Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Дифференцируя эти равенства по времени и принимая во вни­ мание теорему (169) о проекциях количеств движения на Ох, Оу и Ог, найдем:

к=п

dt

Сравнивая эти уравнения с уравнениями (127), можно убедиться, что движение центра масс математически описывается тремя диффе­ ренциальными уравнениями, как и движение материальной точки.

Однако с физической стороны имеется некоторое различие между уравнениями (127) и (172). Всякая материальная точка обладает

внешним силам, действующим на материальные точки данной систе­ мы; внутренние силы не изменяют движения центра масс и не могут нарушить его покоя.

Три уравнения (172) движения центра масс в прямоугольной системе координат могут быть заменены одним векторным уравнением

О независимости движения центра масс от внутренних сил. Неза­

висимость движения центра масс от действия внутренних сил была установлена Ньютоном. «Центр тяжести системы двух или несколь­ ких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения», — писал он в «Началах». Теорема о движении центра тяжести (масс) имеет в механике большое значение, а потому необходимо пояснить физическую сущность этой теоремы.

На первый взгляд может показаться, что движение центра масс системы иногда происходит под действием ее внутренних сил. Напри­ мер, чтобы увеличить скорость парохода, поднимают давление пара, т. е. увеличивают внутренние силы системы. Молодой и здоровый че­

термальные тела, отчего возникают внешние силы, создающие движе­

Пароход развивает пары, чтобы быстрее вращать гребной винт и луч­ ше отталкиваться им от воды. Давление воды на гребной винт яв­ ляется внешней силой дли парохода. Никакое давление пара (внут­ ренняя сила) не создало бы движение парохода, если бы не было гребного винта или воды, взаимодействие которых создает силу тяги, являющуюся внешней силой для парохода.

Теоремы о движении центра масс и о количестве движения сис­ темы являются основой для расчетов реактивных движений. Ракета для своего полета не нуждается во внешней среде1 . Газообразные продукты горения с большой скоростью выбрасываются из сопла. Это движение продуктов горения (назовем их пороховыми газами) происходит под действием внутренних сил, а потому не может по­ влиять на движение центра тяжести всей системы, включающей пороховые газы и корпус ракеты. Если до взрыва ракета была не­ подвижна, то движение газов, так компенсируется движением кор­ пуса ракеты в противоположном направлении, что сумма количеств движения всей системы равна нулю и центр масс всей системы остается неподвижным и после взрыва.

В подобных задачах обычно применяют теорему о проекциях количеств движения

ходимо выбрать основные единицы измерения, например единицы СИ, тогда масса

1 Идея применения ракеты для полета человека принадлежит Н. И. Кибаль­ чичу (1881 г.) и К . Э . Циолковскому (1903 г.).

Рис. 175

в точке О на берегу и направив ось Ох горизонтально вдоль лодки. Сумма проек­ ций всех внешних сил на Ох равна нулю. Система состоит из двух материальных точек — лодки и человека. Равенство (169) принимает вид

fe=2

4г £ " г л * - о . k— 1

Если сумма проекций внешних сил равна нулю, то имеет место интеграл ко­ личеств движения (171). Действительно, проинтегрировав, получаем

*=2

Постоянную интеграции Сг определим из начальных данных: в начальное

мгновение лодка и человек были неподвижны. Таким образом, в начальное мгно­ вение количества движения точек системы и сумма количеств движения равня­ лись нулю, а потому Сх = 0, т. е.

тххх-\-тъхг — Ъ,

т. е. сумма произведений масс точек системы на их перемещения по оси Ох равна нулю. Здесь под перемещением по оси Ох мы понимаем проекцию абсолютного перемещения точки на Ох. Предположим, что лодка переместилась влево на ве­ личину— хх (рис. 175, б). Человек в относительном движении передвинулся вправо

на длину лодки (3,6 м), но в то же время лодка перенесла его в своем движении влево, следовательно, х2 = 3,6— хх. Подставляя эти данные и величины масс в предыдущее уравнение, находим

—100*1.+ 80 (3,6 — х ^ О .

Устудента, не имеющего достаточного навыка в решении задач, может возник­

ства. В данном уравнении все члены находятся слева; первый член —100%, сле­

направлении. Пренебрегая трением воды, определить скорость лодки после выстрела,