какого-либо центра |
О равна моменту действующей на эту точку |
силы |
относительно того же центра О. |
|
|
|
|
|
|
|
Если точка движется в одной |
|
плоскости, |
то равенство |
(187) |
можно рассматривать как |
скалярное: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
= М 0 . |
|
|
|
|
(187") |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математический маятник * |
Задача |
№ |
126. Материальная |
точка |
М массы |
т |
подвешена |
на невесомой |
и нерастяжимой |
нити |
длины |
/, другой |
конец |
которой |
закреплен |
неподвижно |
в точке О (рис. 185). |
Точке |
М сообщили |
|
начальную ско |
|
|
рость о0 , перпендикулярную |
нити, и вывели |
из |
равновесного |
|
|
состояния («математический маятник»). Определить движение |
|
|
точки при условии, что начальная скорость мала. |
|
|
|
|
Решение. |
На точку действуют |
собственный |
вес G = mg |
|
|
и натяжение Т нити. Под действием этих сил и полученной |
|
|
начальной скорости математический |
маятник |
движется в вер |
|
|
тикальной |
плоскости. |
Для |
решения |
задачи |
составим |
урав |
|
|
нение моментов относительно точки О. |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
через |
<р угол |
отклонения |
|
маятника, |
тогда |
|
|
количество |
движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K = mq>l
Помножив на плечо /, получим момент количества движения:
Момент силы натяжения нити относительно точки О всегда равен нулю, а момент силы G
Мп |
= — Gl sin <р = — mgl sin ф. |
|
|
Рис. |
185 |
|
|
|
|
Подставляя в |
уравнение |
моментов |
(187") |
и сокращая |
на |
ml, получим |
|
|
/ф = — g sin ф. |
|
|
|
Чтобы определить движение математического маятника, |
надо это |
уравнение |
проинтегрировать, |
но оно не |
интегрируется в |
элементарных |
функциях |
и требует |
применения эллиптических функций, |
относящихся к разряду |
высших |
трансцен |
дентных функций. Однако в нашей задаче угол ф изменяется незначительно, так
как точка |
М |
до начала |
движения |
находилась в |
наинизшем положении, т. е. |
в состоянии |
устойчивого |
равновесия, и |
получила |
незначительную скорость. |
Поэтому мы можем |
доложить |
|
|
|
|
|
|
|
sin фж |
ф. |
|
Тогда |
уравнение |
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
Ф + |
^ Ф = 0. |
|
Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для интегрирования этого уравнения составим характеристическое уравнение 1
г2 + - | - = 0 .
1Читатели, не знакомые с этим методом, могут проинтегрировать уравнение, разделяя переменные, как это мы сделали при интегрировании аналогичного уравнения в задаче N° 104.
Корни |
характеристического |
уравнения |
мнимые: |
|
|
|
|
|
следовательно, |
общее |
решение |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф = С 1 С 0 8 j |
/ |
^ |
+ Q s i n |
|
Y~jt, |
|
|
|
где C t и С.2 — постоянные интегрирования. |
|
данным, |
для чего предварительно |
Определим |
эти |
постоянные по |
начальным |
продифференцируем |
по времени |
полученное |
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
f |
sm |
] / |
|
|
t |
yf |
cos |
V |
f |
1 |
|
|
|
ф = _ С |
|
|
|
ft+c |
|
|
|
и затем, подставив начальные данные |
^ |
= |
0, |
ср0 = 0, <To~-y-j |
> определим |
|
|
|
|
|
С 1 = = 0 , |
С, = |
--^=г |
|
|
|
|
|
|
Обозначая |
вторую |
постоянную буквой а, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cp = |
asi n |
|
у/~7 < - |
|
|
|
|
|
|
Это уравнение определяет угол поворота как функцию времени, т.'е. является |
кинематическим уравнением качания математического маятника. |
|
|
Величину |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ё |
|
|
|
|
|
|
|
|
называют |
частотой |
качаний |
математического |
маятника. |
Она |
связана с |
периодом |
т м качаний |
математического |
маятника |
|
обратной |
зависимостью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:2л |
I T |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
период |
малых |
качаний |
математического |
маятника |
зависит |
только от длины нити и от |
ускорения |
g |
свободно |
падающего тела. |
|
О т в е т . Малые |
колебания |
по |
дуге |
радиуса / |
с периодом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, = |
2 , |
У± |
|
|
|
|
|
(188) |
Если колебания не малые, и sin ср нельзя приравнять ср, то колебания маят ника неизохронны, т. е. период зависит от амплитуды
|
|
|
|
Интеграл |
моментов |
(для материальной |
Если |
момент |
действующей |
т о ч к |
и ) < |
в |
случае, |
если |
момент силы, |
при- |
на материальную точку силы |
|
|
|
„ |
} |
' |
„ |
> |
г |
относительно |
данной |
оси |
ложеннои к данной материальной точке, |
равен |
нулю, |
то момент ко- |
относительно какой-либо оси, например |
личества движения |
точки |
относительно оси Oz, постоянно равен нулю, |
относительно этой оси по- |
т 0 |
у р |
а в н е |
н и е |
моментов |
относительно |
этой |
|
стоянен |
|
|
J |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оси |
имеет |
вид |
|
|
|
1 Неизохронность колебаний маятника впервые отметил Пикар (.1647 г.).
