Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

§ 42. ТЕОРЕМЫ О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И СИСТЕМЫ И О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

Теорема об изменении количества движения материальной точки. По основному закону

динамики под действием силы материальная точка получает ускорение. Но, чтобы сообщить материальной точке скорость, сила должна действовать в течение некоторого времени. Таким образом, скорость материальной точке сообщает не сила, а

импульс силы. Конечно, эта скорость зависит не только от импульса силы, но и от массы точки.

Напишем дифференциальные уравнения движения материальной точки в форме (127):

Мы нашли, что дифференциал проекции количества движения равен проекции элементарного импульса силы на ту же, ось.

Проинтегрируем левую и правую части первого из этих уравне­ ний в соответствующих пределах v0x, vx и /„, /; аналогично посту­ пив и с двумя другими уравнениями, получим:

т. е. вектор изменения количества движения материальной точки за какое-либо время равен вектору импульса силы, действующей на материальную точку за то же время. Конечно, и здесь под силой надо понимать равнодействующую, если на точку действует не одна, а несколько сил.

Решение. По заданным силам надо определить время движения точки. Но для решения задачи нет необходимости составлять и интегрировать дифференциальные уравнения движения, а можно воспользоваться теоремой об изменении количества

движения. На точку действуют вес G, сила трения /"г,, — fG cos 30° и реакция R плоскости. Направим ось Ох по наклонной плоскости вверх. Проекция равнодействующей всех сил на эту ось равна

А' = — G sin 30° — fG cos 30° = -—G

. 0,577 У'Т

нению скорости точки надо определить силу, производящую данное движение точки. Таким образом, задача является прямой задачей динамики. Решать ее мы будем, применив теорему об изменении количества движения. Примем горизонтальную

— Ь н.

Теорема о проекциях количеств движения системы. Теорема о количестве движения находит большое применение при исследо­ вании движения системы материальных точек, так как в этой теореме исключены все внутренние силы системы.

Пусть дана механическая система, сос­ тоящая из п материальных точек. Распре­ делив все силы, приложенные к точкам этой системы, на две категории (силы внешние и силы внутренние), напишем

дифференциальные уравнения движения точек системы в форме (129)

впроекциях на ось абсцисс:

m.dt — л і + л і -

dvxi m, dt

m, dl'm — Xе •

Сложив отдельно левые и отдельно правые части' написанных уравнений, получим

2 *i=o.

k-i

В левой части постоянные тк внеаем под знак производной, заменим сумму производных производной от суммы и получим для проекций на ось абсцисс

Мы не накладывали никаких ограничений на направление оси абсцисс, поэтому мы можем сформулировать следующую общую тео­ рему, называемую теоремой о проекциях количеств движения системы материальных точек: производная по времени от суммы проекций количеств движения всех точек системы на какую-либо ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на ту же ось.

Умножая уравнения (169) на dt и интегрируя, найдем, что из­ менение суммы проекций количеств движения всех точек системы на какую-либо неподвижную ось за некоторый промежуток времени равно сумме проекций импульсов всех внешних сил системы на ту же ось за то же время:

но теорему о проекции количеств движения системы чаще применя­

№

Это равенство называют интеграмш к&.шчествй движения системы материальных точек и словами его можно сформулировать так: если

Справедливо н обратное заключение: если сумма проекций коли­ честв движения системы на какую-либо ось постоянна, то сумма проекции всех внешних сил системы на эту ось равна нулю. В са­ мом деле, дифференцируя (171) по времени, найдем, что производная по времени от суммы проекций количеств движения на ось Ох равна нулю и ввиду (169) равна нулю сумма проекций на эту ось всех внешних сил системы.

сумма проекций на оси, но и геометрическая сумма векторов коли­ честв движения точек системы, т. е.

Такой случай мы можем представить себе в изолированной ма­ териальной системе, т. е. в системе, на точки которой не действуют никакие внешние силы. Примером почти полностью изолированной механической системы может служить солнечная система (см. § 36). Количество движения изолированной системы остается неизменным; этот закон называют иногда принципом сохранения количества движения.

2 m*f** * mvCx; 2 mkvyk = mvCy; 2 mptk = mvCt.