Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 280

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

от движения системы и не могут быть найдены, пока не определено движение системы. Обозначая проекции равнодействующей всех ак­ тивных сил, действующих на k-ю точку, Xjj, Y% и Z%, а проекции равнодействующей всех реакций связей, приложенных к k-u точке, X'k, Yi и Zrk, получим:

mkyk-Y%

+ Y'k; \

(130')

mkzk^Zak

+ Zrk, J

 

где k= 1, 2, . . . , п.

 

 

Во всем нашем курсе (если

это специально

не оговорено) рас­

смотрены только свободные механические системы и механические

системы с идеальными

связями. Понятие идеальных связей нам уже

встречалось в статике

(см. § 4) и будет уточнено в динамике

(см. § 51).

 

В дальнейшем из дифференциальных уравнений (130) и (130') мы выведем общие теоремы динамики таких материальных систем.

Решение многих проблем по динамике механических систем со­ пряжено с большими трудностями математического характера. Интегрирующие машины в очень многих случаях дают возможность преодолеть эти трудности.

§ 39*. КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Вкачестве примера интегрирования диф-

Кисследованию колебании ферёнциальных уравнений движения рас-

однои

материальной

точки

^ r

 

,-

 

»

могут быть сведены

многие

смотрим

колебания

материальной точки,

технические задачи

Еще совсем

недавно

изучение

колебаний

 

 

 

не входило

в программу курсов

теорети­

ческой

механики

высших

учебных

заведений. Но необходимость со­

здания новых методов расчета всевозможных машин и различных

сооружений, обладающих большой

прочностью

при небольшом весе,

а также необходимость увеличения

скоростей

и производительности

машин стимулировали быстрое развитие раздела динамики, называе­ мого теорией колебаний. Раздел, посвященный колебаниям, включен теперь во все программы по теоретической механике. В нашем курсе колебаниям посвящены § 39 и § 53.

С основами явлений колебаний удобно ознакомиться сперва на примере колебания одной материальной точки. Изучение вибраций одной материальной точки интересно также и потому, что к вибра­ ции точки могут быть непосредственно приведены многие практи­ чески важные задачи.

Пусть точка М массы т притягивается к точке О силой F, про­ порциональной (рис. 162) расстоянию ОМ, а начальная скорость точки М направлена по прямой ОМ или равна нулю. В таком слу­ чае точка М будет двигаться по прямолинейной траектории, вдоль которой мы направим ось х. Начало координат возьмем в точке О (в равновесном положении). Сила F как бы стремится вернуть точку М

Б равновесное положение О, за что ее называют восстанавливающей силой. Примером такой силы могут служить сила упругости стержня, совершающего малые колебания, или равнодействующая сил веса G и натяжения Т нити при малых колебаниях маятника и т. п. Чем больше

координата х, тем больше величина

этой

силы.

Вместе

с тем сила

У

 

 

(точнее говоря,

 

ее

проекция на

ось

 

 

 

Ох) по знаку всегда противоположна

 

 

 

знаку

координаты

х.

В самом деле,

 

 

 

если

точка

М

 

находится справа

от

О

ff

, v f р

х начала

координат

О, то

координатах

 

 

* — * •

положительна,

а

сила

направлена

в

 

 

 

 

 

 

отрицательную

сторону,

и наоборот,

 

 

 

если

координата

х

отрицательна,

то

 

 

Р и с - 1 6 2

восстанавливающая

сила

направлена

 

 

 

в положительную сторону. Обозначив

коэффициент

пропорциональности между силой и расстоянием через с

(причем

с > 0), выразим восстанавливающую силу

формулой

 

 

 

 

F = — cx.

 

 

 

 

 

(131)

Пусть на точку М во время ее движения действует сила сопро­ тивления R, пропорциональная скорости точки и направленная про­ тив скорости. Таким образом, если точка М движется вправо

(х > 0), то сила сопротивления

направлена

влево

(R <

0), и, на­

оборот, если х < 0, то

R > 0.

Обозначив

коэффициент

пропорцио­

нальности через а (причем а > 0), мы определим

силу

сопротивле­

ния (выражаясь точнее,

ее проекцию на ось Ох) формулой

 

 

 

 

R = — ax.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(132)

Кроме того, пусть на точку

М действует

возмущающая

сила

Р,

т. е. некоторая дополнительная сила, вызывающая

изменение

дви­

жения, обусловленного

основной

силой

F.

