Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Учитывая,

что, кроме

прибавочной

силы

и независимо от нее,

на

точку М действует

сила

F,

проекции

которой обозначим

X, Y

и

Z, получим

дифференциальные

уравнения

движения точки

пере­

менной

массы

(уравнения

И. В. Мещерского)1 :

d-X

, , . & ! ,

.

m

— =

X : \ - w ( u s - v x ) :

d-y

л*

. dm,

.

(181)

m

l F = Y

+ d t ( - u y - v ^

d2z

rj

,

dm .

.

m

d F . =

= Z +

~dt{U*~

& z )

'

Эти равенства справедливы2

как при dm > 0,

так и

при dm < 0.

Они

справедливы

и для поступательного движения тела, если

центр

масс

этого тела не перемещается

в теле

значительно

от присоеди­

нения

к телу

или отбрасывания

изменяющих

масс.

Три

уравнения Мещерского

можно

заменить

одним уравнением,

написанным

в векторной

форме,

dv

7t

.

dm ґ~

, . 0 1 , ,

^

~dt~

~dt

< 1 8 1 )

Задача №

123*.

Ф о р м у л а

К. Э. Ц и о л к о в с к о г о .

Определить

ско­

рость

ракеты

(точки

переменной

массы)

при

ее прямолинейном

движении

и без

действия

внешних

сил,

если

относительная

скорость

выбрасываемых

газов

vr — u — v постоянна

и направлена

противоположно

скорости ракеты.

уравне­

Решение.

Направив ось Ох по

скорости ракеты,

напишем первое из

ний Мещерского

применительно к данному частному случаю:

dv

dm

.

і тп

г>

равенство правильнее называть

„

а не

О т в е т. v = v„-\-vr

In

. йіо

задачей,

формулой (см. В. В. Добронравов,

Н.

Н.

Никитин

и

А. П. Дворников,

«Курс

теоретической механики»).

Горизонтальное движение

реактивного

самолета 3 .

Задача

№ 124. Определить закон движения

x — x(t)

самолета

с жидкостным

реактивным

двигателем на активном и горизонтальном .участке полета, положив,

что масса самолета изменяется

по линейному закону:

т = т0

(1

—at),

1

Даны

И. В. Мещерским

в 1897 г.

Кйх=(т.—dm)vx;

Кх==

2

При

отбрасывании

изменяющей

массы

имеем

~ т (vx-\-dvx)

— dmux\ приравнивая

эти

выражения

друг

другу,

получим

(181).

3

Более

подробно .см. А.

А. К о с м о д е м ь я н с к и й .

Курс

теоретической

механики. М. Учпедгиз,

1955 г.

и последующие

издания.

dt

Л

1— at'

Интегрируя

один раз,

получим:

К

Подставляем

начальные данные

(при

t~0,

vx = vox),

имеем

vox — Сі-

Получаем следующее

выражение

изменения

скорости

самолета в зависимости

х

voxl

— | ^

-f- v r x

J 1 n (1 — at)

dt +

C2

Возьмем отдельно

последний

интеграл

1In

(I —at)

d^ = ( 1

^

a ^

-

- l

( 1 —

at)

In

(\—at)'\-C2

Следовательно,

x=voxt

- j j ^ -

(1 -

at)

In (1 - at) +

(1 - at) -j- C 2 .

Определим C 2

по

начальным

данным,

положив,

что

при

t = Q и х = 0, тогда

^-К,=о.

a

1

Подставив

в

предыдущее

равенство

вместо

С 2

его

значение — ~ £ _ найдем

что в эту формулу проекции входят

со своими

знаками, например,

в рассмотрен­

ной задаче проекция

относительной

скорости

и1х отрицательна, а

проекция на­

чальной скорости v o x

положительна.