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
О т в е т . |
длина |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача |
№ 107. Маятник |
Борда |
для определения ускорения |
свободно падаю |
||||||||||||||
щих тел представляет собой латунный |
шарик массой 200 г, |
подвешенный |
на |
очень |
||||||||||||||
тонкой |
проволоке |
длиной |
100 см. |
При |
качании шарик |
в наинизшем |
положении |
|||||||||||
имеет |
скорость 8 см/сек. |
Определить натяжение проволоки |
в ее нижнем |
конце при |
||||||||||||||
наинизшем |
положении |
маятника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
В задаче |
применена |
физическая |
системаединиц. Примем |
L |
в см, |
||||||||||||
М в г, |
Т в сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача относится к прямым задачам |
динамики. Чтобы |
по данному |
движению |
|||||||||||||||
латунного |
шарика, |
принимаемого |
за |
материальную точку, |
определить |
действую |
||||||||||||
щую |
силу, |
напишем |
второе |
из естественных |
уравнений |
движения материальной |
||||||||||||
точки |
|
(128). |
В наинизшем положении |
на шарик действует |
сила |
натяжения |
про |
|||||||||||
волоки, проекцию которой Т будем считать положительной, так как она направ
лена |
внутрь |
траектории, и сила тяжести G = 200-981 дин, проекцию которой |
будем |
считать |
отрицательной: |
р
или, подставляя числовые значения,
2 0 0 - ^ = 7—196 200,
откуда получаем ответ.
О т в е т . Т = 196328 дин = 1,96328 и.
Движение точки в плоскости
можно описать двумя уравнениями в полярных координатах
Уравнения движения точки в полярных координатах**. В ряде задач бывает удобно
исследовать |
движение |
точки |
в полярных |
координатах. |
т-т |
f |
• |
Примем |
без доказательства, |
||
•что проекция ускорения точки на поляр
ный радиус-вектор равна (г—пр2), а на перпендикулярное направ ление равна (гф-(-2г(р). Помножив на массу эти проекций ускоре ния точки и приравняв проекциям силы, напишем дифференциальные
уравнения движения точки в полярных координатах:
m.{r~r^)rFn |
\ |
( 1 2 9 ) |
т (rcp-f- 2гф) — F,,. і
Движение материальной системы, состоящей из п
точек, может быть опре делено системой Зп диффе ренциальных уравнений
Дифференциальные уравнения движения точек материальной системы. Пусть имеется материальная система, состоящая из п материальных точек. Для каждой из этих точек мы можем написать по три дифференциальных уравнения движения:
|
|
|
mkxk |
= Xh, mkyk = Yk, mkzh = Zh, |
|||
где mk—масса |
6-й точки, |
xk, yk и zk~проекции |
ее ускорения, a Xk, |
||||
Yk |
и |
Zk—проекции |
равнодействующей |
всех |
сил, 'приложенных |
||
к |
этой |
точке |
(k=\, |
2, 3, . . ., /г). |
|
|
|
|
Далеко не всегда действующие силы бывают известны. Обычно |
||||||
остаются неизвестными внутренние силы. Для |
вывода некоторых |
||||||
общих |
теорем |
динамики |
и при решении |
некоторых частных задач |
|||
бывает удобным выделить внутренние силы уже при написании диф
ференциальных |
уравнений |
движения. |
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим сначала одну из материальных точек системы, напри |
|||||||||||
мер |
точку |
с индексом 1(6=1), и распределим |
все силы, |
приложен |
|||||||
ные |
к этой |
точке, на две группы: внешние |
и |
внутренние.- |
Сложив |
||||||
все внешние силы, действующие на эту точку, |
получим |
их |
равно |
||||||||
действующую F\, |
а сложив все внутренние, |
получим |
равнодействую |
||||||||
щую |
внутренних |
сил F{. Проекции |
этих сил обозначим |
Х\, |
Y{, Z\ |
||||||
и Х{, Y[, |
Z\. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
поступим |
с силами, |
приложенными |
к |
остальным |
||||||
точкам, и заменим в написанных выше уравнениях проекции равно
действующей |
Xk суммой Хек + Х{; то же сделаем по двум |
другим |
||
осям. Тогда |
дифференциальные уравнения примут вид: |
|
||
|
m^ck |
= X%-\-Xlk\ |
^ |
|
|
mkyk |
= Y\ + Yi; |
\ , |
(130) |
|
mkzk = Z| + Zlk> |
) |
|
|
где k— 1, 2, . . . , п.
Следовательно, движение свободной механической системы, со стоящей из п материальных точек, определяется системой Зп диф ференциальных уравнений второго порядка.
Если система не свободна, а на нее наложены связи, выражаю щие некоторую зависимость между координатами точек механической
системы, то бывает возможным |
сократить число дифференциальных |
|||
уравнений |
движения, о чем будет подробнее сказано в § 52 и § 53. |
|||
В ряде |
случаев оказывается |
целесообразным |
разделить все силы, |
|
действующие на материальные |
точки механической системы |
на две |
||
категории |
по иному признаку, |
а именно на активные силы |
и реак |
|
ции связей. Как уже было сказано, реакции |
связей часто |
зависят |
||
