Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл (22,35Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 277

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 40*. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Дифференциальные уравнения относитель ного движения. Все дифференциальные

Кориолисовыми силами инерции называют две векторные величины, имеющие размерность силы и добавляемые к силам, приложенным к ма-

териальной частице, для определения доноситель -

у р а в н е н и я	движения, С которыми мы озна-
J г	„

комились в этой главе, относятся к абсолютному движению, т. е. к движению по отношению к инерциальной системе отсчета,

д л я н а п и с а н и я	дифференциальных уравне-
д в и ж е н и я	т о ч к и ( и л и ч а с т и ц ы ) о т н о .

сительно/ подвижных осей подставим в ос новное 'уравнение динамики (123) вместо

абсолютного ускорения точки его выражение (ПО):

_>._>.-». —»

та = m(ar + ае -\- ac) = F,

откуда

mar~F — тае—тас.

Векторную величину

имеющую размерность силы, равную произведению массы материаль ной частицы на ее переносное ускорение и направленную противопо ложно этому ускорению, называют переносной силой инерции Корио лиса.

Векторную величину

Фе = - м е ,

(154>

равную произведению массы материальной частицы на ее кориолисово ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют поворотной силой инерции Кориолиса.

	ma,==F+	Фе + Фс,	( 1 5 5 , )
или в проекциях на оси координат:
тхг	= Х + Фех	+ Фсх, \
туг^У + Феу		+ Фсу,	(155)
m'zr	= Z+ Фег	+ Ф„.	)

Таким образом, относительное движение материальной точки можно

описать такими	же	(по форме) дифференциальными уравнениями, как
и абсолютное,	но к	действующим на	точку силам нужно прибавить
две кориолисовы силы инерции: переносную и поворотную.
Эти величины1 следует отличать			от даламберовых сил инерции

(см. гл. XX), введение которых позволяет решать задачи динамики методом статики.

1 Обе эти силы предложены Г. Г. Кориолисом (1831 г.) и их часто называют коротко: переносная кориолисова сила и поворотная кориолисова сила.

Задача Ли 112. ( П р и м е р

И. М.

Б а б а к о в .

Теория

колебаний). Опреде

лить

амплитуду

вынужденных

колебаний

в относительном

движении

вибрографа

для

записи вертикальных колебаний

фундамента

(рис. 171),

совершающего

вместе

с фундаментом

колебания

по закону

х — a sin pt,

если

вес груза

равен

G и жесткость

пружины с.

Решение.

Рима

жестко

соединена

фундамен

том

н участвует в его колебаниях, как

и вращаю

щийся барабан Б, на котором груз G,

перемещаясь

вверх

и вниз,

записывает

колебания

фундамента.

Вертикальные перемещения х' груза G по отноше

нию К раме

являются

относительными

и по

отно

шению к барабану, если пренебречь его враще

У///Ж/;///////Ш/Ш////Л

нием.

Уравнение

этих

относительных

перемеще

ний

можно

составить

как

уравнение

абсолютного

движения,

если

заданным

силам добавить

пере

носную кориолисову силу, равную и противопо

ложную произведению вектора переносного ускорения

на массу

груза.

Переносная

сила инерции

груза

равна

•

а —

р* sm pt.

Напишем дифференциальное уравнение относительных колебаний груза, сокра тив на т:

х' -\-k2x' — ар2 sinp/,

где ft2 = - j j . Пренебрегая свободными колебаниями груза, напишем уравнение (149')

установившегося вынужденного колебания

груза:

ар-

' f t 2

— р - sin pt.

Амплитуда этих колебаний тем менее отличается

от амплитуды

колебаний

фундамента,

чем меньше собственная частота k прибора сравнительно с частотой р,

т. е. чем меньше жесткость

пружины

и чем больше масса

груза.

О т в е т .

А —

Задача № ИЗ . Ползун

G (рис. 172)

может

скользить

по хорде

АВ

равно

мерно вращающегося горизонтального диска, к

точкам

я В которой он при-

креплен

двумя одинаковыми

пружинами жесткостью - у каждая. Принимая

ползун

за точку

массы т и пренебрегая трением,

определить

зависимость периода

т его

колебаний в относительном движении по хорде от угловой скорости со диска.

Решение.

Построим оси

подвижной системы

координат

с началом в точке О

(в положении относительного равновесия ползуна), направив

Ох' по. хорде.

Определим силы, действующие на ползун. Если ползун отклонится от равно

весного

положения О на величину х',

то одна

из пружин

сожмется,

другая

растянется. Согласно закону Гука сила каждой из пружин пропорциональна

деформации		х'	и направлена		к точке О. Следовательно, на ползун		действует актив
ная	сила
					F--	• сх ,
	Кроме	активной		силы,	надо	учесть действие кориолисовых	сил: Ф в — пере
носной и Фс— поворотной.
	Переносная сила			инерции равна		произведению массы т ползуна	на его перенос
ное	ускорение:		(o2r = u>2'\^h2-\-x'2			и направлена против переносного ускорения, т. е.

