Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 263

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

чают равные площади, соответствующие движению планеты за равные промежутки времени, а именно за 1/12 времени полного оборота планеты вокруг Солнца.

Разумеется, закон площадей справедлив не только для движения планет под действием притяжения к Солнцу. Движение каждой материальной точки под действием всякой центральной силы проис­

ходит с постоянной секторной

скоростью (а = const).

 

 

Напишем

выражение интеграла

площадей в декартовых

коорди­

натах:

 

 

 

 

 

 

 

 

xy — yx = C1 = 2is.

 

(189)

Аналогичное выражение в полярных имеет вид

 

 

 

 

 

=

= 2<т.

 

(189")

Эту формулу

можно получить

из предыдущей преобразованием

коор­

динат. Она полезна при решении ряда вопросов динамики.

 

 

Задача

№

127. Материальная

точка

М (искусственный спутник)

движется

по эллипсу

(рис. 188) под действием

силы притяжения к точке О (к центру

Земли),

О

 

 

 

 

 

Рис.

188

 

 

 

 

 

Рис. 189

 

находящейся

в

одном из фокусов эллипса. Определить скорость

v2 точки М в

наиболее удаленной

от фокуса

О точке

Р 2

ее траектории

(в апогее),

если скорость

в наиболее

близком

положении

Р1

(в

перигее)

равна

8 км/сек,

OPj = 6500 км

и О Р 2

= 6600

км.

 

движется

под действием центральной силы, следовательно, ее

Решение.

Точка

момент количества движения относительно точки О постоянен.

 

Если массу точки обозначим

через т, то момент количества движения точки М

в положении

Pi

получим,

умножив

массу

на скорость и на плечо:

 

 

 

 

 

 

 

L o

=

m-8-6500 = 52 000 т

км2-кг-сек~1.

 

Аналогично

в

положении

Р 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L o = m-y2 -6600

км2-кг-сек~1.

 

 

Приравнивая

 

друг другу эти два выражения

постоянного момента количества

движения точки,

 

найдем

еескорость

с 2 .

 

 

 

 

О т в е т .

у2 =

7,88

км/сек.

 

 

 

 

 

 

 

нерастяжимой

Задача

№ 128 (№ 28.4, 736 М). Гирька М привязана к концу

нити Л40-4 (рис. 189), часть которой OA пропущена через вертикальную трубку;

гирька

движется

 

вокруг

 

оси

 

трубки

по

окружности

радиуса MC = R, делая

323

 

 

 

 

 

 

 

И *

 

 

 

 

 

 

 

 

« 0 = 1 2 0

об/мин.

Медленно

втягивая

нить

OA

в трубку, укорачивают

наружную

часть нити до длины ОМь

при которой гирька описывает окружность

радиуса

~ R.

Сколько оборотов в минуту делает гирька по этой окружности?

 

 

 

 

Решение.

Применим

теорему

моментов. К материальной

точке

(гирьке)

при­

ложены

две силы: вес гирьки, направленный

по вертикали вниз, и натяжение нити,

направленное

по нити в точку О. Первая из этих

сил

параллельна

оси

трубки,

вторая

пересекает

эту

ось; следовательно, моменты

обеих

приложенных

к точке

сил относительно

 

Оси трубки равны

нулю,

и согласно

(189)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1г =

С.

 

 

 

 

 

 

 

 

В

начале

движения

гирька

 

описывала

окружность

радиуса

R,

 

делая

/?0 =120

об/мин.

Обозначая

массу

гирьки

через т, определим момент количества

движения гирьки

относительно оси г в начале

движения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

п

mnR2na

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lz = mv0R =

— э д -

 

 

 

 

 

 

Когда радиус

уменьшился,

гирька

стала делать п

оборотов в минуту, но момент

количества движения

гирьки относительно

оси не

изменился:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— У я

mnR2n0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

у

 

 

 

 

 

 

откуда

n»=4« 0

 

 

 

 

 

ЗІ)

 

 

зо

•

 

 

 

 

 

 

 

 

об/мин.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т .

п = 480

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Некоторые сведения из небесной механики **

.