Возмущающая'

сила

на­

правлена по прямолинейной траектории

точки М и,

периодически

изменяя свою величину и знак, раскачивает точку

 

М то в ту, то в

другую сторону. Мы ограничимся

рассмотрением

 

простейшего

слу­

чая и предположим, что сила Р

изменяется

с течением

времени

по

закону синуса:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P = Hsmpt.

 

 

 

 

 

 

 

 

(133)

Очевидно, что сила

Р изменяется в

пределах

 

от

-j-Я до

—Н.

Пример такой силы приведен в задаче № 110.

 

 

 

 

 

 

 

Напишем дифференциальное уравнение движения точки М:

 

 

mx = F-^R~\-P

или тх = —сх—ax

+

Hs'mpt.

 

 

 

 

Разделив обе части уравнения, на т, введем обозначения

=

- = 2/г, — = = А

(134)

и

перенесем члены, содержащие х или

его производные,

влево:

 

xJr2nx-\-k'ix=*hs,\r\pt.

(135)

 

Мы имеем неоднородное линейное дифференциальное

уравнение

с

постоянными коэффициентами. Общее

решение такого

уравнения

складывается из: 1) общего решения соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения (135) без правой части, и какого-либо

частного решения неоднородного уравнения (135).

 

Для интегрирования

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

лЧ- 2«х +

/г2х =

0

 

 

 

составим

характеристическое

уравнение

 

 

 

 

 

 

z2 + 2nz + k2 =

0.

 

 

 

Если п <

k («малое сопротивление»),

то

характеристическое

уравне­

ние имеет

комплексные корни:

 

 

 

 

 

 

2 Ь А =

—П±.І

Vk2—

П2

 

 

и общее решение однородного

уравнения

имеет

вид

 

 

х. = є""' (С\ cos V*а—ft*1

+ C2 sin Vfc — n* t),

(136)

где Cj и

C2 — постоянные

интегрирования.

Эти

постоянные

можно

определить лишь после того, как будет

получено частное

решение

неоднородного уравнения

(135).

 

 

 

 

 

Частное решение неоднородного уравнения (135) при рфк

будем

искать вида

х=

В sin (pt— б).

 

 

 

 

 

 

 

 

Подберем такие постоянные Б и б, при которых написанное выражение удовлетворяет уравнению (135). Найдем первую и вто­ рую производные от х по времени:

х — Вр cos (pt — б); х — — Bp2 sin (pt — 6)

и подставим в (135) написанное выражение х и его производных:

— Bp2 sin (pt — б) + ЪхВр cos (р/ — б) + k2B sin (р/ —-б) = h sin pt.

Преобразуем

правую

часть

этого

равенства:

 

 

hsin/?/ == h sin (pt — 6 - f 6) —/isin

— 6) cos б - f h cos (pt — 6) sin

6.

Перенеся все члены влево и собирая члены, содержащие

s\n(pt

— б)

и cos (pt — б), получим

 

 

 

 

 

 

[В (k2

— p2)—h

cos б] sin (pt — b) -1- (2Bnp — h sin 6) cos (pt — 6) == 0.

Это

равенство

обращается

в тождество,

если

 

 

 

 

B(k2—p2)=/icos6;

2fiHp =

Asind,

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д =

,

*,

= -

; t e

a - А .

(137)

Складывая общее решение (136) однородного уравнения с най­ денным частным решением неоднородного уравнения, получим общее решение неоднородного уравнения (135) в таком виде:

о~ nt (Cj C O S K / J 1

— n-t 4- C2 sin J ' > — n11)

- f

+ л Г і у ,

= = - - s i n ( ^ - 6 ) .

(138)

Прежде чем исследовать сложное колебательное движение точки под действием сил F, R и Р, выражаемое уравнением (138), рас­ смотрим более простые движения, которые точка совершала бы под действием одной силы F или же под действием силы F и какойлибо одной из двух остальных R или Р.

 

 

 

 

Свободные

колебания

без

сопротивления.

Точка, движущаяся по пря-

Предположим,

что

на

материальную точ-

мой,

совершает под дейст-

к М

( ш

р и с _

] б 2

на

стр.

274) действует

вием

восстанавливающей

J

4

г

 

 

J

, 0 1 ,

'

силы

гармоническое

колеба-

только восстанавливающая

сила (131), сила

 

 

ние

 

же сопротивления (132) и возмущающая

 

 

 

 

сила (133) равны пулю. Пусть начальная

скорость

точки

М направлена

по

прямой

МО

или равна

нулю.

