Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 276
Скачиваний: 2
колебаний: 1) свободных, 2) сопровождающих свободных и 3) вы нужденных (рис. 166):
x = xt + хе + хэ = A sin (fer-J-P)- |
hp |
,.± |
, |
h |
sin pt. (149") |
k(kl-pl) |
•sin kt |
1 |
k'z—рг |
На схеме (рис. 166) приведены только частоты этих колебаний, но разумеется, не изображены амплитуды и начальные фазы.
Вынужденные колебания происходят с частотой р, равной ча стоте возмущающей силы. Они не зависят от начальных данных.
Как видно из (143), для изменения амплитуды сво бодных колебаний доста точно изменить начальное отклонение или начальную скорость. Напротив, для изменения амплитуды вы нужденных колебаний надо изменить возмущающую си лу, что обычно бывает со пряжено с необходимостью преобразования конструк ции.
Если частота р вынуж денных колебаний меньше частоты k собственных (слу чай «малой» частоты), то амплитуда вынужденных
а фаза pt вынужденных колебаний совпадет
-p-
с фазой pt возмущающей силы. Но если р > k (случай «большой» частоты), то выражение, написанное для Ая, становится отрицатель ным, однако амплитуда не может быть отрицательной. Это кажу щееся несоответствие объясняется тем, что при р > k фаза вынуж денных колебаний противоположна фазе возмущающей силы и уравнение вынужденных колебаний имеет вид
Резонанс**. Если частоты собственных и вынужденных колебаний близки между собой, то амплитуды получаются очень большими. Напомним, что при интегрировании уравнения (135) мы положили рфк. Если p—-k, то дифференциальное уравнение (148) имеет вид
x + k*x = hs\nkt. |
(148') |
Будем искать частное решение вида |
|
x = Btcoskt. |
|
Определив ,v = — 2Bks'mkt—Btk-coskt |
и подставив его вместе |
сх в дифференциальное уравнение, получим
—2Bk sin kt — h sin kt,
откуда
в— и -
Находим общее решение дифференциального уравнения движения:
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
x — C1 |
cos kt + С2 sin kt—2k |
|
t COS kt. |
|
|
||||||
Дифференцируем по времени: |
|
|
h |
|
h |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х-- |
— Ctk sin kt + C2kcos |
kt — 2^cos kt + Y* s |
m kt- |
|
||||||||
Если в начальное |
мгновение |
х — ха |
и х — х0, то |
|
|
|||||||
и общее решение принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x~x..zo%kt |
|
-4-^-sin /г/ 4 |
- |
^ sin |
kt — ^-cos |
6/, |
|
|||||
|
0 |
|
|
1 6 |
1 |
2/г2 |
|
|
2£ |
|
|
|
или, полагая x0 =<4sin|3 и y==/4cosp\ |
получим |
|
|
|||||||||
|
х= |
A sin(kt + P) + 2^sin |
kt—'£kcoskt. |
|
(149"') |
|||||||
Следовательно, |
и |
при .равенстве |
частот |
движение |
точки состоит |
|||||||
из трех колебательных |
движений, |
однако |
|
вынужденные |
колебания |
|||||||
представлены |
непериодическим |
членом, |
в |
коэффициент |
которого |
|||||||
Рис. 167 |
Рис. 168 |
входит множителем время. С течением времени это третье слагаемое, называемое вековым членом, безгранично растет по абсолютной ве личине. Размах вынужденных колебаний непрерывно растет по линей ному закону. Это явление называется резонансом. График вынуж денных колебаний при резонансе представлен на рис. 167.