_ ^

Формулы БиНе позволяют решать прямые и обратные задачи динамики при движе-

нии точки под действием

Уравнение Бине. Многие проблемы дина-

r

г

«

ми к и содержат вопросы о движении точки

под действием центральной силы. Сюда

относятся задачи небесной механики о дви-

центральной силы жении планет, искусственных спутников, задачи теоретической физики о движении электрона в поле ионизи­ рованного атома и многие другие задачи. Формулы Бине, к выводу которых мы сейчас приступаем, дают решение обоих основных задач динамики в случаях движения точки под действием одной централь­ ной силы.

Под действием центральной силы точка движется в плоскости, а потому ее движение можно описать двумя дифференциальными уравнениями. Напишем эти уравнения в полярных координатах (см. стр. 272), учитывая, что проекция Fr центральной силы F на на­ правление полярного радиуса-вектора равна модулю этой силы (с отри­ цательным или положительным знаком в зависимости от того, притя­ гивает к центру или отталкивает от него центральная сила движу­ щуюся точку), а проекция центральной силы на трансверсальное (перпендикулярное к радиальному) направление равна нулю:

 

 

« ( г - г ф » ) - ^

( 1 2 9 )

 

 

т (гср + 2г Ф) = 0.

 

Здесь, как

обычно,

г — полярный радиус-вектор,

ф — полярный

угол, а одной

и двумя

точками обозначены первая и вторая произ­

водные по времени.

Второе из этих уравнений можно один раз проинтегрировать и получить первый интеграл этих уравнений. Для этого запишем второе уравнение в следующем виде:

и далее

+2 - = 0.

Фг

Интегрируя

 

 

 

 

In ф +

2 In г = In Cf

 

 

и потенцируя, получаем

знакомое нам равенство

 

 

 

 

 

г»ф = С1 =

2а.

 

 

(189")

Система

уравнений

(129)

распадается на

два отдельных уравнения:

 

 

 

 

г — гш2 —— = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

г2 ф =

2а.

 

 

 

Исключая ф, получаем

одно

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

г

4га=

тF = 0Л .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

В этом

уравнении

произведем

следующую

замену, использовав ра­

венство

(189"):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'r

__dr

_^dr

•

dr

2а

 

2^ d - r

 

 

 

dt

 

dq>

^

drp

г 2

 

dtp

 

и аналогичным путем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

dr

 

.a2

r

 

 

 

 

dt

 

dq>

 

 

г2

с?ф2 •

 

Получаем дифференциальное

уравнение

относительно

_1_

 

 

 

 

 

 

1

п

 

 

г

 

 

 

 

4та

d2

 

 

 

 

 

 

 

г

, 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

I I

 

г-

 

 

 

 

 

 

гіф а

 

 

 

Это уравнение позволяет определить центральную силу путем дифференцирования уравнения траектории г = л(ф). В небесной механике ему обычно придают другой вид, заменяя полярный ра­ диус-вектор его обратной величиной и — у , тогда

F, = - W W

2 ( U + g i ) .

(190)

Это уравнение принадлежит

Бине

и его

обычно

называют вто­

рой формулой Бине. Первая формула

Бине

позволяет определить

квадрат скорости точки по заданной траектории. Вывод первой формулы Бине удобнее провести тоже в полярных координатах и

для

этого воспользуемся

известным из курса математики

выраже­

нием дифференциала дуги в полярных

координатах:

 

 

 

 

 

 

 

ds = V(dr)2

+ (rd<{,)2.

 

 

 

Деля на

dt

и возводя

в

квадрат,

получим следующее

выраже­

ние

квадрата

скорости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напомним

(см.

задачу

№

 

35 на

стр. 129), что в правой части

мы

видим сумму

квадратов

радиальной

и

трансверсальной скоро­

стей. Определив

из

равенства

 

189"

дифференциал времени

 

 

 

 

 

 

 

 

dt-

г2

dm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подставим это значение в предыдущее уравнение, тогда

 

 

Введем

опять

функцию

и = у ,

т. е. примем: г = -^- и

dr~—~.

Внесем эти

величины в

написанное

выше

уравнение

 

 

 

 

 

 

v2 =

4а

2

U 2 +

[dmJ

Г

 

(191)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы получили

первую

формулу

Бит.