В таком

случае

точка М будет двигаться по прямой ОМ (по оси Ох),

дифференциальное и кинематическое уравнения ее движения мы по­

лучим, положив в (135) и в

(138)

п

и

h

равными

нулю.

В

самом

деле,

если

сила

сопротивления

R-=Q,

 

то,

следовательно,

а =

0,

по­

тому

что

R = — ах

их переменная

величина.

Если

же

а = 0,

то

равно нулю и п, которое согласно (134) равно

~

. Аналогично, ра­

венство нулю возмущающей

силы

означает,

что

равны

нулю Я и п.

В

таком случае

уравнение (135) принимает

вид

 

 

 

 

 

а его

интеграл

 

 

х +

£2 х==0,

 

 

 

 

 

 

 

(139)

 

x^C^oskt

 

+ C^rnkt.

 

 

 

 

 

(140')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этому уравнению придадим более удобный

вид, для

чего

выразим

постоянные интегрирования

Сх

и

С2

через

две

другие постоянные

величины

Аир,

однозначно

связанные

с С\

и

С2

соотношениями

Тогда

 

 

 

L V - ^ s i n p 1

и

C8

=

4cosp.

 

 

 

 

(140")

 

 

 

x =

As\n(kt-\-$).

 

 

 

 

 

 

 

(140)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это уравнение является одним из важнейших уравнений в тео­ рии колебаний и описывает наиболее простое колебательное движе­ ние, называемое гармоническим. Еще в древности было известно, что если некоторая точка М' (рис. 163) равномерно движется по окружности радиуса О'М' — А со скоростью kA, то проекция М этой точки на какую-либо ось Ох, лежащую в плоскости окружности, совершает гармонические колебания. Мы воспользуемся рис. 163, чтобы нагляднее ознакомить читателя с параметрами гармонического колебания.

Если

точка

М'

опишет

полную

окружность, то

точка

М

совер­

шит одно

полное

колебание.

 

 

 

 

М (или, что то же, время,

Время

одног.о полного колебания

точки

в течение

 

которого точка

М'

описывает

 

 

 

 

одну полную окружность) называют перио­

 

 

 

 

дом т„

колебаний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Угловая

скорость k,

с

которой

 

пово­

 

 

 

уи-д

рачивается

 

радиус-вектор

О'АГ

при

рав- .

\ \

'

номерном движении точки

М',

равна

цик-

\

! \ ^ \

Is

*

лической, круговой или угловой частоте

 

 

 

 

колебаний

точки М. Эту

величину

обычно

 

 

 

 

коротко называют частотой, хотя, как

 

 

 

 

будет видно из дальнейшего, оба

понятия

 

 

М

 

не вполне

идентичны.

 

 

 

 

 

 

 

^

 

Период

 

и

угловая

частота

связаны

 

Рис. 163

 

простым соотношением, которое становится

 

 

 

 

очевидным, если учесть,

что т0 — это время, в течение которого

ОМ',

вращаясь

с

угловой скоростью

k,

 

поворачивается

на 2л:

 

 

 

 

 

 

 

т„ = ^

и

 

6 = ^ ,

 

 

 

(141)

или ввиду

 

(134)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т„ =

2 я т / ^ .

 

 

 

(142)

Период имеет размерность времени [ т ] - Т Л

Частота имеет размерность угловой скорости

[k]=T~\

Из (141) видно, что круговая частота k равна числу полных колебаний, совершаемых в 2я сек. Частота v колебаний пропор­ циональна круговой (циклической, угловой) частоте k и равна — .

В технике и в физике частоту обычно измеряют в герцах

(ги).

1 гц —

частота, равная одному полному колебанию (циклу)

в

секунду.

Иначе говоря,

герц есть

частота такого периодического

процесса,

который повторяется каждую секунду. Обратите внимание

на то,

что частота и

период

гармонических колебаний

зависят

от

массы

точки и коэффициента

с

восстанавливающей силы

и не

зависят от

начальных данных.

 

 

 

 

 

 

Максимальное отклонение А точки М от среднего (равновесного) положения О в ту или в другую сторону (или, что то же, радиус круговой траектории точки М') называют амплитудой. Амплитуду измеряют в единицах длины:

 

И 1

і-'-

 

Аргумент синуса {kt-\-$)

называют

фазой колебания, a f5 — на­

чальной фазой. Физический

смысл

фазы

колебания выявляется при

Смотрите также файлы