Задача № 110 (32.81,855 М; Г. |
Н. С а в и н , |
Н. А. |
К и л ь ч е в с к и й, |
|||
Т. В. П у т я т а . |
Теоретическая механика). Груз М подвешен в точке |
В к пру |
||||
жине АВ |
(рис. 168), верхний конец А которой прикреплен к |
поступательно дви |
||||
жущейся |
кулисе. Кривошип кулисного механизма имеет длину а==0,02лг и вра |
|||||
щается с |
угловой |
скоростью р = 7 |
, вследствие |
чего точка А |
совершает |
|
гармонические колебания по закону хА~0,02 |
sin 71 м . |
Определить |
вынужденные |
||||
колебания |
груза М, если его |
вес G — 3,6н, а |
жесткость |
пружины |
с ~ 3 6 я / л . |
||
Решение. Составим дифференциальное уравнение движения |
груза М. |
Начало |
|||||
координат |
выберем в точке, |
с которой центр |
тяжести |
груза |
совпадал |
в момент |
|
начала движения (при /=-0), когда верхний конец А пружины, совершающей гармонические колебания вместе с кулисой, занимал свое среднее положение. При
сделанном |
нами |
выборе |
|
начала |
отсчета |
(в |
равновесном положении |
|
груза) вес |
||||||||||||||||||
G — 3,6 н |
уравновешивался |
статическим |
|
натяжением |
пружины |
с А с т = |
|
36-0,1. На |
|||||||||||||||||||
личие |
|
этих |
|
двух |
взаимно |
уравновешенных |
сил |
эквивалентно |
|
их |
|
отсутствию, |
|||||||||||||||
а потому |
мы можем их отбросить и в дальнейшем |
рассматривать |
движение |
центра |
|||||||||||||||||||||||
тяжести |
груза |
лишь |
под |
|
действием |
натяжения |
пружины, |
обусловленного |
толь |
||||||||||||||||||
ко ее динамической |
деформацией, т. |
е. |
только |
деформацией |
пружины |
при |
коле |
||||||||||||||||||||
бании груза около равновесного положения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
При |
t |
Ф 0 |
положение |
центра |
|
тяжести |
груза |
определяется координатой х, |
|||||||||||||||||||
получающейся |
|
от |
суммирования двух |
перемещений: |
динамической |
|
деформации |
||||||||||||||||||||
пружины |
и перемещения |
a sin pt |
верхнего |
конца |
А |
пружины. |
Следовательно, ди |
||||||||||||||||||||
намическая деформация пружины равна разности |
перемещений |
ее |
нижнего конца В |
||||||||||||||||||||||||
и верхнего конца Л, т. е. равна х—asinpr. |
|
Дифференциальное |
уравнение |
движения |
|||||||||||||||||||||||
центра |
груза |
имеет |
вид |
|
|
|
— — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тх |
с (х — |
a sin |
pt). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Деля |
обе |
части |
уравнения |
на |
т и |
вводя |
обозначения — = |
m |
и |
— = я , |
при- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
J K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
||
дадим |
|
этому |
уравнению |
|
знакомый |
нам |
вид |
(148) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x-\-k-x |
— h sin |
pt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
, , |
|
|
36-9,8 |
n 0 |
|
, |
= |
л п |
. |
0,72-9,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где £ |
- = — — - |
= 98; |
p i |
49; A = — „ —— ==1,96 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
о, b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя в (149'), находим вынужденные колебания груза.
О т в е т . |
0,04 |
sin It. |
|
|
|
|
Задача |
№ 111 |
(№ 32.83, 858 М). Статический |
прогиб |
рессор |
товарного вагона |
|
равен 5 см. |
Определить |
критическую скорость |
вагона, |
при |
которой начнется |
|
«галопирование» вагона, если на стыках рельсов вагон испытывает толчки, вызы
вающие вынужденные колебания на рессорах: длина рельсов |
равна 12 л . |
|||||||||||||||
Решение. |
|
Жесткость |
рессор |
с^=~ |
о |
, частота собственных |
колебаний |
|||||||||
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
с |
|
л |
г ш |
,л |
,, |
|
|
|
|
|
Если поезд идет |
со |
скоростью |
v см/сек, то |
вагон |
получает |
толчки |
на стыках |
|||||||||
|
|
|
1200 |
|
„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через |
каждые |
— — с е к . |
Іаков |
период |
т возмущающей силы. Частота возмущаю- |
|||||||||||
щей |
силы |
|
2я |
2яи |
|
|
|
|
1200 р |
„ |
|
Р о в а н и е |
|
вагона |
произойдет |
|
р = -—= |
|2оо" , откуда |
и=^~2п—' |
|
^ а л 0 1 1 И |
|
|||||||||||
при резонансе, т. е. при |
равенстве |
частот |
собственных |
и вынужденных |
колебаний. |
|||||||||||
Подставляя |
в |
выражение, полученное |
для |
скорости, |
р = й = 1 4 , |
найдем |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1200-14 |
„ „ „ |
см/сек. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2л |
|
- =2Ь7о |
|
|
|
|
||||
Чтобы |
выразить скорость |
в км/ч, умножим выряженную в см/сек |
скорость на 0,036. |
|||||||||||||
О т в е т . |
|
V — 96км/ч. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если к точке приложены восстанавливающая и воз мущающая сила и сила сопро тивления, то свободные ко лебания затухают и остаются
только вынужденные
Влияние сопротивления на вынужденные
колебания. Если на точку, кроме восста навливающей и возмущающей сил, дей ствует также и сила R сопротивления, то движение точки описывается дифференци альным уравнением (135) и его решением (138).