откуда, интегрируя, получаем |
|
т(ху—ух) = С. |
(189) |
Мы доказали теорему, называемую законом сохранения момента количества движения материальной точки относительно оси. Сфор мулировать ее можно так: если момент силы, действующей на ма териальную точку, взятый относительно какой-либо оси, постоянно равен нулю, то момент количества движения этой точки относи тельно той же оси постоянен. Когда на точку действует несколько сил, то здесь (как и везде) под действующей силой мы понимаем рав нодействующую.
Момент силы, не равной нулю, относительно оси может равняться нулю только в двух случаях: 1) сила параллельна оси, 2) сила пересекает ось. В обоих этих случаях имеет место закон сохранения момента количества движения относительно данной оси.
Чтобы равнялся нулю момент силы относительно данного непод вижного центра, линия действия силы должна проходить через этот центр. Следовательно, условия сохранения момента количества дви жения относительно данного центра следующие: 1) равнодействую щая сил проходит через этот центр или 2) все силы взаимно урав новешены. В этих случаях
|
|
|
Т0 |
= С. |
|
|
|
|
|
(189') |
|
|
Центральная |
сила*. |
Пусть |
к |
точке М |
Под действием |
центральной |
м а с |
с ы т |
приложена |
сила |
F, |
линия |
дейст- |
силы точка описывает плос- |
|
|
„ |
всегда проходит |
через |
непод |
кую траекторию |
в и я |
которой |
|
|
вижный |
центр О. Такую |
силу |
называют |
центральной. |
Построим |
в точке О систему прямоугольных |
|
коорди |
нат хОуг. Моменты силы F относительно осей координат равны нулю, следовательно, моменты количества движения точки М постоянны.
Обозначим момент количества движения относительно оси Ох буквой |
А, |
относительно оси Оу—буквой В и относительно |
Oz — буквой С: |
|
|
m{yz — zy) = A, m(zx—xz) |
— B, m(xy—ух) —С, |
|
где х, у, |
z — координаты^точки М в какое-либо мгновение, а х, у и z — |
проекции |
скорости точки в то же |
мгновение. |
Умножим первое |
из |
написанных выражений на координату х точки М, второе—на коор динату у, третье — на г и сложим их:
т (xyz + xyz-{-xyz—xyz—xyz—xyz) |
= Ах-\- By + Cz, |
или |
|
Ax + By + Cz = 0.
Мы получили уравнение плоскости. Координаты х, у и z точки М должны удовлетворять этому уравнению, следовательно, точка М должна двигаться в этой плоскости. Таким образом, под действием центральной силы точка описывает плоскую траекторию. Например, Земля под действием притяжения к Солнцу движется в плоскости эклиптики.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Прямая |
линия, |
соединяю |
Интеграл площадей*. |
Равенство (189) яв |
ляется первым интегралом дифференциаль |
щая планету с Солнцем, опи |
ных уравнений |
движения |
точки для рас |
сывает равные |
площади в |
смотренного случая. Поэтому его называют |
равные промежутки времени» |
|
(Кеплер) |
|
интегралом |
моментов. Его называют также |
|
|
|
|
|
интегралом |
площадей. |
Чтобы пояснить это |
название, приведем следующую геометрическую интерпретацию. |
Планета |
Р |
(рис. |
186) |
движется вокруг |
Солнца |
О, находящегося |
в одном |
из |
фокусов |
эллипса. Количество движения |
планеты изобра- |
.тЇЇ
1 0
зим вектором mv, касательным к орбите. Момент количества дви жения планеты относительно оси Oz, перпендикулярной к плоско сти орбиты, равен ти-ОБ, следовательно, по (189),
mv-OB — С,
а так как масса т планеты постоянна, то
Пусть за время dt планета сместилась на элемент дуги ds — vdt радиус-вектор ОР планеты описал сектор, заштрихованный на чер теже. Площадь этого сектора do равна
do = ±OB-v-dt = ^dt.
Отсюда видно, что площадь о, описываемая радиусом-вектором планеты, возрастает пропорционально времени t независимо от поло жения планеты на ее орбите1 . Планета движется по своей эллип тической орбите неравномерно. Чем ближе она находится к Солнцу, тем быстрее она движется по орбите, но площади, описываемые радиусом-вектором за одинаковые промежутки времени, всегда оди наковы, независимо от того, находится планета (рис. 187) в пери гелии Pj (ближайшей к Солнцу точке своей орбиты), или в афелии (наиболее удаленной точке), или же где-либо в другом месте своей орбиты. На чертеже белые и заштрихованные части фигуры обозна-
1 Закон открыт Кеплером и опубликован в 1609 г. Это второй закон Кеплера.
