Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 265

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

денного из данного центра О в данную материальную точку (или частицу) М, и количества движения К этой точки (или частицы):

L 0 = rxK.

(182)

Размерность момента количества движения — это

размерность

количества движения, умноженная на размерность длины. Таким образом, в физической системе

а в технической системе единиц момент количества движения имеет размерность первой степени относительно длины, относительно силы и относительно времени:

[ L j ^ L ^ T 1 .

Если точка М (рис. 181) движется в плоскости хОу, то момент количества дви­ жения точки М относительно начала ко­ ординат удобно выражать через коорди­ наты х, у и проекции количества движе­ ния тх, ту. Величина момента количества движения равна произведению Kh, или, как видно из чертежа,

 

 

L 0 — Kh — mvr sin b = mvr sin [aK—ar).

Рис. 181

 

Раскроем

синус

суммы:

 

 

• mvr (sin oleosa,. — cosaA -sin a,).

 

 

 

Заменив синусы

и косинусы

их значениями

cos a, = •

 

 

 

У .

s i n a , ^ — ,

cosaA . = —; sina r = —;

 

к

v

r

T

к v »

получим окончательно

 

 

 

 

 

L 0

=

m(xoy—yvx).

(183)

Момент количества движе­ ния материальной точки от­ носительно оси равен проек­ ции на эту ось момента ко­ личества движения данной материальной точки относи­ тельно какой-либо точки

этой оси

Момент количества движения материаль­

ной точки относительно оси. Пусть дана какая-либо ось (рис. 182, а). Возьмем на ней произвольную точку О. Пусть момент количества движения материальной точ­ ки М относительно точки О выражается

вектором L 0 — OP. Спроецируем вектор Ь0 на данную ось:

ON = OP cos Ф.

Скалярную величину, равную проекции на Данную ось момента количества движения материальной точки относительно какой-либо точки той же оси, называют моментом количества движения мате­ риальной точки относительно оси.

Чтобы определить момент количества движения точки М относи­

тельно оси, надо спроецировать вектор количества движения

К=АВ

(рис. 182, б) на плоскость, перпендикулярную оси, и определить

величину момента этой проекции аЬ относительно точки О пересече­ ния оси и плоскости. В самом деле, модуль момента количества

Рис. 182а

Рис. 1826

движения относительно точки О выражается удвоенной площадью треугольника ОАВ. Треугольник Oab есть проекция треугольника ОАВ, двугранный угол определяется линейным, а потому

2 пл. Д Oab = 2 пл. Д ОАВ cos ft, откуда в принятом масштабе

2 пл. Д Oab = OP cos ft = ON,

что и

требовалось

доказать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения момента количества дви-

Момент

количества

движе-

жения

материальной

точки

относительно

ния L z

материальной

точки

координатных

осей

существуют

удобные

относительно оси

Oz

связан

формулы,

к выводу

которых

мы

сейчас

с координатами

х,

у

этой

т

r

J

 

 

J

r

 

 

 

 

точки

и с проекциями

ее

 

приступим.

 

 

 

 

 

 

количества движения

тх, ту

 

 

П У С Т Ь

*. У,

г —координаты

материаль-

соотношением

 

 

 

н о й

т о

ч к и

(рИ С _

183),

к. — вектор

количе-

L z = xmy—ymx.

 

 

с

т в а

д В И Ж е Н и я

этой

точки, a mvx,

mvy

и

 

 

 

 

 

mvz

— проекции

количества

движения

на

оси координат. Чтобы определить момент количества движения точки относительно оси Oz, надо скачала спроецировать вектор /Сна плос­

кость

хОу. Обозначим эту проекцию

Кху.

Абсцисса х и ордината у

точки

приложения проекции К,у те

же,

что и у

вектора К-

Проек­

ции обоих векторов на оси Ох и Оу также одинаковы. Но, как

только

что было показано, величина момента вектора Кху

относительно на-

чала координат выражается через его проекции и координаты точки приложения формулой (183), следовательно, той же формулой выра­ жается момент количества движения точки относительно оси Oz:

L r — xmv„ ~ymvx.

Путем таких же рассуждений выведем аналогичные формулы для

г

L

x

и L y . Обозначая точками

производные

от

координат

 

 

по

времени

(проекции ско­

 

ростей), будем иметь:

 

!

=

m(yz--zy),

С X

\

 

-•х

 

 

 

 

=

m(zx-—xz),

 

г (184)

 

Ly

У

 

и =

т(ху-—ух).

 

 

30 7\

-у

Рис. 184

Иным путем эти же формулы можно просто получить из вектор­ ного произведения (182), представив его в виде определителя:

t

і

к

= im (yz — zy)-\- im (гх—xz) - j - k (xy — yx)

L 0 = rxK- х у

г

 

тх

ту

тг

 

и сравнив

это

равенство

со

следующим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L 0

— iLx

-f- jLy - j -

kLz.