 

 

 

 

Вывод закона всемирного тяготения из законов

Кеплера**.

 

 

Задача №

129.

По

движению

планет

солнечной

системы определить силу,

вызывающую

это

движение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Планеты

движутся

по

законам,

открытым Кеплером:

 

 

1. Все планеты

(и

кометы) движутся

по

коническим сечениям, в

одном из

фокусов которого

находится

Солнце

 

 

 

 

 

 

 

2.Площади, описываемые радиусом-вектором планеты относительно Солнца, пропорциональны времени 1 .

3.Для планет (все планеты движутся по эллипсам) квадраты времен обра­ щения относятся, как кубы больших полуосей их орбит 2 .

Уравнение всех конических сечений в полярных координатах имеет вид:

 

 

 

 

 

 

1 4-е cos ф '

 

 

 

 

 

где р—параметр, е—эксцентриситет

(у гипербол

е

>

1, у

парабол е = 1 ,

у эллип­

сов е < 1, у

окружностей

е = 0).

Следовательно,

для

всех конических

сечений

имеем:

 

 

1

., .

 

.

d2u

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и=—(14-е

cos ф)

и - п =

 

 

cos

ф.

 

 

 

 

р

 

 

^'

dm2,

 

р

 

т

 

Внесем

во вторую формулу

Бине

 

 

 

 

 

 

 

 

F = — Аа2и2т

( — +

— cos

ср—— cos

сгЛ =

— 4 а 2 « 2 — .

 

Положим

 

 

\Р

 

Р

Р

 

)

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 а 2 _

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

~^

 

 

 

 

 

1

К е п л е р .

Комментарии

о движении Марса,

1609

г.

 

3

К е п л е р .

Гармония мира,

1619

г.

 

 

 

 

 

и, подставив вместо и его обратную величину

, найдем:

р\ып

Действующая сила притягивает планету к Солнцу, так как ее проекция от­ рицательна, сила обратно пропорциональна квадрату расстояний; это соответст­ вует закону тяготения. Чтобы доказать всемирность этого закона, необходимо показать, что коэффициент \і для всех планет одинаков.

Для этого воспользуемся третьим законом Кеплера:

 

Т\

ТІ

 

 

— = — = . . . =const ,

 

 

а\

а\

 

где Tlt Тг...—времена

обращений планет, а аъ аг...—большие

полуоси их

эллиптических орбит.

Площадь

эллипса, описываемого какой-либо

k-іл планетой,

равна nakbk. Обозначив ак— секторную скорость этой планеты, найдем время ее обращения, разделив площадь на секторную скорость:

_пафк 1к——. .

Возведя в квадрат, подставим в

предыдущее

равенство (третий закон Кеп­

лера):

 

 

п2а% Ь%

„ Ь\

,

3 .*=л2

— - =const .

«ft Oft -

акак

 

Но квадрат малой полуоси, деленный на большую полуось, есть параметр р эллипса, а потому

Ьк Рк 4

ако\ of

Ввиду чего предыдущее равенство принимает вид 4 л 2

—= const

и'

или

4 я 2

L l = ; =COnst.

 

 

 

^ const

 

 

 

 

Следовательно

число (х постоянно

и

одинаково для всех

планет. Оно было

с большой точностью вычислено

Гауссом 1 , поэтому его называют

гауссовым числом.

Положив

jx = kM, где М — масса

Солнца,

получим равенство

 

 

 

F =

-

k

^

,

 

 

 

 

 

 

 

л2

 

 

выражающее

закон

всемирного

тяготения

Ньютона.

 

Производная по времени от суммы моментов количеств движения всех материальных

точек системы относительно

какой-либо оси равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно той же оси

Теорема

моментов

(для

системы).

Пусть

движение системы

материальных

точек

 

 

, ,

 

г

 

определяется дифференциальными уравне-

НИЯМИ (130).

точку К,

 

 

На всякую

принадлежащую

к

системе,

действуют внешние

силы,

равнодействующая

которых F%, и

внут­

ренние

силы,

равнодействующая

кото-

1 Г а у с с . Теория движения небесных тел, 1809 г.

Смотрите также файлы