Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

начальными

фазами. Колебание

с фазой

+

опережает

колеба­

ние с фазой

kt,

а колебание с фазой (kt — р1)

отстает от него (разу­

меется, при положительном Р).

Напомним, что А и 6 являются постоянными интеграции,

а сле­

довательно,

их определяют

по начальным

данным. Пусть в

началь­

ное мгновение

t = 0, х — XQ

ИХ

— XQ . Продифференцировав

(140) по

времени,

получим х

-

Akcos(kt

+

fi), и

подставляя

начальные

зна­

чения:

xB

= Asln$

и х0

=

Akcosfi,

получим

А

=

у

(143)

Из

тех

же

равенств

можно

определить

и

начальную

фазу

tgP = ^ 4 2 - .

Амплитуда

и начальная

фаза

зависят

от частоты

и от

ха

данных.

начальных

Задача

№

108

(32. 2, 826 М). Груз

весом

2 Т

подвешен на тросе

(рис. 164).

При равномерном

спуске груза

со скоростью

v — 5м/сек

произошла

неожиданная

задержка

верхнего

конца

троса

вследствие

защемления

троса в обойме

блока.

у/////.

Пренебрегая

весом троса, определить

его наибольшее на­

тяжение при последующих колебаниях груза, если коэф­

фициент жесткости

троса

с = 4

Т/см.

Решение.

Примем

следующие

единицы

измерений:

длина—в

см, время — в сек,

сила — в Т. Рассмотрим дви­

жение

груза. На

груз

действуют две

силы:

вертикально

вниз

вес груза

2Т,

вертикально

вверх — натяжение

троса.

Груз

спускался

равномерно,

следовательно,

до

защемле­

ния натяжение троса равнялось весу груза. В этом

равновесном

положении

его

застала

авария.

После за­

щемления

троса груз

не

остановился

мгновенно.

В это

( Ц І Ї

мгновение он имел скорость 5 м/сек

и продолжал

опускать­

AJ

ся. Но по мере

опускания

груза

сила натяжения

троса

возрастала от своего начального значения 2Т.

Ускорение

груза

направлено

по силе

и пропорционально

ей. Поэто­

му опускание груза было замедленным и в некоторое

Рис.

164

мгновение

скорость

груза,

перейдя

через

нуль,

стала

направленной

вверх,

в

направлении

силы

и ускорения.

Движение вверх было ускоренным, но по мере того как груз

поднимался,

растяжение

троса,

а следовательно,

и его

натяжение

уменьшались,

а

потому

уменьшалось

ускорение

груза,

скорость

же продолжала

увеличиваться

до

момента

прохождения

через

равновесное

положение. После

этого

груз,

набрав

скорость, продолжал подниматься,

но замедленно, так

как натяжение

троса

стало

меньше

силы

веса

и равнодействующая

приложенных

к

грузу

сил

была

направ­

троса

возрастало

и движение

повторялось снова

неопределенное

количество раз.

Начало О системы отсчета выберем обязательно в равновесном положении

груза,

относительно

которого происходят колебания, направив ось Ох вертикально

вниз

(рис.

164).

В

начальное

мгновение

(в момент защемления

троса) было:

х0--0;

х п = 500 см/сек.

Квадрат круговой частоты определим по (134). После подстановки

с

4•981

в формулу k2

= —

имеем

k2 ——-—-.

Определим

амплитуду

по

формуле

(143):

m

j /

А=

500а

1,28

см.

1962:

Таким образом, при равновесном положении груза натяжение троса

равно

2Г;

когда

же груз опустился

на одну амплитуду, то

трос растянулся еще на

11,28

см,

а при

жесткости

троса в

4 Т/см натяжение его

увеличилось еще на 45,12 Т.

О т в е т . 47,1

Т.

Натуральный логарифм отно-

Свободные

колебания

с

сопротивлением.

Движение

под действием

восстанавливаю-

шения

двух последующих

с и л ы

и

силы

сопротивления

будем

амплитуд затухающих коле-

называть

,

r

,

J \Л

баний

называют логарифми-

свободными

колебаниями.

Мы

ческим декрементом

только что убедились,

что

свободные

коле­

бания без

сопротивления являются

гармо­

ническими и, раз возникнув, они повторялись

бы до тех

пор,

пока

их не прекратила бы или

не изменила бы какая-нибудь внешняя

сила.

Пусть возмущающая сила отсутствует

(Р = О, Н = 0, h = 0), а на точку

действуют силы

F ——сх

и R——ах.

Дифференциальное

уравнение

(135)

движения

точки М принимает

вид

x + 2nx + k2x

= 0,

(144)

а его

интеграл

получим,

положив в

(138) h — 0:

х — Ae~nt sin (|/ б2"——Тг2 t -j- р).