 

 

 

 

Задача № 125. Материальная точка M (рис. 184) массы т движется согласно

уравнениям х—г

cos лі,

y = rsmnt,

 

г = г sin л*. Определить

момент

количества

движения точки М относительно начала координат О.

 

 

 

Решение.

Определим

по формуле

(184) моменты количества

движения точки М

относительно

осей

координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L x

= т (г

si n atгл cos

пі

— г si п пі

• гл

cos

лі)

= 0;

 

 

L v

— m (— r sin л і - г л

sinn* — r cos

лі-гл

cos

л*) =

— т г - л \

 

L z

= m (r

cos

лі-гл

cos

я* +

л sin яг^/тт sin я*) = -(-

mr-л.

 

Моменты

количества движения материальной точки относительно

координат­

ных осей являются

проекциями на эти оси момента количества движения той же

точки относительно

начала координат,

поэтому

 

 

 

 

 

L„ = V"Ll-гЦ-г

1*г = тггя Y~2.

Направляющие косинусы вектора момента количества движения точки М имеют следующие значения:

COS OLi

=0; c o s P £ = ^ = -

ї ї

cos

V 2

Y I =

 

 

2

 

 

О т в е т . Момент количества движения точки М постоянен по величине и на­ правлению, равен по модулю тг'1п У~2 и направлен перпендикулярно к оси Ох, под углом 135° к оси Оу и под углом 45° к оси Oz.

Главный момент количеств движения материальной си­ стемы относительно центра равен геометрической сумме моментов количеств движе­ ния всех точек системы от­ носительно того же центра:

^гл. 0 = 2 L 0

Главный момент количеств движения си­

стемы. Если дана система материальных точек и некоторый центр О, то, определив моменты количеств движения каждой ма­ териальной точки относительно этого цент­ ра, получим пучок векторов, пересекаю­ щихся в центре О. Вектор, равный геоме­ трической сумме всех этих векторов, изо­ бражает главный момент количеств движе­

ния системы материальных точек относительно данного центра:

 

 

L

- У LkO-

 

(185)

 

 

 

k-1

 

 

 

Эту

же величину

называют также

кинетическим моментом си­

стемы материальных

точек

относительно данного

центра.

Главный

момент

количества движения

системы

относительно

центра

является

динамической характеристикой механического движения, учитываю­ щей положение материальной системы по отношению к данному центру.

 

 

 

 

 

 

 

Момент

количества

движения

материаль­

Главный

момент

количеств

ной частицы

относительно оси — величина

движения

материальной

си­

скалярная. Поэтому для определения глав­

стемы относительно

оси

ра­

ного момента

количеств движения системы

вен

алгебраической

сумме

материальных

точек относительно оси надо

моментов

количеств

движе­

взять

алгебраическую сумму

моментов

ния

всех

точек

системы

от­

 

носительно

этой

оси

 

количеств движения всех точек системы

 

^гл -V —

^^х

 

 

относительно

этой

оси:

 

kx-

А=1

Главный момент количеств движения системы относительно ОСИ равен проекции на эту ось главного момента количеств движения той же системы относительно какой-либо из точек оси:

А'л. о

cosaL.

Эту же величину называют также кинетическим моментом системы материальных точек относительно оси.

Для определения главного момента системы относительно коор­ динатных . осей определим по (184) моменты количеств движения

всех частиц системы и затем просуммируем эти выражения;

к— п

^гл. * = 2 Щ (ykzk — zkyh),

У 2

^ г л . у =

2

m k i z k x k

xkzk)>

 

k=l

 

 

§ 44. ТЕОРЕМЫ О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Производная по времени or момента количества движе­ ния материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту действующей на точку силы относительно

dLx

той же оси: dt

Теорема моментов (для материальной

точки). Пусть какая-либо точка массы т движется под действием силы. Напишем выражение момента количества движения этой точки относительно оси Ох:

L x = m(yz — zy).

(184)

Дифференцируя по времени левую и пра­ вую части этого равенства, получим

dLx

, •

•yz — zy—гу) = ymz — zmy;

~[f^rn(yz-

 

но согласно (126')

my — Y и mz — Z,

где Y и Z—проекции силы, действующей на данную точку. Следовательно.,

В правой части мы получили момент силы относительно оси Ох, как это было показано (23) еще в статике (см. § 9).

Согласно этой теореме, называемой теоремой моментов, произ­ водная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту силы, действую­ щей на эту точку, относительно той же оси. Теорема доказана для оси Ох, но совершенно аналогично можно доказать ее и для всякой другой оси:

dLx

dL„

. .

dLt

(187)

 

dt

У

IT

 

 

Равенства (187) справедливы для любой оси, следовательно, их можно записать и в векторной форме:

—*-

.

§> = М 0 .

(187')

Словами это равенство читают так: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно

Смотрите также файлы