от центра С диска. Чтобы определить проекцию этой силы на Ох', надо ее модуль

умножить на направляющий косинус, который при OG

х' равен

—. •'

• •

Поворотная

сила

Кориолиса равна произведению

массы ползуна на кориоли-

сово ускорение

2ш'

и направлена

против этого ускорения. Таким образом,

чтобы

определить

направление поворотной, силы

Кориолиса,

надо вектор

относительной

скорости повернуть на 90° против

переносного

вращения. Находим,

что поворот

ная сила инерции действует

перпендикулярно

АВ и

проекция

ее

на

Ох'

равна

нулю.

При найденных значениях активных сил и кориолисовых сил

дифференциаль

ное уравнение относительного

движения ползуна по хорде имеет вид:

171X — -

-\-пт1х'

— — (с—ото>2) х'.

Это

уравнение

выражает

гармоническое

колебание

периодом

= 2л 1 Г

}с — пжг

О т в е т ,

т =

2л

не

зависит

от

положения

хорды.

С— /7ZC0-

Задача № 114. Составить дифференциальное уравнение относительного движе

ния ползуна, описанного в предыдущей задаче,

считая,

что

при

его

движении

вдоль

хорды

А В

возникает трение, пропорциональное

нормальному

давлению на

хорду.

Решение.

Нормальное давление обусловлено

пово

ротной силой инерции и нормальной

составляющей

переносной

силы

инерции.

Поворотная сила ползуна Фс = 2тых'

переменна

-—X'

по величине и направлению. Она

направлена

перпен

дикулярно

хорде

АВ,

но в сторону положительных

значений

у',

если

точка

движется

сторону

отри

цательных

значений

х', Т . е. если

х'

и, наоборот,

в сторону

отрицательных у',

если

х'

положительно.

А так как сила трения направлена

всегда

против

относительной скорости, то силу трения, обусловлен

ную давлением Фс,

мы вполне определим по величине

и по знаку

выражением

Рис.

—

j'2mmx'.

Нормальная

составляющая

переносной

силы

инерции

ползуна

постоянна по

величине

и всегда

направлена

в сторону

положительных

у'.

Чтобы

ее определить,

надо

Ф е

тсо2 VOi2-f- Х' %

умножить

на

sin а =

/г: VК1

~\-ха

. Тогда

получим тсо2 /г.

Эта

составляющая

рассматриваемом

механизме всегда направлена в сторону

положительных у',

потому в

суммарном

давлении

обе

кориолисовы

силы скла

дываются при х' < 0 и

вычитаются

при

х'

дифференциальное

уравнение

относительного движения точки имеет вид

тх'

—

(с —

mco2 ) х'—ftn

(2ах'

± со2 /г),

причем

знак

второго

слагаемого

в скобках

надо брать положительным

при х' < 0

и отрицательным

при

х'

Решение

такого уравнения при движении точки G

влево

вправо получается,

конечно,

различным. Если

А - - 0

и хорда

является

диаметром, то вместо кулонова трения

получается

вязкое

демпфирование, завися

щее

от

скорости.

10 № 784

Г Л А В А XV

КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ

§41. КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ИСИСТЕМЫ. ИМПУЛЬС СИЛЫ

Количеством движения называют меру механического движения, выражающуюся геометрической суммой произ-

недении массы каждой частицы материальной системы

Количество движения точки и системы.

Ньютон во введении к «Началам» дал

		/	^
т а к о е	определение: «Количество движения
есть	мера	такового, устанавливаемая про-
порционально скорости и массе».
Всякая		материальная частица	обладает
		г	п

на ее скорость:

двумя

мерами

механического

движения,

о чем уже было

сказано

в § 37. Одна из

K = 2jmv

этих

мер, называемая

количеством

движе

ния,

имеет

применение

всякий

раз, когда

механическое движение от одного

тела

переходит

другому

виде

механического

же движения. Так, например, один биллиардный шар,

ударивши

другой,

передает

ему часть

своего

механического

движе

ния, выражаемого

количеством

движения.

Количество движения материальной частицы, обладающей

мас

сой т и скоростью v,

выражается

вектором

К, направленным

по

скорости

частицы

и равным произведению

массы частицы

на ее ско

рость:

К = то.

(156)

Размерность

количества

движения

в физической

системе

единиц

I K j ^ L W T - ,

например

м-кг/сек.

Эта величина

принята

за

единицу

количества

движения

в СИ.

В технической

системе

единиц

размерность

количества

движения

[ K ] T

L°F l T 1 ,

например

кГ-сек,

если

в технической системе сила выражена

в кило

граммах,

а время — в

секундах.

Наряду с вектором количества движения в механике применяют

проекции

количества движения

на оси:

Кх

= mv cos av

= mvx,

= mv cos Pv = mvy,

= mv cos yv

= mv2.

(157)

Направляющие косинусы количества движения равны направляю щим косинусам (62) скорости, так как вектор количества движения материальной точки или частицы направлен по скорости:

c o s a ^ ~ T - - -

Z s , c o s p , . - - ^ - — ~ T s ,

c o s ^ - = f - f - s -

( 6 2 )