Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

+

(158)

К

т£л,

(159)

* = i

Под проекцией количества движения системы на какую-либо ось

понимают алгебраическую сумму

проекции количеств

движения всех

точек

системы на

эту ось:

K x ^ m k v x k ,

Ky~j?mkvyk,

(159')

6=1

Точку,

определяемую

коор-

Центр

масс. Ознакомимся с очень

важным

в

д

И н а

м и

к е

понятием, частично

известным

динатами, равными

отноше-

к У Р с а

статики

твердого

тела (см.

нию

статического

момента

н

а м

н з

тела

или системы

относи-

гл.

V I I ) . Напомним,

что

центр

тяжести

тельно соответствующей оси

твердого

тела—это центр

параллельных

к его массе, называют цент-

с и л >

представляющих

веса

материальных

ром масс

частиц твердого тела. Для определения

координат центра

тяжести

мы вывели

формулы:

k-l

_

k=l

k=l

XC

Q

t УС

Q

> ZC ~-

Q

I

где

в числителе — статический

момент

веса относительно

соответст­

k=n

^

;

_ kfi

(45')

I

Г

~

•

291

10*

Понятие

«центр тяжести» и формулы, определяющие

координаты

этой

точки,

связаны с весом, с тяжестью. Но в динамике встречается

такое

состояние

механических

систем, при котором подобное

опре­

деление недостаточно. Вспомним, например, «состояние

невесомости»,

о котором

рассказывали

наши

космонавты,— здесь понятие «вес» и

«тяжесть» теряют свой смысл. Кроме того, в мировом

пространстве

существуют

области, где в состоянии невесомости

пребывает

всякое

тело

независимо

от его

движения, как, например,

точка простран­

продолжает существовать

и не теряет

своего значения.

Поэтому

целесообразно определить

эту точку

в

зависимости

не от веса,

а от

массы

частиц.

Пусть какое-либо твердое тело

или материальная система

под­

вержены действию

силы

тяжести,

и

координаты

центра

тяжести

определяются равенствами

(45). Поделим в этих равенствах

и числи­

тели и знаменатели

на ускорение

свободно падающего тела.

Коор­

динаты

точки от деления

числителя

и знаменателя

на одно

и то же

число

не изменятся,

но в знаменателе

мы

получим,

согласно

(124),

не вес, а массу системы, а в числителе—статические моменты

масс:

2 '"л

2 тиУк

2

да*гА

(160)

т

»

УС

т

у

^ с

т

Выражение количества

движения

системы

Количество движения систе-

Ч Є р

Є з

ее

массу

и

скорость

центра

масс,

мы

материальных

точек

т , r

J

r

~

г

равно

количеству

движения

Координаты центра

инерции С материаль-

ее центра масс, в котором

ной

системы,

движущейся

относительно

предполагают

сосредоточен-

осей xOyz, принимаемых за неподвижные,

ной

массу

всей

системы:

определяются

равенствами

(160),

где хк,

~K = invc

Ук

И

Z k

—п е Р е м е н н

ы е

координаты

точек

системы.

Из этих равенств,

освободившись

к=п

k=n

fc=n

2 mkxk = тхс,

2 ткУк = Ще,

2 mkzk ^ m z c -

( 1 6 1 )

ft=l

4=1

k=\

k=n

-

k=n

к=п

Но

если

равны

проекции

векторов на любую ось, то, следова­

тельно,

равны и сами векторы:

2

mkvh--=mvc.

f(

=

tnvc.

(162)

Задача

№ 115. Вычислить

количество движения

К однородного диска радиуса

г —50 см и массы 80 кг в двух

случаях:

проходящей через его центр,

1) диск

вращается вокруг

неподвижной оси,

делая

60

об/мин;

2) диск

катится

без

скольжения

и буксова­

ния

по прямолинейному

рельсу, делая

60

об/мин.

Решение.

Количество

движения

диска

равно

количеству движения

точки, масса которой

равна

массе

диска,

.а скорость равна скорости центра

масс

диска.

Задачу решаем в единицах СИ.

30

;Д

МІСЄК

и

К 8 0 л ^ 251,20

кг-м/сек.

О т в е т .

I) К—0; 2) К-251,20

кг-м/сек.

Задача № 116. Определить количество дви­

жения

эллипсографа

(рис. 173, а), состоящего

из

'кривошипа

OD, линейки

АВ

и

двух

ползунов,

центры

масс

которых

совпадают

с

шарнирами

А

и

В,

соединяющими

ползуны

с

линейкой

АВ.

Кривошип и линейку рассматривать как однород­

ные стержни веса Р и 2Р, причем OD

AD— BD = l,

веса ползунов^динаковы

и равны Q; кривошип

вращается с угловой скоростью со.

Решение.

Механическая

система

состоит

из четырех

тел: кривошипа, линейки

и двух

ползунов. Найдем

центр

масс системы. Центр масс кривошипа

находится

в

середине кривошипа

(рис. 173, б). Центр

масс линейки

и двух ползунов совпа­

дает с их центром симметрии D. Центр

масс

всего механизма лежит на криво­

шипе между этими точками. Расстояние центра масс системы от точки

О опреде­

лим по (160):

Р

I

,

2P--2Q

7

" т

-/

+

3P+2Q

JL+2P

+ 2Q

V c =

З Р + 20/

to"

ЗР +

20

Умножая Vc на массу

^

всей

системы,

найдем количество движения си­

стемы.

Импульсом постоянной силы

J

»

называют меру механического

РЄДЄЛИЛИ механическое действие матери-

воздействия на материальную

альных

тел

на

данную

материальную

частицу со стороны других

частицу

тремя

основными

характеристи-

материальных

объектов за

к а м и :

величиной,

направлением

и

продол-

выр^^Л ю1яУ Т О прТзТеде-

жительностью. Рассматривая

это

механи-

нием силы на

время ее дей-

ческое действие

лишь за одно

мгновение,

ствия:

мы пришли тогда к понятию силы. Но

-Z__-pt

действие всегда происходит во времени,

~

хотя

бывают

механические

действия (не­

дению модуля силы на время ее действия, называют

импульсом

постоянной силы за данный промежуток времени:

S = JFf.

(163)

dS = Fdt.

(164)

S = ^Fdt.

(164')

dSx

— Fdt cosa F = X dt.

Интегрируя в пределах

от t0 до t, находим Sx

и аналогично Sy

и Sz:

t

t

t

Sx=\Xdt,

Sy^^Ydt,

Sz=^Zdt.

(165)

По проекциям

(165) легко определить

модуль

и

направляющие

косинусы вектора,

однако

в этом редко встречается

необходимость

и

практически обычно ограничиваются определением проекций (165).

п

Пусть на точку действует несколько сил,

ft=1

Умножим

обе

части

этого равенства на

бесконечно

малый

промежуток

времени

dt

и проинтегрируем в пре­

делах от t0

до t:

t

t

t

t

]xdt=\x1dt+\x,dt

+

...

+

\xndt,

или

••SX1 + SX2+

...+Sxn.

(166)

"s=*2 sk.

(ібб')