(145)

2л.

1 + -

—

(146')

к

Сравнивая (141) и

(146), мы видим, что сопротивление

увеличи­

вает период свободных колебаний, но незначительно.

Гораздо больше оно влияет на

убывание амплитуд. Так,

например,

при п — 0,05

k сопротивления

увели­

чивают период на 0,125%, а амп­

литуда за время одного полного ко­

лебания уменьшается более чем на

25%.

На рис. 165 изображен

график

затухающих

колебаний

для

случая

п ==^0,05 k, позаимствованный из «Лек­

Рис. 165

ций» проф. Е. Л. Николаи.

Отношение

абсолютных

значений

двух

последовательных

амплитудных

циентом

затухания:

Ар —пі

—-

Ф =

/

Т ч = - * 2 -

О 4 7 )

Ае -

п I t +-

Для характеристики

быстроты убывания амплитуды удобнее поль­

зоваться натуральным логарифмом коэффициента затухания,

называе­

мым логарифмическим

декрементом

колебаний 1:

111 -ф = •

(147')

На рис. 165 пунктиром

изображены

кривые,

уравнения

которых

х=Ае~"'

и х = — А е ' " ! .

График затухающих

колебаний

расположен

между этими двумя кривыми и поочередно их касается.

Задача

№ 109. Маятник,

масса которого равна 1 кг и

период качания в без­

воздушной

среде

т 0 = 1 сек,

заставили

качаться

в среде,

сопротивляющейся

по

закону /? =

•—2х н. Определить:

1)

период затухающих

колебаний

маятника

и

2) уменьшение амплитуды в течение

трех

периодов.

Решение.

Определим

параметры

колебаний.

2я

Круговая

частота. Период т0 ==1 сек—

—

, откуда

6 = 2я — 6,28.

Коэффициент

а = 2;

т—\;

2/г =

- ^ - ,

откуда

я = 1 .

Период затухающих колебаний т х

=

г^И^.-

= ^~—

1,0129 сек, или по (146'),

78,9568

1,0127. Логарифмический декремент

6-

Коэффи­

Vk1- —IIі

6,20

циент

затухания ty — e

=1,648721.

1

От латинского слова decrementum — убавление, поэтому иногда встречающееся

выражение

«декремент затухания» совершенно

неправильно.

О т в е т , т,

=1,01 сек; Л х - - 1 ; Ла=-= 0,606; А, =0,307; Л4 =~-0,222; Л-, =-=0,134;

Л,

=-= 0,081.

Вынужденные колебания без сопротивле-

Под действием восстанавли-

ния. Пусть на точку М, движущуюся по

вающей

и возмущающей

сил

оси

Ох,

действуют

две

силы — восстанав-

точка

совершает

сложное

л и

в

а ю щ

а

я

—СХ

И

возмущающая

Р ==

колебание,

являющееся

ре-

,,

,

J

Ох.

зультатом

наложения

трех

=

н

sinpt,

направленные также по оси

гармонических

колебаний:

Величина pt может быть названа фазой

свободного,

сопровождаю-

силы,

постоянную

р

назовем

круговой

щего свободного

и

вынуж-

частотой

возмущающей

силы,

а

период

Д Є Н Н О Г О

" л

и

-

этих изменении обозначим через т. Дей­

ствие

сопротивления

мы

пока

не

учиты­

ваем,

поэтому,

положив

в уравнении (135) п==0, получим следую­

щее дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

без со­

противления:

х+'№х

= п sin pt.

(148)

Чтобы

найти

решение

этого

уравнения,

надо

в

(138)

положить

равным нулю

не

только

п,

но

и

б, так как

согласно

(137) 6 =

0

при п ---= 0. Имеем

х ~

С1 cos kt +

С2 sin kt -+-£г~.•

sin

Ра­

спределим постоянные. Если в начальное мгновение л' — хии

х =

ха,

то

и

х = х0 cos kt + xf sin

kt—

k{k*!Lpi)

sin kt + brzy*sin

Pt-

(149)

Первые два

слагаемых

описывают свободные

колебания

с

часто­

той к.

Воспользовавшись

соотношениями

(140"),

эти

два

слагаемых

можно

представить

в

виде xl

— A sin (kt +

(5). Если

в начальное мгно­

вение

х = х = 0,

то

эти колебания

во все

время действия возмущаю­

щей силы

не возникают. Третье

слагаемое

hp

•

Х-> =

ЇГ7ГГ7Г Sin kt

Хі^ііПГрїПпР*

(149')

описывает

вынужденные

колебания. Таким образом, колебания точки

являются

результатом

линейного наложения трех

гармонических