Первый |
член правой части |
(138) с возрастанием |
t стремится |
||||
к нулю, и соответствующие ему |
|
колебания точки с |
течением вре |
||||
мени затухают, поэтому ими можно |
|
|
|
||||
пренебречь. |
Остаются |
только вы |
|
Свободные колебания |
|||
нужденные |
колебания |
(рис. 169): |
|||||
|
|
||||||
х = - г - h
(150)
'• — sin (pt — Ь).
Они происходят с частотой возму щающей силы, сопротивление не влияет на период вынужденных колебаний. Амплитуда не зависит от начальных условий и времени и не изменяется с течением вре мени.
Предположим, |
что |
возмущаю |
|
|||||
щая сила |
сохраняет |
свое |
макси |
|
||||
мальное |
значение |
Н. |
|
При |
равно |
|
||
весии под действием |
|
такой |
силы |
|
||||
и восстанавливающей |
силы F •-•••= |
|
||||||
— —сх |
точка |
М получила |
бы так |
|
||||
называемое статическое отклонение |
Результирующее движение |
|||||||
|
|
|
|
н |
. h_ |
|
Рис. 169 |
|
с |
т |
с |
k-tn |
|
k-- |
|
|
|
Из этого соотношения найдем максимальное ускорение точки М под действием возмущающей силы: /г k-xct и, подставляя это зна чение h в выражение (150), выразим амплитуду вынужденных коле баний равенством
h |
хст |
|
|
Y(&1— р-) + 4 я 2 р 2 |
-E1Y |
.В1 |
|
V |
|||
К1) 1 |
k2 № |
Отношение частоты вынужденных колебаний к частоте собствен ных колебаний
г"-Т |
<151> |
носит название коэффициента расстройки |
и отношение величины п, |
измеряемой в сек-1, к частоте собственных колебаний называют без размерным коэффициентом вязкости:
Р = 4 - |
(151') |
Введя |
эти |
обозначения в предыдущее |
равенство и разделив обе |
части его |
на |
хсп получим: |
|
|
|
|
(152) |
|
|
1/"(1-г*)* + |
4р*2 * |
Величина |
її—коэффициент динамичности — позволяет охаракте |
||
ризовать динамический эффект, вызываемый возмущающей силой.
Коэффициент |
динамичности г) зависит |
|
от |
двух |
величин |
(г и |3). |
||||||
, |
|
Задавшись |
каким-либо |
значением |
||||||||
|
|
р\ и откладывая по оси |
абсцисс |
|||||||||
|
|
различные значения г, а по оси |
||||||||||
|
|
ординат—соответствующие |
значе |
|||||||||
|
|
ния |
коэффициента |
динамичности |
||||||||
|
|
и, получим, так называемые, резо |
||||||||||
|
|
нансные |
кривые. |
На |
рис. |
|
170 |
изо |
||||
|
|
бражены |
резонансные кривые |
для |
||||||||
|
|
значений |
|
безразмерного |
|
коэффи |
||||||
|
|
циента вязкости: 0,25, |
0,15 |
и |
0,10. |
|||||||
|
|
Пунктиром |
нанесена |
уходящая в |
||||||||
|
|
бесконечность при |
Z = Y= |
1 резо |
||||||||
|
|
нансная |
|
кривая, |
|
соответствующая |
||||||
|
2,5' |
Р---0, т. е. вынужденным колеба- |
||||||||||
|
ниям |
без |
сопротивления. |
|
|
|||||||
|
р/к |
Как |
|
показывает |
график |
(рис. |
||||||
|
|
170) |
в |
областях, |
|
достаточно |
дале |
|||||
Рис. |
170 |
ких |
от |
резонанса, |
амплитуды |
вы |
||||||
|
|
нужденных |
колебаний с |
сопротив |
||||||||
лением почти не |
зависят от безразмерного |
коэффициента |
вязкости. |
|||||||||
В этих областях при вычислении амплитуд вынужденных колебаний
можно не учитывать |
сопротивлений и пользоваться более |
простой |
|||
формулой |
|
|
|
|
|
|
А |
_ |
|
" |
|
|
вин |
|
к*—рг |
|
|
При резонансе (p = k) |
амплитуда |
вынужденных колебаний |
при на |
||
личии сопротивлений остается конечной, но наибольшее значение амплитуда имеет, если р—Укг— 2п\ в чем легко убедиться, опре делив максимум амплитуды при различных р, считая h, k и п дан ными.
В вынужденных колебаниях с сопротивлением всегда бывает сдвиг фазы колебания по отношению к фазе .возмущающей силы. Величина этого сдвига определяется формулой (137).
Заметим, что все сказанное здесь относительно малых колебаний материальной точки полностью соответствует малым колебаниям материальной системы с одной степенью свободы.
